☉江蘇省南通市通州區(qū)育才中學(xué) 黃新顏

數(shù)學(xué)思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的最高境界，用華羅庚大師的話說(shuō)：教師首先教學(xué)生的是數(shù)學(xué)的雙基知識(shí)，這只不過(guò)是數(shù)學(xué)的分散知識(shí)點(diǎn)，好像一維的數(shù)軸；其次教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，也就是現(xiàn)在中考常常出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)交匯處的考查，好像是二維的坐標(biāo)系一般；最后教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)數(shù)學(xué)思想方法的殿堂，這里才是數(shù)學(xué)最漂亮、最完美的地方，猶如是一個(gè)變換般的三維空間.因此，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).

眾所周知，分類討論思想是初中數(shù)學(xué)的重要思想方法，在解決很多初中數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)有著不可替代的作用.其早在中國(guó)古代劉徽等人的專著《九章算術(shù)》中就已經(jīng)被多次使用，如今更是在中考數(shù)學(xué)中層出不窮，成為區(qū)分學(xué)生思想完整性、發(fā)散性、靈活性、嚴(yán)謹(jǐn)性等的必備數(shù)學(xué)思想，值得教師研究和深化.

一、在函數(shù)問(wèn)題中的運(yùn)用

例1 （蘇州2012年中考模擬）如圖1，已知A、B是線段MN上的兩點(diǎn)，MN=4，MA=1，MB＞1. 以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)M，以B為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)點(diǎn)N，使M、N兩點(diǎn)重合成一點(diǎn)C，構(gòu)成△ABC，設(shè)AB=x.

（1）求x的取值范圍；

（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；

（3）探究△ABC的最大面積.

分析：點(diǎn)B在AN上運(yùn)動(dòng)，通過(guò)觀察可得∠CAB和∠ACB可以成為直角，∠CBA不可能成為直角.

圖1

（1）根據(jù)三角形的基本性質(zhì)：兩邊之和大于第三邊以及兩邊之差小于第三邊，找尋關(guān)于x的不等式，進(jìn)而得出x的取值范圍；

（2）對(duì)Rt△ABC進(jìn)行分析，由勾股定理進(jìn)行分類，討論存在性；

（3）把△ABC的面積S的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為S2的問(wèn)題，AB邊上的高CD要根據(jù)位置關(guān)系分類討論，分CD在三角形內(nèi)部和外部?jī)煞N情況.

（2）①若AC為斜邊，則1=x2+（3-x）2，即x2-3x+4=0，此方程無(wú)實(shí)根；

①如圖2，若點(diǎn)D在線段AB上，則=x，得平方得 （3－x）2－h(huán)2=x2－2x，得，平方得x（21－h(huán)2）=9x2－24x+16.整理，得x2h2=－8x2+24x－16，所以

②如圖3，若點(diǎn)D在線段MA上，則

圖2

圖3

二、在應(yīng)用題型中的運(yùn)用

例2（2011年南京中考）學(xué)生甲和乙分別站在一邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD的點(diǎn)A和點(diǎn)D處，現(xiàn)在甲從點(diǎn)A出發(fā)，設(shè)其在正方形邊界上沿著逆時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)（如圖4），速度為每秒2個(gè)單位（位置記為點(diǎn)P），求學(xué)生甲（點(diǎn)P）和學(xué)生乙（點(diǎn)D）之間的距離.

分析：學(xué)生甲從點(diǎn)A出發(fā)，到達(dá)B、C、D、A的時(shí)間分別是5秒、10秒、15秒、20秒，顯然對(duì)問(wèn)題的分析要以時(shí)間的臨界狀態(tài)為分類討論的切入點(diǎn)，因此：

圖4

（1）當(dāng)0≤t＜5時(shí)，學(xué)生甲的位置P落在線段AB上，此時(shí)

（2）當(dāng)5≤t＜10時(shí)，位置P在線段BC上，此時(shí)PD=

（3）當(dāng)10≤t＜15時(shí)，學(xué)生甲的位置P落在線段CD上，此時(shí)

（4）當(dāng)15≤t≤20時(shí)，學(xué)生甲的位置P落在線段DA上，此時(shí)

綜上可知：學(xué)生甲（點(diǎn)P）和學(xué)生乙（點(diǎn)D）之間的距離可用一個(gè)分段函數(shù)表示，下略.

提示：本題在實(shí)際應(yīng)用型問(wèn)題的背景下，體現(xiàn)了問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn) （也是函數(shù)思想在實(shí)際應(yīng)用型問(wèn)題中的體現(xiàn)），考查了學(xué)生甲（點(diǎn)P）和學(xué)生乙（點(diǎn)D）之間的距離，應(yīng)根據(jù)點(diǎn)P的不同位置分析不同情形，而分類討論的關(guān)鍵切入點(diǎn)在于正方形每個(gè)轉(zhuǎn)折處.

三、在方程中的運(yùn)用

例3 求使關(guān)于x的方程kx2+（k+1）x+（k－1）=0的根都是整數(shù)的所有k值.

