葛新鋒

許昌學(xué)院，許昌，461000

0 引言

在飛機S形進氣道的制造過程中，采用了先進的纖維絲束自動鋪放技術(shù)。纖維絲束自動鋪放主要由機器人的末端執(zhí)行器在芯模上根據(jù)預(yù)先規(guī)劃的軌跡來完成［1］。要在芯模上進行鋪放纖維絲束，機器人所需要的自由度數(shù)至少為6，但是一般六自由度的機器人不能以任意姿態(tài)來跟蹤芯模的位置［2］。因此，一些學(xué)者就采用了增加自由度的方式來改善機器人跟蹤目標(biāo)的靈活性，這種額外增加的自由度稱為冗余自由度，具有冗余自由度的機器人稱為冗余自由度機器人［3－4］。冗余自由度機器人比六自由度機器人具有更高的靈活性、更精確的跟蹤目標(biāo)能力、更好的避障能力和避奇異能力［5－7］。因此，對自由度大于6的冗余自由度機器人的研究更有實際意義。

在自動鋪絲束成形技術(shù)的復(fù)合材料制造過程中，鋪絲過程采用七自由度的冗余度機器人來完成，也就是說，七自由度的冗余度機器人系統(tǒng)是整個自動鋪絲束成形系統(tǒng)中的重要組成部分，具體的鋪絲工藝都由它來實現(xiàn)，因此對冗余度自動鋪絲機器人進行深入研究意義十分重大。對機器人來講，運動學(xué)逆解是實現(xiàn)運動規(guī)劃和運動控制的基礎(chǔ)，對于冗余自由度機器人也是一樣，所以要實現(xiàn)對冗余自由度自動鋪絲機器人的運動規(guī)劃和運動控制，首先需要解決的是運動學(xué)逆解的問題。冗余自由度機器人的自運動流形包含了機器人的全部逆解［8］，給出了逆解和末端執(zhí)行器之間的映射關(guān)系，從本質(zhì)上反映了冗余度機器人的自運動能力。

對于冗余機器人基于自運動流形的運動學(xué)逆解的求解，國內(nèi)外的學(xué)者們提出了諸多算法，Moll等［9］通過在冗余度機器人的自運動流形上尋找最小能量曲線的方法，來實現(xiàn)機器人的最優(yōu)軌跡規(guī)劃；Muller［10］利用人工勢場法在冗余度機器人自運動流形的切空間研究機器人的避障問題，并給出了5R串聯(lián)機器人的自運動流形；Joel［11］給出了平面3R機構(gòu)和空間4R機構(gòu)的自運動流形，并得出Jacobian矩陣的零空間即是自運動流形的切空間的結(jié)論；趙建文等［12］采用自運動流形的方法從理論上分析了特殊結(jié)構(gòu)的冗余度機器人的逆解，但對于其他結(jié)構(gòu)類型的冗余度機器人也沒有給出有效的運動學(xué)逆解算法。上述算法普遍存在運算量大、實時性較差、優(yōu)化結(jié)果不一定最優(yōu)、不能充分利用冗余的自由度、算法不穩(wěn)定等缺點。

要得到冗余自由度機器人的自運動流形，首先要求出冗余自由度機器人的位置逆解。但是對于六自由度以上的冗余度機器人來說，其位置逆解很難得到［13］。冗余度自動鋪絲機器人的全部逆解基于自運動流形得到，對分析其他類型的冗余度機器人逆運動學(xué)解有一定的借鑒意義。

1 鋪絲機器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析

鋪絲機器人由1個六自由度串聯(lián)機械手和1個旋轉(zhuǎn)芯模組成，如圖1所示。根據(jù)等效運動的原理，把芯模坐標(biāo)系和基座坐標(biāo)系固連在一起，從而得到肩部1個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)、肘部3個移動關(guān)節(jié)和腕部3個關(guān)節(jié)的七自由度串聯(lián)機器人，其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖2所示。按照標(biāo)準(zhǔn)D－H方法建立坐標(biāo)系，D－H參數(shù)如表1所示。

