☉江蘇省張家港市暨陽湖實驗學(xué)校 徐 輝

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“有效的教學(xué)活動是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.”“數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維，要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.”在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，通過情景導(dǎo)入、學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、合作交流、教師的點撥等環(huán)節(jié)，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、法則、性質(zhì)、定理等知識應(yīng)當(dāng)能初步掌握.然而，要深刻理解、掌握和運用數(shù)學(xué)概念、法則、性質(zhì)、定理，必須要經(jīng)過例題的教學(xué)，

例題教學(xué)是學(xué)生將數(shù)學(xué)知識和技能轉(zhuǎn)化為能力的必要途徑和手段.因此，例題的設(shè)計與教學(xué)是一個教師教學(xué)智慧和藝術(shù)的充分體現(xiàn). 教師要通過富有基礎(chǔ)性、示范性、層次性和發(fā)散性的例題，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識內(nèi)化為數(shù)學(xué)思想與方法，只有這樣才能讓數(shù)學(xué)課堂流暢而深入.

在一次初一年級的“同課異構(gòu)”教學(xué)研討活動中，筆者給參加活動的老師展示了《同底數(shù)冪的除法》一課，整節(jié)課中例題的設(shè)計、講解、對學(xué)生的引導(dǎo)給聽課老師留下了極其深刻的印象，下面，結(jié)合課堂教學(xué)片段進(jìn)行具體的分析與反思，期望對讀者的教學(xué)有所幫助.

一、教學(xué)背景與說明

《同底數(shù)冪的除法》是在學(xué)生已掌握了同底數(shù)冪的乘法及冪的乘方與積的乘方的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，教材的安排是根據(jù)冪的意義做同底數(shù)冪的除法后，再明晰同底數(shù)冪的除法法則.其優(yōu)點是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生易于接受.在具體操作時，我們還可以將同底數(shù)冪的除法法則的推導(dǎo)過程與乘法法則的推導(dǎo)過程等進(jìn)行類比，幫助學(xué)生充分認(rèn)清同底數(shù)冪的除法法則的意義與本質(zhì)，深刻領(lǐng)會應(yīng)用除法法則時指數(shù)必須滿足的條件，為學(xué)生下一課繼續(xù)探索零指數(shù)冪和負(fù)指數(shù)冪的實際意義及規(guī)定的合理性打下基礎(chǔ).

二、教學(xué)片段與解析

1.情景引人，導(dǎo)出法則

問題1：通過計算下列各式，說說你發(fā)現(xiàn)了什么：

（1）106×103；

（2）a7·a4；

（3）106÷103；

（4）a7÷a4（a≠0）；

（5）a100÷a70（a≠0）.

問題2：當(dāng)a≠0，m、n是正整數(shù)，且m>n時，am÷an的結(jié)果是什么？

解析與思考：以學(xué)生身邊熟悉的知識引入新課，親切自然，更重要的是通過類比容易引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.另一方面，通過簡單、特殊的計算，再過渡到一般的情形，學(xué)生不會感到陌生、容易接受，在輕松、和諧的氛圍中導(dǎo)出了法則.

2.簡單應(yīng)用，鞏固法則

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，例題的教學(xué)有著不可磨滅的作用，它是讓學(xué)生從知識生成邁向知識升華的橋梁，而教師能否將書本上的知識轉(zhuǎn)化成為學(xué)生所掌握的知識，例題教學(xué)才是關(guān)鍵所在.

案例一（例題選講）

例1 計算：

（1）26÷22；

（2）（－b）8÷（－b）；

（3）（ab）4÷（ab）2

（4）t2m+3÷t2（m是正整數(shù)）；

（5）（x+y）5÷（x+y）3.

師：本題是一組直接應(yīng)用法則的計算問題，在操作時需要弄清什么是“底數(shù)”，如何應(yīng)用法則.

生1：26÷22=26－2=24=16.

生2：在（－b）8÷（－b）中，底數(shù)是－b，利用法則得（－b）8÷（－b）=（－b）7=－b7.

師：非常好.對于（2），這里有兩點需要特別強調(diào)：底數(shù)是－b；應(yīng)用法則以后的結(jié)果是（－b）7，但它不能作為最后的結(jié)果，我們還可以利用積的乘方進(jìn)行運算得到最終的結(jié)果－b7.

生3：在（ab）4÷（ab）2中，底數(shù)是ab，所以（ab）4÷（ab）2=（ab）4－2=（ab）2=a2b2.

師：這里將ab看作一個整體，直接利用法則很容易得到結(jié)果.但是我發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)的結(jié)果是（ab）2，這是運算不徹底導(dǎo)致的，我們還可以利用積的乘方，得到最終結(jié)果a2b2.同時，我還看到部分同學(xué)是這樣做的：（ab）4÷（ab）2=a4b4÷a2b2=a2b2，請大家比較一下.