分析：本題中并未說(shuō)明方程一定是二次方程，所以首先要對(duì)k是否等于0進(jìn)行分類.當(dāng)k=0時(shí)，顯然所給方程為一次方程，有整數(shù)根x=1；當(dāng)k≠0時(shí)，可以設(shè)兩個(gè)整數(shù)根為x1、x2，由韋達(dá)定理可知：

（1）－（2）得：x1+x2－x1x2=－2，有：（x1－1）（x2－1）=3=1·3，因此：

提示：對(duì)于方程問(wèn)題，首先不要將思維定勢(shì)在二次方程中，教師只有引導(dǎo)學(xué)生抓住了分類討論的動(dòng)因，把握住了分類的標(biāo)準(zhǔn)，才能做到分類時(shí)條理清楚、標(biāo)準(zhǔn)一致，在解答問(wèn)題時(shí)就不會(huì)重復(fù)或遺漏，才能保證解題的準(zhǔn)確率.

四、數(shù)學(xué)思想教學(xué)的思考

初中數(shù)學(xué)有很多的基本知識(shí)，我們稱之為雙基知識(shí)，這是學(xué)生必須掌握的一維知識(shí)點(diǎn)；其次初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)板塊之間的綜合運(yùn)用，稱之為知識(shí)交匯處，需要教師通過(guò)一定指導(dǎo)，使學(xué)生通過(guò)訓(xùn)練達(dá)到，即所謂學(xué)生的二維知識(shí)鏈；初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高境界是掌握數(shù)學(xué)思想方法，即所謂的三維知識(shí)模塊，將千變?nèi)f化的試題化有形于無(wú)形中，通過(guò)思想方法看到問(wèn)題的本質(zhì)、解決的思路，這是每個(gè)優(yōu)秀學(xué)生學(xué)習(xí)的最終目標(biāo).熟練掌握初中數(shù)學(xué)思想方法對(duì)每個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)并不容易，因?yàn)檫@首先需要一維知識(shí)點(diǎn)和二維知識(shí)鏈的熟練掌握，其次才是運(yùn)用這些思想——為了將我們遇到的問(wèn)題進(jìn)行解決或轉(zhuǎn)化.眾所周知，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法有一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，首先應(yīng)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的雙基知識(shí)，其次對(duì)知識(shí)進(jìn)行整合獲得知識(shí)間的聯(lián)系，最終才是用數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行提煉，將其牢固的粘合于學(xué)生的知識(shí)體系中.通過(guò)上述案例，筆者認(rèn)識(shí)到分類討論思想在教學(xué)中的重要性，更能從分類討論思想中管窺中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中思想方法教學(xué)的重要性.

（1）掌握數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)思想方法滲透于數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，是我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要導(dǎo)向，是探究性學(xué)習(xí)的重要工具之一.把掌握數(shù)學(xué)方法和思想作為數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)，可以使初中學(xué)生逐步掌握數(shù)學(xué)基本方法和數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而展開(kāi)高效率的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)方法和思想是初中學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的關(guān)鍵，是一切數(shù)學(xué)創(chuàng)新的源泉，數(shù)學(xué)思想方法的教育使數(shù)學(xué)教學(xué)真正變?yōu)椤笆谥詽O而非授之以魚(yú)”，讓初中學(xué)生由“學(xué)會(huì)”變成“會(huì)學(xué)”，為其今后終生學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

（2）數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)使學(xué)生更容易理解數(shù)學(xué)科的內(nèi)容，使其在掌握了一些數(shù)學(xué)思想方法后再去看待相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)顯得“高屋建瓴”.挖掘初中更深層次的問(wèn)題，這樣的學(xué)習(xí)更具穩(wěn)定性，有利于舊知識(shí)的鞏固和新知識(shí)的學(xué)習(xí)，能夠順利將新知納入到自身知識(shí)體系中去，數(shù)學(xué)思想方法正是體現(xiàn)了這么一種核心.

近年來(lái)，對(duì)初中數(shù)學(xué)思想方法的考查越來(lái)越受到各地中考的重視，教師在教學(xué)中也要從初一的教學(xué)開(kāi)始就全面滲透對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生通過(guò)問(wèn)題看本質(zhì)的能力，使其在掌握扎實(shí)的雙基的同時(shí)，將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有機(jī)的整合，最終上升到思想方法的高度進(jìn)行提煉，久而久之，就可以提升優(yōu)秀學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，用諾貝爾獎(jiǎng)獲得者李政道教授的話說(shuō)：“我覺(jué)得今天取得的一點(diǎn)成就離不開(kāi)數(shù)學(xué)的功底，而數(shù)學(xué)的功底又在于我當(dāng)年中學(xué)時(shí)代對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和運(yùn)用，其伴隨我研究一生.”

總之，數(shù)學(xué)思想方法是研究數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、發(fā)明、創(chuàng)新和其他創(chuàng)造性思維活動(dòng)的規(guī)律和方法，以及探索數(shù)學(xué)發(fā)展的一門(mén)科學(xué).數(shù)學(xué)已經(jīng)滲透到各個(gè)領(lǐng)域，并成為其思想和行動(dòng)的指南，數(shù)學(xué)思想方法是一種思維，一種思考問(wèn)題的方法模式，它體現(xiàn)了辯證法的原理，它不僅用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，更可以應(yīng)用在人們?nèi)粘５氖聞?wù)處理、問(wèn)題思考中.

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