曹劍英

（集寧師范學院 物理系，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000）

基于擴展CORDIC算法的正切余切函數(shù)的設計

曹劍英

（集寧師范學院 物理系，內(nèi)蒙古 烏蘭察布 012000）

傳統(tǒng)的坐標旋轉算法(Cordinate Rotational Digital Computer,CORDIC)已經(jīng)能夠在硬件上較為滿意地計算三角函數(shù)，但是依然存在范圍過窄的限制；需要進一步改進和完善的地方.本文基于擴展的CORDIC算法原理對正切余切函數(shù)在硬件上的設計.

坐標旋轉算法；正切余切函數(shù)；設計

1 CORDIC算法原理

1.1 算法推導[1]

圖1 平面坐標的旋轉

CORDIC算法是一種旋轉坐標的方法.設起點坐標為P0=(x(1),y(1))，旋轉θ角度，得到終點坐標，設為Pn=(x(2),y(2))，如圖1所示.由三角函數(shù)知識，旋轉后的坐標由式（1-1）計算得到

其中

即

矩陣R可以寫成

把cosθ去掉后相當于把旋轉后矢量的模減小了，為了保證最終的結果正確，一般在結果的后面乘上一個系數(shù)K.對于某一個角度β，假定初始角度為z0，可以通過z0經(jīng)過若干個小角度θi的旋轉獲得，β=z0+Σθi；并可以得到如下所示的迭代公式：

1.2 傳統(tǒng)CORDIC的模型

以上所作的Cordic理論分析，只是Cordic算法提出時的理論雛形；之后，John Walther于1971年對其進行了擴展引申，進一步的完備了Cordic算法，得到以下Cordic的迭代模型[2].

這里，

根據(jù)δi取值的判讀方式，CORDIC算法又分為旋轉模式和向量模式.當m取不同的值時，可以得到CORDIC的三種不同計算方式，在各個計算方式下，通過多次迭代，可以計算得到多個函數(shù)的值，比如三角函數(shù)、雙曲函數(shù)以及開方運算等.

1.3 擴展CORDIC算法

我們可以知道傳統(tǒng)CORDIC迭代算法可以實現(xiàn)乘法、除法、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)以及開方等運算.但是傳統(tǒng)CORDIC算法存在求值受限的問題，比如Circular下的CORDIC算法只能進行0°～99°范圍內(nèi)三角函數(shù)運算，弧度還不能涵蓋0～π.針對CORDIC的這類問題，Xiaobo Hu等3位教授在在Expanding the Range of Convergence of the Cordic Algorithm[3]中提出了改進型的CORDIC算法.

2 擴展CORDIC算法正切余切的設計方式

CORDIC迭代算法并不能直接被用于計算正切和余切函數(shù).由于圓周CORDIC算法能被用于計算正弦與余弦函數(shù)，而線性CORDIC算法能實現(xiàn)兩變量的乘法與除法操作，基于此，本論文擬采用圓周CORDIC與線性CORDIC相結合的方式來實現(xiàn)正切與余切的操作，如圖2所示.

圖2 基于CORDIC的正切余切的實現(xiàn)

本文采用的定點數(shù)據(jù)格式如圖3所示，使用16位二進制來表示小數(shù)部分，8位表示整數(shù)部分，還有一位是符號位.

圖3 定點數(shù)據(jù)格式(一位符號位，8位整數(shù)位以及16位小數(shù)位)

在本文中，我們引入M倍降速遞歸流水線技術（這里M=2），在一個模塊中同時實現(xiàn)正切與余切運算.該模塊的內(nèi)部結構如圖4所示.從而可知，通過增加較為簡單的控制電路，可以使整個模塊能夠節(jié)省將近5%的LUTs[4].

圖4 基于M倍降速遞歸流水線技術的正切余切模塊

4.5.2仿真驗證.

表1 測試用例以及仿真結果分析

在Modelsim中編寫了TestBench文件進行測試，測試用例如表1所示.由于在模塊內(nèi)部，針對符號位是做了特殊處理的，因此會出現(xiàn)在多次迭代后，±θ的正切或余切只是符號位有差別，而不會因為迭代的原因?qū)е掠薪^對值上的偏差.此外，從表1的誤差比率來看，本文所設計的正切余切計算模塊能較為精確地獲得角度θ的正切余切值.

〔1〕孔德元.針對正弦余弦計算的CORDIC算法優(yōu)化及其FPGA實現(xiàn)[D].中南大學碩士論文，2008.1-3.

〔2〕J.E.Volder.The CORDIC trigonometric computing technique [J].IRE Trans.on Electron.Computers,vol. EC-8,1959.P.330-P.334.

〔3〕Xiaobo Hu,Ronald G.Harber,and Steven C.Bass, Expanding the Range of Convergence of the CORDIC Algorithm,IEEE Trans.on Computers,[J].vol.40,no.1, 1991.Jan.P.13-P.21.

〔4〕曹劍英.M倍降速遞歸流水線技術實現(xiàn)正切余切函數(shù)[J].通信技術，2013（05）.

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1673-260X（2013）11-0005-02