李金寶，晏燕雄

(1.重慶文理學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 402160;2.重慶第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程系，重慶 400067)

數(shù)學(xué)家傅鷹說“一門科學(xué)的歷史是那門科學(xué)中最寶貴的一部分，因為科學(xué)只能給我們知識，而歷史卻能給我們智慧?！?。以正整數(shù)作為研究對象的初等數(shù)論，可以看作是算術(shù)的一部分，但它不是以運算的觀點，而是以數(shù)的結(jié)構(gòu)的觀點，即一個數(shù)可用性質(zhì)較簡單的其它數(shù)來表達的觀點來研究數(shù)的。因此可以說，數(shù)論是研究由整數(shù)按一定形式構(gòu)成的數(shù)系的科學(xué)。本文中我們主要介紹數(shù)論中的整除理論、同余理論、方程理論及與數(shù)論有關(guān)的兩個問題，一是“中國剩余定理”，二是費馬猜想。

1 關(guān)于《初等數(shù)論》中“三種理論”發(fā)展史的研究

1.1 整數(shù)理論

早在公元前3 世紀(jì)，歐幾里得的《原本》中討論了整數(shù)的一些性質(zhì)。他證明素數(shù)的個數(shù)是無窮的，他還給出了求兩個數(shù)的公約數(shù)的輾轉(zhuǎn)相除法。厄拉多塞(Eratosthenes)則給出了尋找不大于給定的自然數(shù)N 的全部素數(shù)的“篩法”:在寫出從1 到N 的全部整數(shù)的紙草上，依次挖去2、3、5、7、……的倍數(shù)(各自的2 倍，3 倍，……)以及1，在這篩子般的紙草上留下的便全是素數(shù)了。

例 判斷379 是否是質(zhì)數(shù)。

另外，印度的一名年輕學(xué)生Sundaram 于1934年也發(fā)現(xiàn)了一種尋找質(zhì)數(shù)的方法，具體方法就是:先構(gòu)造一個數(shù)陣，使得第一行為以4 為首項以3 為公差的等差數(shù)列;第二行是首項為7 公差為5 的等差數(shù)列;依次類推，使得第k 行是以4+3(k－1)為首項，以2k+1 為公差的等差數(shù)列。通過這種方法得到一個主對角線的對稱數(shù)陣。

無論如何，我們不難看出，用篩選法尋找質(zhì)數(shù)都是異常繁瑣的，試問是否有一個統(tǒng)一的公式來表示所有的素數(shù)呢?歷代數(shù)學(xué)家為此付出艱辛，答案是否定的，因為質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無窮的而且是沒有規(guī)律可尋的。

1.2 同余理論

當(dāng)兩個整數(shù)之差能被正整數(shù)m 除盡時，便稱這兩個數(shù)對于“模”m 同余。我國《孫子算經(jīng)》(公元4世紀(jì))中計算一次同余式組的“求一術(shù)”，有“中國剩余定理”之稱。13 世紀(jì)，秦九韶已建立了比較完整的同余式理論——“大衍求一術(shù)”，這是數(shù)論研究的內(nèi)容之一。

“中國剩余定理”簡介:我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中，記載這樣一個問題:“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?！庇矛F(xiàn)在的話來說就是:“有一批物品，三個三個地數(shù)余二個，五個五個地數(shù)余三個，七個七個地數(shù)余二個，問這批物品最少有多少個?！边@個問題的解題思路，被稱為“孫子問題”、“鬼谷算”、“隔墻算”、“韓信點兵”等等。那么，這個問題怎么解呢?明朝數(shù)學(xué)家程大位把這一解法編成四句歌訣:

三人同行七十(70)稀，五樹梅花廿一(21)枝，

七子團圓正月半(15)，除百零五(105)便得知。

歌訣中每一句話都是一步解法:第一句指除以3 的余數(shù)用70 去乘;第二句指除以5 的余數(shù)用21 去乘;第三句指除以7 的余數(shù)用15 去乘;第四句指上面乘得的三個積相加的和如超過105，就減去105的倍數(shù)，就得到答案了。即:

