肖世校，陽連武

（1.集美大學誠毅學院，福建 廈門 361021；2.宜春學院 數(shù)學與計算機科學學院，江西 宜春 336000）

逆指數(shù)分布參數(shù)的Bayes和經(jīng)驗Bayes估計

肖世校1，陽連武2

（1.集美大學誠毅學院，福建 廈門 361021；2.宜春學院 數(shù)學與計算機科學學院，江西 宜春 336000）

基于完全樣本,在平方誤差損失、LINEX損失函數(shù)下研究了逆指數(shù)分布參數(shù)的Bayes估計和經(jīng)驗Bayes估計.文末通過Monte Carlo數(shù)值模擬例子對各類估計結(jié)果進行比較.

最大似然估計；Bayes估計；經(jīng)驗Bayes估計；平方誤差損失函數(shù)；LINEX損失函數(shù)

1 引言

關(guān)于可靠性分布模型參數(shù)的Bayes統(tǒng)計推斷問題得到了眾多學者的關(guān)注和研究，并成為近年來數(shù)理統(tǒng)計學研究的熱點方向.文獻[1]基于逐步遞增的I型截尾壽命試驗，研究了復合瑞利分布參數(shù)的最大似然估計以及Bayes估計問題;文獻[2]基于逐次定數(shù)截尾樣本討論了Burr Type II分布參數(shù)的最大似然估計和逆矩估計問題；文獻[3]研究了定數(shù)截尾樣本情形下逆Weibull分布參數(shù)的Bayes估計和預測問題；文獻[4]基于逐次定數(shù)截尾樣本討論了比率危險率分布模型參數(shù)的Bayes估計問題；文獻[5]討論了Burr Type XII分布參數(shù)的Minimax估計問題；文獻[6]討論了具有二項隨機移除的廣義指數(shù)分布參數(shù)的最大似然估計以及置信區(qū)間估計問題.本文將在完全樣本情形下研究逆指數(shù)分布參數(shù)的最大似然估計、Bayes估計以及經(jīng)驗Bayes估計問題.

設(shè)隨機變量X服從兩參數(shù)逆指數(shù)分布,相應(yīng)的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為：

和

其中θ為未知參數(shù).

2 估計

2.1 最大似然估計

設(shè)X1,X2,…,Xn為來自逆指數(shù)分布(1)的樣本容量為n的一個簡單隨機樣本,其中(x1,x2,…,xn)為(X1,X2,…,Xn)的樣本觀測值.給定(x1,x2,…,xn)下參數(shù)θ的似然函數(shù)為：

由（3）得對數(shù)似然函數(shù)：

相應(yīng)的似然方程為：

得到參數(shù)θ的最大似然估計為

2.2 Bayes和經(jīng)驗Bayes估計

在這一部分,我們將考慮在平方誤差損失、LINEX損失函數(shù)下討論逆指數(shù)分布的尺度參數(shù)θ的Bayes估計問題.以下均設(shè)X1,X2,…,Xn為來自逆指數(shù)分布(1)的容量為n的一個樣本

(i)在平方誤差損失函數(shù)：L(θ^,θ)=(θ^-θ)2下參數(shù)θ的Bayes估計為：θ^BS=E[θ|X]；

(ii)LINEX損失函數(shù)：L(Δ)=ecΔ-Δ-1,c≠0,其中Δ=θ^-θ,θ^為參數(shù)θ的估計,c為損失函數(shù)的形狀參數(shù),則在LINEX損失下,參數(shù)θ的Bayes估計為：

定理1 設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)為來自逆指數(shù)分布(1)的樣本容量為n的一個簡單隨機樣本,其中x=(x1,x2,…,xn)為相應(yīng)的樣本觀察值,t為T的觀察值,并設(shè)參數(shù)θ的先驗分布為伽瑪分布Γ(α,β),則

（i）在平方誤差損失函數(shù)下,參數(shù)θ的Bayes估計為：

(ii)在LINEX損失函數(shù)下,參數(shù)θ的Bayes估計為：

證明 設(shè)參數(shù)θ的共軛先驗分布為伽瑪分布Γ(α,β),即相應(yīng)的概率密度函數(shù)為：

再由(3)及Bayes定理,參數(shù)θ的后驗概率密度函數(shù)為：

于是參數(shù)θ的后驗分布為Γ(n+α,β+t).

則（i）在平方誤差損失函數(shù)下,參數(shù)θ的Bayes估計為其后驗均值,故參數(shù)θ的Bayes估計：

（ii）由(11)有

于是在LINEX損失函數(shù)下,參數(shù)θ的Bayes估計為：

注2 當超參數(shù)α已知時,定理1中的Bayes估計依賴于超參數(shù)β的選取,且當超參數(shù)β未知時,我們可借用經(jīng)驗Bayes估計方法進行估計.由(3)和(10)我們得到x的邊緣概率密度函數(shù)：

現(xiàn)在我們將β^替換Bayes估計中的參數(shù)β,便得到參數(shù)θ的經(jīng)驗Bayes估計分別為：

3 實際應(yīng)用例子和結(jié)論

利用Matlab軟件，通過Monte Carlo數(shù)值模擬生成一組樣本容量為20的服從參數(shù)θ=2.0的逆指數(shù)分布(1)的簡單隨機樣本樣本,具體樣本值見表1.

表1 數(shù)值模擬數(shù)據(jù)

由表2和大量的數(shù)值模擬試驗我們得到如下結(jié)論：

(i)參數(shù)的Bayes和經(jīng)驗Bayes估計值在樣本量n較小的情況下受超參數(shù)的影響較大,但隨樣本容量的增加超參數(shù)對參數(shù)估計值的影響逐漸變小,并且本文得出的經(jīng)驗Bayes估計θ^EBS恰好等于最大似然估計θ^ML;

表2 參數(shù)的Bayes和經(jīng)驗Bayes估計值

(ii)LINEX損失函數(shù)下的Bayes和經(jīng)驗Bayes估計會受到損失函數(shù)自身的形狀參數(shù)c的影響.

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O212

A

1673-260X（2013）11-0003-02

江西省自然科學基金項目(20114BAB211005)