生4：在t2m+3÷t2中，底數(shù)是t，直接利用法則得t2m+3÷t2=t2m+3－2=t2m+1.

生5：在（x+y）5÷（x+y）3中，底數(shù)是x+y，所以（x+y）5÷（x+y）3=（x+y）5－3=（x+y）2.

師：通過本例的學(xué)習(xí)，我們知道在進(jìn)行同底數(shù)冪的除法時，底數(shù)可以是具體是數(shù)，也可以是字母，可以是單項式，也可以是多項式.

解析與思考：設(shè)計本例的主要目的是要讓學(xué)生熟悉同底數(shù)冪的除法的操作步驟.一方面，要引導(dǎo)學(xué)生感受應(yīng)用法則時“底數(shù)”的變化，另一方面，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注每一步計算的依據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生“以理駕算”的習(xí)慣.比如：（ab）4÷（ab）2=（ab）4-2（同底數(shù)冪的除法的運算性質(zhì)）=（ab）2=a2b2（積的乘方的運算性質(zhì)）.因此，例題的選擇很重要，難度必須要控制好，能說明問題、起到示范作用就行.

3.變式訓(xùn)練，深化法則

在學(xué)生對當(dāng)堂知識和技能初步理解與掌握后，進(jìn)一步的深化和熟練是必要的.目的是使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會運用課本的知識舉一反三，積累解題的經(jīng)驗，形成數(shù)學(xué)思想與方法.要實現(xiàn)上述目的，應(yīng)用“變式教學(xué)”是一種十分有效的手段，所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地引導(dǎo)學(xué)生對例題進(jìn)行合理的拓寬與深化.

案例二（例題選講）

例2 計算：

（1）（－b）8÷b；

（2）（x－y）5÷（y－x）2.

師：例1的第二小題做了一點變化成為例2（1），你發(fā)現(xiàn)了嗎？

生1：例1的第二小題是同底數(shù)冪的相除，而（－b）8÷b是不同底的兩個冪的相除.但是可以轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的相除.

師：好的，你板書一下.

生1（板書）：（－b）8÷b=b8÷b=b7.

師：這里利用積的乘方的性質(zhì)，將（－b）8轉(zhuǎn)化成了b8，然后利用同底數(shù)冪的除法的運算性質(zhì)，很快能得到結(jié)果，還有其他做法嗎？

生2（板書）：（－b）8÷b=－（－b）8÷（－b）=－（－b）7=b7.

師：這里將底數(shù)轉(zhuǎn)化成了－b，相比較而言，運算稍簡潔了點.看看第二小題怎樣轉(zhuǎn)化比較合理些.

生3：因為（y－x）2=（x－y）2，所以（x－y）5÷（y－x）2=（x－y）5÷（x－y）2=（x－y）3.

師：很好，這里如果將（x－y）5轉(zhuǎn)化為－（y－x）5，計算時會出現(xiàn)“－”，結(jié)果稍美觀些.如果將問題改為：（x－y）5÷（yx）3，那么又怎樣轉(zhuǎn)化呢？

生4：因為兩個冪的底數(shù)不同，并且指數(shù)都是奇數(shù)，所以無論轉(zhuǎn)化哪個冪都會出現(xiàn)“－”，我的做法是（板書）：（xy）5÷（y－x）3=－（y－x）5÷（y－x）3=－（x－y）2.

師：在進(jìn)行不同底數(shù)的冪除法時，我們要先將其轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的除法，再應(yīng)用法則.在進(jìn)行轉(zhuǎn)化時，優(yōu)先考慮將偶數(shù)次冪進(jìn)行操作，奇數(shù)次冪轉(zhuǎn)化時，常常要注意符號的變化.

解析與思考：例2與教材上的例題、練習(xí)相比有一定的難度，在教學(xué)過程中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清例2與例1的區(qū)別與相互之間的轉(zhuǎn)化，作為教師，要盡可能地尊重學(xué)生的理解方法，讓學(xué)生談出自己的觀點，充分利用已有的知識結(jié)構(gòu)來同化新知識，最后還要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納解題方法、提煉數(shù)學(xué)思想.通過幾個問題的前后聯(lián)系以及解決這些問題的方法的變化，形成一種更高層次的思維方法，以達(dá)到對問題本質(zhì)的了解、問題規(guī)律的掌握、知識技能的鞏固、思維的拓展與遷移等目的.

4.拓展延伸，強化法則

新課程強調(diào)教師在教學(xué)設(shè)計時要有彈性，關(guān)注不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要，要根據(jù)不同的內(nèi)容目標(biāo)、學(xué)生的知識背景和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，給學(xué)生留下拓展延伸的空間和時間，使每一名學(xué)生都能得到應(yīng)有的發(fā)展.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中設(shè)置拓展延伸問題就顯得重要和迫切了.