圖1 自動鋪絲機器人的結(jié)構(gòu)圖

圖2 七自由度自動鋪絲機器人拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

表1 鋪絲機器人的連桿參數(shù)

2 七自由度機器人自運動流形

2.1 七自由度機器人位置關(guān)節(jié)空間流形

由于末端執(zhí)行器與第7關(guān)節(jié)固連，通過第7關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的位置可以很容易知道末端執(zhí)行器的位置。因此，末端執(zhí)行器上固連運動坐標(biāo)系的定義不會影響機器人的運動分析，故假定末端執(zhí)行器的坐標(biāo)系與第7關(guān)節(jié)坐標(biāo)系重合。自動鋪絲機器人的3個移動關(guān)節(jié)交于一點，決定了末端執(zhí)行器的空間位置，這樣末端執(zhí)行器的位置就可以由第5、第6、第7關(guān)節(jié)軸線的交點到基坐標(biāo)系原點之間的位移矢量l o1o4來確定，全體這樣的l o1o4的集合就構(gòu)成了該冗余度機器人的位置工作空間，所以3個移動關(guān)節(jié)又稱為位置關(guān)節(jié)。

根據(jù)自動鋪絲機器人的等效運動，可以定義腰肩肘關(guān)節(jié)構(gòu)型空間為

式中，C i為第i關(guān)節(jié)的構(gòu)型空間，i＝1，2，3，4。

機器人的位置工作空間U p可以表示為

式中，f p（θp）為CWSC到U p的映射。

式中，C p為自動鋪絲機器人的位置關(guān)節(jié)空間流形。

2.2 七自由度機器人姿態(tài)關(guān)節(jié)空間流形

腕部3個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的軸線交于一點o4，末端執(zhí)行器的姿態(tài)調(diào)整僅由第5、第6、第7關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動就可以實現(xiàn)，且姿態(tài)調(diào)整時不改變o4的位置，故腕部的3個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)又稱為姿態(tài)關(guān)節(jié)，因此，該冗余度機器人的末端執(zhí)行器是位姿解耦的。

定義腕關(guān)節(jié)構(gòu)型空間：

式中，C o為機器人的姿態(tài)關(guān)節(jié)空間流形；f為冗余度機器人的正向運動學(xué)解。

2.3 七自由度機器人自運動流形

將第i關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)空間表示為C i，則關(guān)節(jié)構(gòu)型空間C可以表示為7個獨立的C i的積空間：

機器人關(guān)節(jié)所起的作用相當(dāng)于數(shù)學(xué)里函數(shù)所起的作用，它實現(xiàn)了關(guān)節(jié)構(gòu)型空間和末端執(zhí)行器的位姿工作空間的映射與逆映射。令θ＝［θ1θ2…θ7］T，則冗余度機器人末端執(zhí)行器的位姿工作空間可描述為

任取u∈U，則u對應(yīng)的自運動流形可描述為由構(gòu)型子空間C So和映射集F So組成的對子：

對于串聯(lián)機器人而言，f很容易由θ求出，因此，求解機器人自運動流形的主要任務(wù)是求解C So。

3 自動鋪絲機器人的自運動流形

自動鋪絲機器人腕部的3個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)軸線交于一點，決定了機器人末端執(zhí)行器在工作空間的姿態(tài)；3個移動關(guān)節(jié)交于一點，決定了機器人末端執(zhí)行器在工作空間的位置。末端執(zhí)行器的姿態(tài)調(diào)整可以僅由腕部的3個關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動來實現(xiàn)，姿態(tài)調(diào)整時不改變末端執(zhí)行器的位置。所以可以把該機器人的自運動流形分解為位置工作空間流形和姿態(tài)工作空間流形，并分別求取該位置的工作空間流形和姿態(tài)工作空間流形，然后經(jīng)過配對得到該自動鋪絲機器人關(guān)節(jié)空間的自運動流形。

