☉江蘇省連云港市孫朝仁中學數(shù)學名師工作室 孫朝仁(特級教師) 朱桂鳳
“慢”是一種策略,也是一種教學基調,貫穿課的始終,在新舊知識接軌處有所側重,實現(xiàn)知識有效對接.“降”是一種策略,也是一種教學手段,在學習概念、符號、法則、公式、性質、規(guī)律性結論時適時、適度的“降”,能改善知識的抽象性.“放”是一種策略,也是一種教學情懷,學生能學會的放手讓學生自學;學生自學有困難,但經歷合作交流能解決的也下放給學生探究;教也學不會的放手不學,讓學生獲得體驗和感悟的機會.“退”是一種策略,也是一種教學視野,在教學難點處大幅度的“退”,在問題診斷處適度的“退”,在綜合問題處靈活的“退”,為學生搭建臺階,讓學生拾級而上,實現(xiàn)知識的常態(tài)生長.
本文以義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學(蘇科版七年級下冊)第七章《認識三角形(1)》為例,說明“慢、降、放、退”的教學策略的實施過程,供“學業(yè)水平偏弱”學校的一線數(shù)學教師參考.
本課時的內容是在學生已經認識點、線這樣簡單圖形的性質的基礎上進行學習的,是學生進入中學階段最早認識的一個相對“完整”的圖形.小學時學生已了解了銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的概念,本節(jié)課則重在讓學生探索三角形的基本要素——三角形三邊之間的相互制約關系,即三角形的任意兩邊之和大于第三邊,同時滲透分類的數(shù)學思想.
(1)雖然學生對三角形已有粗淺認識,但用符號表示三角形是學習三角形性質的前提,所以進一步認識三角形的概念及其基本要素并能用符號表示,仍是學習的目標之一.
(2)觀察、實驗、操作、猜想、歸納、驗證、說理是發(fā)展空間觀念和培養(yǎng)有條理表達能力的重要手段,也是獲取幾何結論的重要方法,能進一步加深對三角形三邊之間關系的理解.
(3)數(shù)學課程標準倡導學生的學習是一個生動活潑、主動和富有個性的過程,認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等都是學習數(shù)學的重要方式.同學間的合作與交流能讓學生獲得成功的感受,樹立學好數(shù)學的信心.
從七年級上冊《平面圖形的認識》到七年級下冊《認識三角形》,中間隔了些時日,學生對于點、線、角的表示以及線段的性質有所遺忘,在不度量的情況下探究三角形三邊之間的關系有些困難.因此,確定教學難點為三角形三邊之間的關系的探究.“學業(yè)水平偏弱”學校的生源相對較差,要么是六年級時班級成績相對滯后的學生,要么是留守兒童,要么是單親家庭的子女.一部分學生不僅“四基”薄弱,而且學習習慣較差,缺乏自尊、自愛,對學習數(shù)學無興趣、無信心,有一種破罐子破摔的感覺!在此背景下,若追隨“快餐式”課堂,不顧具體學情,必然無法達成理想的教學效果.若采用“慢、降、放、退”的教學策略,讓學生能跟得上、聽得懂、學得會,必將收到理想的教學效果.
(課伊始,動畫演示“帆船”“自行車三腳架”“金字塔”等含有三角形的圖案)
師:這些圖案中有你熟悉的圖形嗎?
生眾:都含有三角形.
師:說一說,日常生活中有哪些常見的三角形實例.
生1:紅領巾.
生2:三明治.
生3:衛(wèi)生流動紅旗
生4:三角板.
……
(師評價:你們觀察真仔細,視野挺開闊的)
師:你認為什么是三角形?能畫出草圖并表示嗎?
生5:由3條直線組成.
(師評價:說得有道理)
生眾(迫不及待):由3條線段組成.
生6:錯,由3條不在同一直線上的線段組成.
(師評價:說得好)
師:還有要補充的嗎?
生7(借助課本):三角形是由3條不在同一直線上的線段,首尾順次相接組成的圖形.
(師評價:既聰明又靈活)
師:你能畫圖說明生6的說法是不正確的嗎?
