孫華麗，張政治

（61920部隊，成都 610505）

1 引言

在全球定位系統(tǒng) （global positioning system，GPS）衛(wèi)星導航定位時，不管是采用差分模式還是非差精密單點定位，都是利用距離后方交會測量原理，即用戶通過測量接收機到衛(wèi)星間的距離來確定接收機的位置，于是導航定位的前提是實時獲取衛(wèi)星的位置和速度，而衛(wèi)星的位置和速度是由衛(wèi)星的廣播星歷參數(shù)來計算得到的［1］。

由接收機收到的導航電文中開普勒軌道參數(shù)和軌道攝動參數(shù)等信息按照固的公式計算得到GPS衛(wèi)星的瞬間坐標，即所謂的直接法，文獻［2］詳細論述了其計算步驟。用廣播星歷直接計算GPS坐標，計算量大，過程復雜，需要在星歷文件與觀測文件之間不停地進行時間比對和衛(wèi)星比對，效率低。并且由于廣播星歷數(shù)據(jù)更新周期為2h，用相鄰兩組星歷計算同一時刻坐標時會產生不同結果，這為臨界區(qū)域的坐標確定、周跳剔除以及觀測值殘差分析等帶來諸多不便。在實際應用中一般采用插值的方法獲取所需時刻的衛(wèi)星位置坐標，因此有必要尋找一種計算過程簡便、占用內存小，且滿足精度要求的插值算法將特定時段衛(wèi)星軌道用某些具有代表性的坐標點標準化。

2 三種常用插值算法

目前在利用廣播星歷計算GPS衛(wèi)星坐標這一領域，最常用的插值方法是拉格朗日插值，拉格朗日插值模型比較簡單，但當需要進行增減節(jié)點時，所有的插值基函數(shù)將改變，原有公式必須重新建立，計算量大。當需要提高精度進行高階插值時，可能會產生龍格現(xiàn)象，并且在插值區(qū)間端點處容易產生震蕩。三種插值算法簡述為［3］

2.1 牛頓插值

牛頓插值將插值基函數(shù)定義成

其多項式的系數(shù)是各階均差，定義為：

一階均差定義為

二階均差定義為

類似地，定義k階均差

根據(jù)均差定義，高階均差是低一階均差的均差。定義牛頓均差插值多項式

在實際計算中，當增加節(jié)點時，只需增加一個被加項，原來計算全部有效。這樣就避免了增減節(jié)點引起插值基函數(shù)的改變，導致整個公式的變化。

2.2 埃爾米特插值

埃爾米特插值也叫指定微商值的插值，是一種光滑的插值方法，不但要求在節(jié)點上函數(shù)值相等，而且為了保證光滑程度還要求對應的導數(shù)值也相等。首先構造埃爾米特插值多項式，設已知節(jié)點

a≤x0＜x1…＜xn≤b上，

yj＝f（xj），mj＝f′（xj），（j＝0，1，…，n），這里給出了2n＋2個條件，可唯一確定一個次數(shù)不超過2n＋1的多項式

其形式為

寫成用插值基函數(shù)表示的形式

數(shù)學上可以證明這種插值函數(shù)具有一致收斂性。

2.3 樣條插值

樣條插值能用較低次數(shù)的多項式達到較高階的光滑度，若S（x）滿足以下條件：

（1）在給定區(qū)間［a，b］上有二階連續(xù)導數(shù)；

（2）給定節(jié)點a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，在每個小區(qū)間 ［xi，xi＋1］上，S（x）是三次多項式。

稱滿足以上兩個條件的函數(shù)S（x）為節(jié)點x0，x1，…，xn的三次樣條函數(shù)。

若在節(jié)點xj上給定函數(shù)值

且S（x）＝y(tǒng)i，i＝ （0，1…，n）成立時，則稱S（x）為節(jié)點x0，x1，…，xn的三次樣條插值函數(shù)，其中x0，x1，…，xn為樣條節(jié)點。三次樣條表達式為

Mi在力學上解釋為細梁在xi截面處的彎矩，稱為S（x）的矩。文獻 ［4］通過M，T關系式法構造五次樣條插值函數(shù)。

3 三種算法插值計算GPS坐標

3.1 數(shù)值實驗

利用PRN1衛(wèi)星在2007年5月7日歷元時刻10時的廣播星歷參數(shù)文件，直接法可計算出9時至10時30分之間的相關坐標值。本文等距選取插值節(jié)點時刻為9h：15m：10h30m作為訓練集，記作節(jié)點0：15：90，這樣選取的歷元時刻是整分鐘，可以避免出現(xiàn)小數(shù)位，導致插值時出現(xiàn)浮點運算，降低了計算復雜度，這也是采用偶數(shù)階插值的原因。等距選取測試歷元時刻為9h：5m：10h30m，記為節(jié)點0：5：90。