3.1 自動鋪絲機器人的位置關(guān)節(jié)空間流形

令末端執(zhí)行器坐標(biāo)系T相對芯模坐標(biāo)系S的位姿變換矩陣為，則有

據(jù)前述可得位置關(guān)節(jié)參數(shù)：

根據(jù)等效運動原理，假設(shè)自動鋪絲機器人末端執(zhí)行器跟蹤一個空間圓時，則應(yīng)有圖3所示的自動鋪絲機器人位置關(guān)節(jié)空間流形，但在實際鋪絲過程中，由于機器人末端執(zhí)行器在工作過程中實際運動路線為一條空間曲線，加上待鋪零件的尺寸限制，故位置關(guān)節(jié)空間流形僅為圖3的一部分。

圖3 位置關(guān)節(jié)空間流形

3.2 自動鋪絲機器人的姿態(tài)關(guān)節(jié)空間流形

自動鋪絲機器人末端的3個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)軸線交于一點，其幾何結(jié)構(gòu)如圖4所示。末端執(zhí)行器在坐標(biāo)系x0y0z0中的期望坐標(biāo)為（xee，yee，zee），3個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)軸線的交點到末端執(zhí)行器的距離為l，ψ為末端執(zhí)行器與其在x0y0面內(nèi)的投影所在的平面和通過關(guān)節(jié)軸1的鉛垂面的夾角。

圖4 自動鋪絲機器人姿態(tài)關(guān)節(jié)的幾何結(jié)構(gòu)

根據(jù)自動鋪絲機器人姿態(tài)關(guān)節(jié)的幾何結(jié)構(gòu)，有下列等式成立：

在給定末端執(zhí)行器的位置坐標(biāo)（xee，yee，zee）和自運動參數(shù)ψ的情況下，根據(jù)式（11）、式（12）、式（13）可得其運動學(xué)逆解：

其對應(yīng)的姿態(tài)關(guān)節(jié)空間流形如圖5所示（部分）。

3.3 自動鋪絲機器人的自運動流形

圖5 姿態(tài)關(guān)節(jié)空間流形

冗余自由度機器人的自運動流形是構(gòu)型空間流形的子流形［14］，所以自動鋪絲機器人的自運動流形由位置關(guān)節(jié)空間流形和姿態(tài)關(guān)節(jié)空間流形配對組合而成。機器人姿態(tài)關(guān)節(jié)空間流形為與機器人末端執(zhí)行器位置和自運動參數(shù)有關(guān)的空間曲線，而機器人位置關(guān)節(jié)空間流形為－空心圓柱，故自動鋪絲機器人的自運動流形為空心圓柱中空間曲線，所以七自由度冗余機器人能夠以任意姿態(tài)完成鋪絲任務(wù)。

4 自動鋪絲機器人的自運動流形驗證

為了驗證求出的自運動流形的正確性，以鋪絲機器人纏繞某型號飛機的S形進氣道芯模為例進行驗證，圖6所示為某型號飛機的S形進氣道機器人行走的軌跡曲線，也即圖6為機器人末端執(zhí)行器在芯模上的期望軌跡。圖7所示是根據(jù)圖6機器人期望軌跡的運動學(xué)逆解得到的末端操作器的仿真軌跡。

圖6 末端執(zhí)行器的期望軌跡

圖7 末端執(zhí)行器的仿真軌跡

對比圖6和圖7，發(fā)現(xiàn)所得到的仿真軌跡和期望軌跡相當(dāng)一致，證明本文求得的自動鋪絲機器人的自運動流形正確、適用。

5 結(jié)語

七自由度的自動鋪絲機器人屬于位姿解耦的冗余度機器人，其自運動流形可以看作是位置工作空間流形和姿態(tài)工作空間流形配對形成的自運動流形；求解位姿解耦的冗余度機器人的自運動流形時，先把自運動流形分解為位置工作空間流形和姿態(tài)工作空間流形，然后分別進行分析和求解，最后把求解出來的位置工作空間流形和姿態(tài)工作空間流形進行配對即可得到該冗余度機器人的自運動流形。

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