(生7畫出了首尾順次但沒能完全相接的圖形,下面的學生洋溢著贊賞的表情)
生8:在黑板上畫出沒有名字的三角形草圖.
(其余同學在下面完成)
師:你能用符號表示黑板上的三角形嗎?
生6:用小寫的字母a、b、c表示三角形的頂點,記作“△abc”.
(師評價:想法挺好的)
生9:不對,三角形的頂點必須用3個大寫的字母表示,如點A、B、C,記作“△ABC”.
(師評價:回答很棒)
師:你是怎么知道的?
生9:我通過看書知道的.
師:你認為三角形有哪些要素組成?
生眾:3條邊、3個內角和3個頂點.
師:你能寫出黑板上的△ABC的邊、角和頂點嗎?試試看!
(生10寫出3條邊為:AB、BC、AC;3個內角為:∠A、∠B、∠C;3個頂點是A、B、C)
師:還有要說的嗎?
(生11補充3個內角還可以表示為:∠ABC、∠BCA、∠CAB)
師:有要補充的嗎?
生12:3條邊還可以表示為:a、b、c.
(師評價:說得真好)
師:你能在黑板上的△ABC中標示a、b、c嗎?
(生12把a標示在AB邊上;把b標示在BC邊上;把c標示在AC邊上)
生9(借助課本):一般情況下,∠A的對邊BC可以用a表示;∠B的對邊AC可以用b表示;∠C的對邊AB可以用c表示.
(師評價:說得有理)
師(展示手中的三角板):你能指出這塊三角板的邊、角和頂點嗎?
(生13在講臺前流暢地指出三角板的邊、角和頂點)
師:你能畫出三角板的草圖,并重新起個名字,且寫出它的邊、角和頂點嗎?
(生14在展板上畫出草圖,記作△DEF,3條邊是:DE、EF、DF;3個內角是:∠D、∠E、∠F;3個頂點為:點D、E、F)
生眾:3個內角還可表示為∠DEF、∠EFD、∠FDE.
評析:執(zhí)教者首先讓學生體驗從現(xiàn)實世界中抽象出三角形這一模型的過程,進而體會用符號表示三角形的必要性.而這一直覺思維的過程,必須針對待學內容、學生的認知規(guī)律以及已有的知識經驗,挑選適當、匹配的問題,讓學生在“慢”中體悟知識的由來,在“降”中拾級而上,喚醒已經褪色的三角形印象.再經歷生生交流、師生會話、學生與文本的對話,感受三角形的個性化表征,從而生成踏踏實實的三角形形象.“慢”為學生內化、接納提供充足的時空,能讓學生跟上、聽懂、學會,“慢”不是為慢而慢,而是為了高質量的生成,為了不再重復.“降”能讓學生現(xiàn)有的思維層次夠得著教師的思維,“降”為后續(xù)的提高做必不可少的鋪陳,“降”不是一味的降低要求,而是為實現(xiàn)現(xiàn)有思維的突破,暫時降低要求,經歷知識經驗的層層鋪陳,達成生長新知的目標.這里的“降”體現(xiàn)在三個方面:讓學生從觀察身邊的實物出發(fā)來建構三角形,借助每天相隨的三角板直觀感知,降低了舊知識回憶的難度;讓學生運用“對話”和經歷思維的多次摩擦生成三角形的描述性概念,降低了學生的心理預期準備;用可操作的畫圖和標示以及表示的方式讓學生在重復操作和識別中獲取三角形及各要素的表示方法,讓原本抽象的符號可感可摸,降低了思維的起點.
師:能在網(wǎng)格紙上任意畫一個你喜歡的銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形嗎?
(所有的學生都在教師事先準備的網(wǎng)格紙上畫出符合要求的三角形,并且主動表示和標示,形態(tài)各異,精彩紛呈)
師:你是怎么知道所畫的三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形的?
生眾:三個角都是銳角的三角形是銳角三角形;有一個角是直角的三角形是直角三角形;有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形.
(師評價:大家說得好,我明白了)
師:你能把圖1中三角形的序號填入圖2有關的橢圓框內嗎?試試看!