由于直接法得到的坐標值是離散的，因此在埃爾米特插值和樣條插值中，補充導數(shù)條件不能由直接法給出，現(xiàn)有的研究表明8階拉格朗日插值誤差達到厘米級［5-8］，可以滿足GPS普通用戶的應用需求，于是這里可以借助8階拉格朗日插值多項式對插值節(jié)點求各階導數(shù)作為補充條件。在進行誤差統(tǒng)計分析時，由于正負誤差效果等同，均先將原始誤差值取絕對值，并且根據(jù)插值的定義，這里還要剔除誤差曲線插值節(jié)點處的零值。

在牛頓插值中，利用7個節(jié)點構造6階牛頓均差插值。在測試集點0：5：90上，將6階牛頓均差插值廣播星歷所得坐標與直接法計算出來的真值做比較，圖1給出了三個方向上的誤差分布曲線，表1列出了三個方向上的誤差統(tǒng)計情況。

圖1 6階牛頓插值誤差曲線

表1 6階牛頓插值誤差統(tǒng)計/m

同樣的方法，在節(jié)點0：15：90的基礎上，通過直接計算追加兩個節(jié)點，共9個歷元時刻作為訓練集節(jié)點，構造8階牛頓均差插值多項式。在測試集點0：5：90上，將8階牛頓均差插值廣播星歷所得坐標與直接法所得結果做比較，圖2給出了三個方向上的誤差分布曲線，表2列出了三個方向上的誤差統(tǒng)計情況。

圖2 8階牛頓插值誤差曲線

表2 8階牛頓插值誤差統(tǒng)計/m

在埃爾米特插值計算中，本文考慮插值精度的要求和便于比較，筆者在訓練集節(jié)點上分別構造了三點5次和四點4次埃爾米特插值多項式，并應用于衛(wèi)星軌道插值。在測試集點0：5：90上分別將分段5次和7次埃爾米特插值所得結果與直接法計算出來的真值做比較。圖3給出了5次埃爾米特插值在三個方向上的誤差分布曲線，表3列出了5次埃爾米特插值在三個方向上的誤差統(tǒng)計情況，圖4和表4給出了7次的情形。

圖3 5次埃爾米特插值誤差曲線

表3 5次埃爾米特插值誤差統(tǒng)計/m

圖4 7次埃爾米特插值誤差曲線

表4 7次埃爾米特插值誤差統(tǒng)計/m

在樣條插值中，筆者嘗試了3次樣條插值和5次樣條插值，在測試集點0：5：90上，將3次樣條和5次樣條插值結果與直接法計算出的真值做比較。圖5給出了3次樣條插值在3個方向上的誤差分布曲線，表5列出了3次樣條插值3個方向上的誤差統(tǒng)計情況，圖6和表6給出了5次的情形。

圖5 3次樣條插值誤差曲線

表5 3次樣條插值誤差統(tǒng)計/m

圖6 五次樣條插值誤差曲線

表6 五次樣條插值誤差統(tǒng)計/m

為了考察三種插值方法插值結果與直接法所得真值的離散程度，綜合考慮階數(shù)和精度的要求，下面選取6階牛頓插值、5次埃爾米特插值、五次樣條插值來計算在節(jié)點處的均方根 （root mean square，RMS），其公式是

在同一坐標系中畫出三種方法的RMS分布圖如圖7所示。

圖7 三種插值方法的RMS分布圖

3.2 精度說明

由圖1和表1可知，6階牛頓插值在Z方向上精度最高，達到厘米級，Y方向次之，為分米級，X方向僅為米級。由圖2和表2可知，8階牛頓插值在Y、Z方向上都達到了毫米級，X方向達到了厘米級。8階有小幅震蕩，6階的震蕩現(xiàn)象比較嚴重。三個方向上在插值區(qū)間中間部分精度都比端點出高一個量級，與插值的計算特點相符，下面埃爾米特插值和樣條插值的結果也有類型的現(xiàn)象。