70×2+21×3+15×2－105×2=23

《孫子算經(jīng)》的“物不知數(shù)”題雖然開創(chuàng)了一次同余式研究的先河，但由于題目比較簡單，甚至用試猜的方法也能求得，所以尚沒有上升到一套完整的計算程序和理論的高度。真正從完整的計算程序和理論上解決這個問題的，是南宋時期的數(shù)學(xué)家秦九韶。秦九韶于公元1247 年寫成的《數(shù)書九章》一書中提出了一個數(shù)學(xué)方法“大衍求一術(shù)”，系統(tǒng)地論述了一次同余式組解法的基本原理和一般程序。

1.3 方程問題

丟番圖的《算術(shù)》中給出了求所有整數(shù)解的方法。費爾馬指出在n ＞3 時無整數(shù)解，對于該問題的研究產(chǎn)生了19 世紀(jì)的數(shù)論。之后高斯的《數(shù)論研究》(1801 年)形成了系統(tǒng)的數(shù)論。

2 數(shù)學(xué)家費馬(Feimat)及其費馬猜想的介紹

費馬，P.de (Pierre de Fermat 1601～1665)，法國數(shù)學(xué)家。1601 年8 月17 日生于法國南部博蒙－德洛馬涅，1665 年1 月12 日卒于卡斯特爾。他利用公務(wù)之余鉆研數(shù)學(xué)，在數(shù)論、解析幾何、概率論等方面都有重大貢獻，被譽為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。費馬最初學(xué)習(xí)法律，但后來卻以圖盧茲議會的議員終其一生。他博覽群書，精通數(shù)國文字，掌握多門自然科學(xué)。雖然年近三十才認真注意數(shù)學(xué)，但成果累累。他性情淡泊，為人謙遜，對著作無意發(fā)表。去世后，很多論述遺留在舊紙堆里，或書頁的空白處或在給朋友的書信中。他的兒子小費馬將這些匯集成書，共兩卷，1679 年在圖盧茲出版。

費馬特別愛好數(shù)論，他證明或提出許多命題，最有名是“費馬大定理”，即不可能有滿足xn+yn=zn，n ＞2 的正數(shù)x，y，z 存在。這命題他寫在丟番圖《算術(shù)》(拉丁文譯本，1621)第2 卷的空白處:“……將一個高于二次的冪分為兩個同次的冪，這是不可能的。關(guān)于此，我確信已發(fā)現(xiàn)一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下?！?。由于后來找不到費馬的證明，激發(fā)起歷代數(shù)學(xué)家的興趣然而至今仍未得到普遍的證明。

和R.笛卡兒同時或較早，費馬已得到解析幾何的要旨。他在《平面與立體軌跡引論》(開始于1629 年，1636 年前完成;“立體軌跡”指不能用尺規(guī)作出的曲線，與現(xiàn)在的含義不同)一文中明確指出方程可以描述曲線，并通過方程的研究推斷曲線的性質(zhì)。因此，他和笛卡兒分享創(chuàng)立解析幾何的榮譽。

費馬是微積分學(xué)的先驅(qū)。他在給G.P.羅貝瓦爾和笛卡兒的信(1636，1638)中提出求極大、極小的步驟，實際已相當(dāng)于令導(dǎo)數(shù)為零，求出極點的方法。他曾討論曲線xmyn=k(m，n∈Z+)下的面積，這是積分學(xué)的前期工作。費馬還是17 世紀(jì)興起的概率論的探索者之一。他提出光學(xué)的“費馬原理”，給后來變分法的研究以極大的啟示。