生眾:把序號③、④、⑤填入銳角三角形橢圓框內;把序號①、⑥填入直角三角形橢圓框內;把序號②填入鈍角三角形橢圓框內.
圖1
圖2
師:你怎么知道答案的?
生眾:觀察得到的,度量得到的.
師:你認為按角可將三角形分為哪幾類?
生15:銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.
師:你認為等腰三角形具有什么特征?能畫出草圖并表示嗎?
生16:三條邊中有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.
(生16在展板上畫出草圖,并記作△ABC,且標示出AB=AC)
師:你能找出圖1中的等腰三角形嗎?
生17:④、⑤是等腰三角形.
生18(急切地糾正):⑤是等邊三角形,不是等腰三角形.
生19:不對,⑤是等腰三角形,因為等邊三角形是特殊的等腰三角形.
(師評價:思維深刻)
師:你能表示出圖3中的所有三角形,并按角分類嗎?
圖3
(生20和生21在黑板上給出正確答案,銳角三角形有:△ACE;直角三角形有:△ABD、△AED、△ADC;鈍角三角形有:△ABE、△BAC)
師:挑選一個你喜歡的三角形加以檢驗,驗證你猜想的合理性.
(生18和生15在黑板上用量角器合作檢驗,其他學生有的獨立檢驗,有的合作檢驗.)
師:請?zhí)暨x5根長分別為3cm、4cm、5cm、6cm、9cm的木棒,任意取出3根首尾相接搭三角形,并填寫下表:
(操作要求:4人一組,在統(tǒng)一準備的粘板上合作實驗,并按要求完成表格;第5小組在講臺上展示實驗過程.經歷合作交流、補充與再補充,最終給出正確答案:3cm、4cm、5cm;3cm、4cm、6cm;3cm、5cm、6cm;4cm、5cm、6cm;4cm、6cm、9cm;5cm、6cm、9cm,一共可以拼接6個三角形)
師:從上面的實驗操作中你發(fā)現(xiàn)了什么?
生22:邊長為3cm、4cm、5cm的三角形中,3cm+4cm>5cm;3cm+5cm>4cm;4cm+5cm>3cm.
(師評價:說得全面)
師:你能用語言把生22的想法表達出來嗎?
生23:兩邊的和大于第三邊.
(師評價:說得好)
生24(借助課本搶答):三角形的任意兩邊之和大于第三邊.
(師評價:你的回答既全面又靈活)
師:你能說明三角形的任意兩邊之和大于第三邊的理由嗎?
生24(借助課本,依據(jù)小麗的提示):兩點之間線段最短.
師:還有要說的嗎?
(下面一片沉默)
師(再次追問):為什么3cm、4cm、9cm不能搭成三角形?
生24:因為3cm+4cm<9cm.
(師評價:你的答案正確)
生25(迅速搶答):我明白了,只要較短兩邊的和大于最長邊,就可以搭成三角形.
(全班學生鼓掌認同)
(師借助三角板,引領學生解釋“較短兩邊的和大于最長邊能搭成三角形”的合理性)
評析:鑒于已經真正喚醒三角形的記憶且順利給出三角形的表示方法以及關聯(lián)的要素,此時執(zhí)教者通過低難度問題的鋪陳,達到降低心理思考起點的目標,進而實現(xiàn)“降”后的逐步提升;又用“放”的手段,讓學生在力所能及的思維層面上實現(xiàn)知識的逐級生成,最終實現(xiàn)對三角形本質的揭示.這一過程不是教師的 “派送”和“說教”能夠實現(xiàn)的,也不是教師的體驗能代替的,更不是學優(yōu)生的理解能取代的,只能來自于每一個生命個體的躬耕勞作.在教學過程中,借助“放”的手段揭示三角形分類的本質.執(zhí)教者讓學生充分的畫圖、自由的挑選與闡釋,以及用“做”的方式解釋按角分類的合理性,進而滲透內中隱含的知識(三角形分類思想),同時聯(lián)袂生成了等腰三角形;然后,執(zhí)教者側重于“放”的教學策略,借助數(shù)學實驗,在操作與再操作中,觀察與再觀察中,交流與再交流中,實現(xiàn)三角形本質的緩慢生長,即生成“三角形任意兩邊的和大于第三邊”這一三角形三邊關系制約的本質.