由圖3和表3可知，五次埃爾米特插值在X、Y、Z方向精度分別為分米、厘米、毫米。由圖4和表4可知，7次埃爾米特插值誤差在X方向為厘米級，Y、Z方向達到毫米級。三個方向在插值區(qū)間左端點處仍有較明顯的震蕩現(xiàn)象。

由圖5和表5可知，3次樣條插值的計算精度在十米級，不能滿足用戶的精度需求，但是沒有震蕩現(xiàn)象發(fā)生。由圖6和表6可知，5次樣條插值精度在X、Y方向為分米級，在Z方向為厘米級，在插值區(qū)間端點處震蕩現(xiàn)象較不明顯。

由圖7三種插值方法的RMS分布圖知，區(qū)間內精度較高，區(qū)間端點處會產生震蕩。牛頓插值誤差斜率變化比較大，震蕩現(xiàn)象最為嚴重，而隨著插值階數(shù)的提高，震蕩也會更嚴重。埃爾米特插值比較好的處理了區(qū)間端點處的震蕩問題。

3.3 結果分析

拉格朗日多項式在增加新的節(jié)點時，原有基函數(shù)需要重新計算，而牛頓法通過構造差商，在加入新節(jié)點后，只需計算一次更高階的差商，原有差商結果仍可繼續(xù)使用，解決了動態(tài)增加節(jié)點的問題，使迭代方式具有承襲性，程序實現(xiàn)靈活，但其精度不高。

用分段低次埃爾米特插值可以做到降低插值階數(shù)情況下提高插值精度，這樣可以降低計算復雜度，降低了插值多項式階數(shù)還可以進一步避免了龍格震蕩現(xiàn)象的發(fā)生。增加1個節(jié)點時，埃爾米特插值可以提高2個階數(shù)，并且由于采用分段低次處理插值問題，可以較好的避免拉格朗日多項式在增加新的節(jié)點時，原有基函數(shù)需要重新計算的問題，只需局部改變多項式基函數(shù)，模型變化小，易于程序移植。

5次樣條插值方法模型簡單，精度高，可克服分段插值函數(shù)整體光滑性較差的缺點，同時計算復雜度比牛頓插值和埃爾米特插值降低了一個階［4］。5次樣條插值方法采用分段處理插值問題，各段都是相對獨立的，并且不涉及插值基函數(shù)，插值函數(shù)表達式形式固定，只需解方程求出區(qū)間內樣條節(jié)點的二階和四階導數(shù)值，較好的解決了動態(tài)增減節(jié)點的問題，程序實現(xiàn)靈活。

4 結論

三種插值方法各有特點，牛頓插值承襲性較強，但是精度沒有得到明顯提高，適應于衛(wèi)星有限、點位快速計算且無需高精度；埃爾米特插值精度高，在節(jié)點處具有一階光滑度、整體逼近效果好并且一致收斂，適用于較多衛(wèi)星位置計算或局部軌道計算；樣條插值在穩(wěn)定性、震蕩性方面有其獨特的優(yōu)勢，適合于軌道弧段邊界點的位置計算。在利用GPS廣播星歷對衛(wèi)星軌道進行插值計算中，上述三種方法在一定程度上可以替代傳統(tǒng)的拉格朗日插值方法，在一定范圍內值得推廣。

［1］魏子卿，葛茂榮.GPS相對定位的數(shù)學模型［M］.北京：測繪出版社，1998.

［2］HOFNM ANN－WELLENHOF B，LICHTENEGGER H，COLLINS J.GPS Theory and Practice.Wien：Springer－Verlag，1997.

［3］李慶揚，王能超，易大義.數(shù)值分析［M］.4版.北京：清華大學出版社，2005.

［4］唐建國，蔣九林.五次樣條函數(shù)的構造［J］.鄭州大學學報：理學版，2005，37（3）：15－18.

［5］江國焰，李明峰，朱振宇，等.GPS衛(wèi)星廣播星歷的Lagrange等距插值算法［J］.南京工業(yè)大學學報：自然科學版，2008，30（1）：34－38.

［6］萬亞豪，張書畢，侯東陽.基于GPS廣播星歷的衛(wèi)星位置擬合精度分析［J］.測繪工程，2011，20（3）：36－40.

［7］陳劉成，韓春好，陳金平.廣播星歷參數(shù)擬合算法研究［J］.測繪科學，2007，32（3）：12－15.

［8］萬亞豪，張書畢，侯東陽.基于GPS廣播星歷的衛(wèi)星位置擬合精度分析［J］.測繪工程，2011，20（3）：36－40.