案例三（拓展延伸）

例3 計算：

（1）32m÷3÷32；

（2）273×92÷312；

（3）162m÷42m－1（m是正整數(shù)）.

師：對于32m÷3÷32，與上面的例題相比，只是同底數(shù)冪相除的個數(shù)增加了，我們只需分步應(yīng)用同底數(shù)冪的除法的運算性質(zhì)，請你們說說結(jié)果是多少.

生1：32m÷3÷32=32m－1÷32=32m－3.

師：如果將“32m÷3÷32”修改為“9m÷3÷32”，結(jié)果會變化嗎？

（為第二小題作鋪墊）

生1：不會變化，因為9m=（32）m=32m.

師：非常好，這里我們再次將不同底數(shù)冪的除法問題化成了同底數(shù)的冪的除法.請你們盡快計算第二小題.

生2（板書）：273×92÷312=（33）3×（32）2÷312=39×34÷312=313÷312=3.

師：對于冪的運算，無論是乘法還是除法，運算前必須將其化為同底數(shù)冪，再應(yīng)用相關(guān)的運算性質(zhì).請大家討論一下.第三小題，怎樣化成同底數(shù)冪？如何進(jìn)行計算？

（學(xué)生小組討論，教師巡視）

生3：我們小組的做法是將162m化為（42）2m=44m，然后應(yīng)用同底數(shù)冪除法的運算性質(zhì)，結(jié)果是42m+1.

生4：我們小組的做法是將162m化為（24）2m=28m，再將42m－1化為（22）2m-1=24m-2，然后應(yīng)用同底數(shù)冪除法的運算性質(zhì)，結(jié)果是24m+2.

師：通過不同的轉(zhuǎn)化，得到了兩個結(jié)果，你們?nèi)绾慰矗?/p>

生5：42m+1=（22）2m+1=22m+2，因此，這兩個結(jié)果本質(zhì)上是一樣的.

師：上面的兩種解法告訴我們，在進(jìn)行冪的運算時，有時可以將部分不同底數(shù)的冪化成與已知的某個冪同底數(shù)，也可以將所有的冪化成另外一個相同底數(shù)的冪，再利用相關(guān)的運算性質(zhì)進(jìn)行計算.請大家課后完成下一小題：42m+1×83m÷32m+1（m是正整數(shù)）.

解析與思考：設(shè)置拓展延伸問題，要從學(xué)生的實際出發(fā)，基于學(xué)生已有的知識水平、認(rèn)知能力、知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行適度的拓展、延伸，通過有效的教學(xué)設(shè)計、教學(xué)形式、教學(xué)方法來實現(xiàn)學(xué)生對知識的進(jìn)一步理解與掌握，并能在新知識的學(xué)習(xí)中使原有的知識得到鞏固、運用、延續(xù)與深化.在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生分析問題，弄清問題中所涉及的知識，尋找正確的解題思路.在問題解決后，還要積極引導(dǎo)學(xué)生對自己的思考過程、運算過程、語言表達(dá)、書寫格式以及解題過程所涉及的思想方法、技巧進(jìn)行反思，使得拓展延伸問題的效益最大化.

三、實踐反思與感悟

教師的主導(dǎo)作用一定程度表現(xiàn)在“引導(dǎo)”上.教師的根本職責(zé)在于“引路”，而不是代替學(xué)生或背著學(xué)生“走路”.要做到施教主動，貴在引導(dǎo)，妙在開竅.根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點、教學(xué)設(shè)計的問題，恰如其分的引導(dǎo)學(xué)生分析問題、解決問題.例如，例1的第三小題的解答過程中，學(xué)生肯定有兩種不同的思路，在學(xué)生解答、教師點評后，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，得出一般的解題方法.同時，結(jié)合課堂中生成的資源，適當(dāng)進(jìn)行點評.例如，例3的第三小題的解答過程中，學(xué)生經(jīng)過討論得到了兩種結(jié)果，教師還要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己表述每一步運算的算理進(jìn)行自我評價和自我修正，積累解題的經(jīng)驗.因此，教師的引導(dǎo)必須做到三個適應(yīng)：一是適應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程的規(guī)律和特征，二是適應(yīng)學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，三是適應(yīng)學(xué)生現(xiàn)有的知識水平和認(rèn)知結(jié)構(gòu).實踐表明，做到這“三個適應(yīng)”，既是發(fā)揮教師主導(dǎo)地位的最好說明，也是實現(xiàn)學(xué)習(xí)活動最優(yōu)化的重要前提條件.