師:有2cm、3cm、4cm、5cm這四根彩色線形木條,要擺出一個三角形,你有哪些擺法?
生25:有三種擺法,即2cm、3cm、4cm;2cm、4cm、5cm;3cm、4cm、5cm.
師:你是怎樣判斷的?
生眾:2cm+3cm>4cm;2cm+4cm>5cm;3cm+4cm>5cm.
(用最簡單方法解決較煩瑣的問題是思維靈活的表現(xiàn))
師:一個等腰三角形的兩邊分別為2.5和5,你能知道他的周長嗎?
生26:周長是10或12.5.
(師評價:說得有道理)
生27(搶答):周長不可以是10,周長只能是12.5.
師:周長為什么不可以是10?
生27:因為2.5+2.5=5,即兩邊之和等于第三邊.
(師評價:理解深刻)
問題:若三角形的兩邊長分別為7cm和10cm,則第三邊的長的取值范圍是多少?如果第三邊的取值是正整數(shù),那么所取的邊長有沒有可能圍成一個等腰三角形?此時該三角形的腰長應為多少?
師:你能畫出一個邊長為7cm、10cm和acm的三角形的示意圖嗎?
(生27按要求畫出了三角形示意圖并標示數(shù)據(jù))
師:要構成三角形,你認為a必須滿足的條件是什么?
生27:a要小于7+10.
(師評價:你的表現(xiàn)很棒)
師:能說說你是怎么思考的?
生27:三角形任意兩邊的和大于第三邊.
師:還有要說的嗎?
生27:a+7還要大于10,即a要大于3.
師:你能用規(guī)范的語言表述嗎?
生27:a要大于兩邊之差,又要小于兩邊之和.
(師評價:表達真好)
師:經過生27的解釋,你們搞清楚a的范圍嗎?
生眾:a大于3且小于17.
師:在3<a<17的范圍內,a可取到哪些整數(shù)?
生眾:a可取整數(shù)4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16.
師:a取哪些整數(shù)時,與7、10可以搭成等腰三角形?
生眾:a取7或10時,可以構成等腰三角形.
師:你能畫出草圖,并標示數(shù)據(jù),且指出腰長嗎?
(生27和生28按要求給出正確答案,指出腰長為7cm或者10cm.)
師:此時,這兩個等腰三角形的周長分別是多少?
生眾(異口同聲):三角形的周長是24cm和27cm.
問題:由12個邊長為1的小正方形拼成1個長方形,點A、B、C、D、E分別在小正方形的頂點上(如圖4),過其中的任意三點畫三角形,一共可以畫多少個三角形?其中哪些是直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形?哪些是等腰三角形?
圖4
(所有的學生都積極畫圖,有的自主,有的合作,還有的邊聊邊畫.大約3分鐘時間后,生22舉起小手,急切地說可以畫6個三角形,經歷學生的后續(xù)補充,最終得到可以畫9個三角形的正確結論.期間,生19在黑板上畫出完整正確的草圖;生20和生21在黑板上合作表示出△ABE、△BCE、△CDE、△ACE、△ADE、△BDE、△ABD、△ACD、△BCD)
師:你能將所畫的三角形按角分類嗎?比比看,誰找得準!
(生28和生29在黑板上合作完成,其余同學在下面完成,或合作,或獨立;兩人一組,也有三人一組,積極選擇自己喜歡的方式作答.最終呈現(xiàn)的答案是:其中,△ABE、△BCE、△CDE為直角三角形,△ACE、△ADE、△BDE為銳角三角形,△ABD、△ACD、△BCD為鈍角三角形)
師:選擇一個你喜歡的三角形,檢驗你的猜想是否正確.
(生28和生30用量角器在黑板上合作檢驗△CDE,確認猜想的正確性,其余同學在下面用自己喜歡的方式檢驗自己喜歡的三角形)
師:這9個三角形中有等腰三角形嗎?