費爾瑪猜想:法國數(shù)學(xué)家費爾瑪對數(shù)學(xué)的貢獻涉及各個領(lǐng)域。他與笛卡兒一起奠定了解析幾何的基礎(chǔ);他和帕斯卡一起奠定了概率論的基礎(chǔ);他從幾何角度，第一次給出了求函數(shù)極值的法則……但使他名垂千古、載入史冊的還他所提出的費爾瑪猜想，也被稱為“費爾瑪大定理?！?/p>

費爾瑪在丟番圖的《算術(shù)學(xué)》的書頁邊上寫道:“任何一個數(shù)的立方不能分解為兩個立方之和，任何一個有選舉權(quán)的四次方不能分解為兩個四次方之和;更一般的，除二次冪外，兩個數(shù)的任何次冪的和都不可能等于第三人矍有同次冪的數(shù)。我已經(jīng)找到了這個斷語的絕妙證明，但是，這書的頁邊太窄，不容我把證明寫出來?！?/p>

費爾瑪?shù)倪@段筆記，用數(shù)學(xué)語言來表達，就是形如xn+yn=zn的方程，當(dāng)n ＞2 時，不可能有正整數(shù)解。

遺憾的是，人們找遍了他的文稿和筆記，都搜尋不到這個“絕妙”的證明。在300 多年中，人們希望能找到它的一般證明，但又苦于無法;企圖否定，又舉不出反例。1850 年及1853 年，法國科學(xué)院曾兩次以2000 法郎的獎金懸賞，但都沒有收到正確答案。1900 年，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特認為費爾瑪大定理是當(dāng)時最難的23 個數(shù)學(xué)問題之一。1908 年，德國哥庭根科學(xué)院按照德國數(shù)學(xué)家俄爾夫斯開耳的遺囑，把他的10 萬馬克作為費爾瑪大定理的證明獎金，向全世界征求解答，期限為100 年，直到公元2007 年仍有效。

一直到1995 年，普林斯頓的數(shù)學(xué)系教授安德魯* 懷爾斯在完全保密的情況下獨立完成了最初7 年的工作，并最終攻克了這個數(shù)學(xué)上“最臭名昭著的三個難題(另外兩個分別是‘黎曼猜想’和‘歌德巴赫猜想’)”之一。他因此獲得了Fields 獎特別獎(1998，柏林)。

3 后記

初等數(shù)論的古典內(nèi)容基本上不借助于其它數(shù)學(xué)分支的方法，稱為初等數(shù)論。17 世紀(jì)中葉以后，曾受數(shù)論影響而發(fā)展起來的代數(shù)、幾何、分析、概率等數(shù)學(xué)分支，又反過來促進了數(shù)論的發(fā)展，出現(xiàn)了代數(shù)數(shù)論(研究整系數(shù)多項式的根—“代數(shù)數(shù)”)、幾何數(shù)論(研究直線坐標(biāo)系中坐標(biāo)均為整數(shù)的全部“整點”—“空間格網(wǎng)”)。19 世紀(jì)后半期出現(xiàn)了解析數(shù)論，用分析方法研究素數(shù)的分布。二十世紀(jì)出現(xiàn)了完備的數(shù)論理論。

［1］閔嗣鶴，嚴士健.初等數(shù)論［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［2］潘承洞，潘承彪.初等數(shù)論［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1992.

［3］原新生.突出師范特色，改革初等數(shù)論教學(xué)［J］.教育與職業(yè)學(xué)報，2006，(8):99-100.

［4］湯敏.關(guān)于初等數(shù)論課堂教學(xué)的思考［J］.安徽:高師理科學(xué)刊，2010，30(1):88-90.

［5］高顯文.關(guān)于《初等數(shù)論》選修課的一些思考［J］.邵通師專學(xué)報，1992，(11):30-31.

［6］晏燕雄.我國初等數(shù)論課程教學(xué)改革的必要性及途徑［J］.西南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012，(4):217-220.

［7］晏燕雄.初等數(shù)論教學(xué)改革的實踐與思考［J］.重慶教育學(xué)院學(xué)報，2011，(6):21-24.