生眾:△ACE和△CDE是等腰三角形.
師:你們是怎么知道的?
(有的說是度量得到的,有的說是觀察得到的,有的說是折疊得到的)
評析:華羅庚先生說:“學而不練,猶如入寶山而空返”.執(zhí)教者采用“退”的策略固化新知.共設置四個爬坡性問題.第一個問題起診斷作用;第二個問題起緩沖作用;第三個問題實現(xiàn)新舊知識的整合與聯(lián)袂.前兩個問題的設置是讓學生的思維退到知識生長點,達成通透理解第三個問題的目標.第四個問題中“畫圖”環(huán)節(jié)的呈現(xiàn),目的是讓學生的思維退到初始狀態(tài),在簡單的“做”中感受三角形的分類思想,提升識別等腰三角形的能力,實現(xiàn)了新舊知識碰撞后的無縫對接.在教學過程中,“放”和“退”是淡煙流水似的風景,“放”讓學生擁有了“做”數(shù)學的舞臺,讓學生擁有了交流的載體,讓學生擁有了悟化和接納的可能,讓學生獲得生命感悟的契機.“退”讓學生退到思維的起點,能夠用現(xiàn)有思維實現(xiàn)知識的生長,進而生成原本看似無法生長的知識;“退”稀釋了學生心理預期的難度,提高學生生長知識的信心,為生長知識營建安全的心理;“退”使學生的思維世界海闊天空,個性化差異的展現(xiàn)、參差不齊的知識、或深或淺的生命感悟,知識生長由底層、中層到高層拾級而上,經歷困頓、碰撞、矯正的過程,實現(xiàn)“三角形認識”知識鏈的自然生長.
筆者認為,數(shù)學課堂教學中的“慢”是指讓課堂運行的速度慢下來,耐心地等待學生個體自己把要學的知識慢慢發(fā)現(xiàn)出來或慢慢再創(chuàng)造出來,以慢求快,步步留痕,生成快的效果;“降”是指依據(jù)學情偏弱(即學生“四基”薄弱)的數(shù)學現(xiàn)實,降低要求,降低認識,不高估學生的思維現(xiàn)實,使問題設置與學生的認知水平、知識經驗相匹配,讓學生能跟上、學會;“放”是指自然下放待解決的數(shù)學問題,放手讓學生自己去解決,相信學生能行,也指適當?shù)牧舭?,延展學生思考的時空;“退”是針對偏大的問題,退到最簡單、最初始的狀態(tài),即退到學生心理思考的起點,讓學生的思維能夠得著,經歷一串小問題的鋪陳,進而達成解決大問題的目標,只有善于“退”、足夠地“退”,才有知識生成的瞬間瀲滟與感動.
波利亞指出“拿一個有意義而不復雜的題目去幫助學生發(fā)掘問題的各個方面,使得通過這道題就好像通過一道門戶,把學生引入一個完整的領域”.其實,學生學習的過程就是以教師精心創(chuàng)設的問題為載體,親歷主動建構、自動生成的過程;也是一個不斷完善、不斷補充、不斷更新的過程.任何一種不切實際的拔高都是無效的,必須針對具體學情將活動單下放給學生,落實學生的主體作用,讓學生經歷困惑、撞擊、爭執(zhí)、頓悟的過程.也許學生的再發(fā)現(xiàn)和再歸納不是盡善盡美,但用望遠的視野看,效果理應是相對理想的,因為這些知識、思想、方法、感悟是由學生自己覓得的,更能促進新知的合理化建構和理性思維的逐級生長.在學生活動的過程中,教師的適時、適度點撥尤為關鍵,機智的暗示、適時的提醒、欣賞的眼神等都能讓學生由困頓走向豁然開朗;還要在學生已有的知識和待學新知之間架橋鋪路,讓學生“跳一跳,夠到桃”,讓學生在最近思維發(fā)展區(qū)內不斷完善自己的認知結構,提升內層思維品質,進而實現(xiàn)新知水到渠成的生成.這里的“跳一跳,夠到桃”的目標則需要采取“慢、降、放、退”的教學策略來加以實現(xiàn).
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