林 斌，彭玉樓

長沙理工大學(xué) 計算機與通信工程學(xué)院，長沙 410114

基于混沌序列的壓縮感知測量矩陣構(gòu)造算法

林 斌，彭玉樓

長沙理工大學(xué) 計算機與通信工程學(xué)院，長沙 410114

1 引言

近年來，Donoho和Cande[1-2]等人提出了一種新型采樣理論，基于稀疏表示的壓縮感知（Compressed Sensing，CS），突破了傳統(tǒng)乃奎斯特采樣理論對采樣頻率的限制，實現(xiàn)了對數(shù)據(jù)獲取的同時進(jìn)行適當(dāng)?shù)貕嚎s，克服了原始采樣數(shù)據(jù)量較大、采樣時間較長，計算機后續(xù)處理以及數(shù)據(jù)存儲空間等物理資源浪費嚴(yán)重的問題。

在CS理論中，有三個核心問題[3]：一是信號稀疏變換；二是測量矩陣設(shè)計；三是重構(gòu)算法構(gòu)造。其中測量矩陣設(shè)計的好壞將直接影響后續(xù)重建信號的誤差的大小。目前廣泛使用的測量矩陣可以分為確定性和隨機性測量矩陣。

當(dāng)前國內(nèi)外有學(xué)者提出將混沌序列應(yīng)用到CS的測量矩陣之中，Nguyen Linh-Trung等人在文獻(xiàn)[4]中利用混沌序列構(gòu)造出滿足高斯分布的測量矩陣，實驗結(jié)果表明該測量矩陣具有一般隨機測量矩陣的性質(zhì)，甚至稍勝于一般隨機測量矩陣；Lei Yu在文獻(xiàn)[5]中利用混沌序列構(gòu)造一測量矩陣，證明該矩陣滿足RIP性質(zhì)，同時也驗證該矩陣的可行性；顧國生等人在文獻(xiàn)[6]中提出了一種通過基于符號混沌系統(tǒng)有限型子轉(zhuǎn)移生成的偽隨機序列構(gòu)造壓縮感知觀測矩陣，同時驗證該測量矩陣的可行性和有效性，但其算法復(fù)雜度較高，計算時間較長。

由于Bernoulli測量矩陣是隨機矩陣，每次實驗產(chǎn)生的矩陣都不相同，所以穩(wěn)定性較差。本文利用混沌序列良好的隨機性質(zhì)，針對Bernoulli隨機序列在穩(wěn)定性方面的不足進(jìn)行研究，提出一種復(fù)雜度較低的測量矩陣構(gòu)造算法。該算法在混沌序列的基礎(chǔ)上通過符號函數(shù)映射成具有Bernoulli分布的隨機序列，利用此隨機序列構(gòu)造測量矩陣。實驗仿真證明，與其他類型的隨機測量矩陣進(jìn)行比較，基于Logistic混沌—貝努利測量矩陣是可行有效的。

2 壓縮感知理論

設(shè) X∈RN×1為一維信號，信號 X在一組N×N維正交基Ψ={Ψ1Ψ2…ΨN}上展開為：

其中，θk=＜X，Ψk＞，X和θ均為 N×1維向量。當(dāng)信號 X在某個正交基Ψ上僅有K＜＜N個非零系數(shù)θk時，稱Ψ為信號X的稀疏基，θ是K-稀疏的?，F(xiàn)實中的信號往往不是稀疏的，需要經(jīng)過式（1）的轉(zhuǎn)換，故該步驟稱為信號的稀疏化。常用的稀疏基Ψ有：正余弦基、小波基、Chirplet基及Curvelet基等。

將信號XN×1投影到一組測量矩陣ΦM×N（其中M＜＜N）上，得到X的M個采樣數(shù)據(jù)YM×1，即

結(jié)合式（1）和式（2），可以得到采集數(shù)據(jù)Y與變換系數(shù)θ之間的關(guān)系為：

壓縮感知數(shù)據(jù)采集示意圖為如圖1所示。

圖1 壓縮感知數(shù)據(jù)采集示意圖

為了能從式（3）中準(zhǔn)確重構(gòu)出原始信號，測量矩陣Φ和正交變換基Ψ不相關(guān)[7-8]。文獻(xiàn)[7]指出Φ必須滿足（Restricted Isometry Property，RIP）準(zhǔn)則，即對任意具有嚴(yán)格K-稀疏的矢量v，Φ滿足：

常用的測量矩陣有，隨機高斯矩陣、Bernoulli矩陣、傅里葉矩陣等與常用的正交變換基不相關(guān)，很大程度上滿足RIP性質(zhì)[9-10]。

在滿足以上條件下，可以利用l0范數(shù)優(yōu)化方法求解θ的精確解或者是一個逼近，即通過式（5）求解[1，7]：

由于式（5）的優(yōu)化問題是一個NP-hard問題，所以可用l1范數(shù)代替l0范數(shù)[11]：

關(guān)于重構(gòu)算法，早期學(xué)者提出了正交匹配追蹤（OMP）[8]、匹配追綜（MP）[12]、梯度投影法（GP）[13]等。近年來也有學(xué)者不斷提出新的重構(gòu)算法，比如修正自適應(yīng)匹配追蹤（MAMP）[14]算法，迭代硬閾值重構(gòu)算法（IIHT）[15]算法等。

3 基于Logistic混沌—貝努利測量矩陣構(gòu)造算法

混沌是非線性系統(tǒng)所獨有且廣泛存在的一種非周期運動形式，由于混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的序列具有確定性和隨機性的統(tǒng)一、規(guī)律性以及遍歷性等良好的偽隨機性質(zhì)，所以在非線性控制、信號處理、保密通信等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。以下是本文利用混沌序列性質(zhì)構(gòu)造測量矩陣的算法。

已知Logistic混沌系統(tǒng)如式（7）所示：

該Logistic系統(tǒng)在參數(shù) μ∈[1.872，2.0]區(qū)間的條件下，當(dāng)初值x0=0.23，0.37，或0.7時，其Lyapunov指數(shù)均大于0，此時的Logistic系統(tǒng)是混沌系統(tǒng)[16]。

文獻(xiàn)[17]提出當(dāng)μ=2.0時，由該Logistic系統(tǒng)產(chǎn)生的序列滿足Bernoulli分布，同時也滿足RIP性質(zhì)，則由Logistic系統(tǒng)產(chǎn)生的序列可作為CS的測量矩陣。

本文構(gòu)造測量矩陣算法步驟為：

步驟1經(jīng)過反復(fù)的實驗對比，發(fā)現(xiàn)在 μ=2.0情況下，初值x0=0.23，0.37，或0.7時，重構(gòu)誤差MSE分別為0.097 95，0.082 61和 0.089 51，取值之間有略微差異。故本文取μ=2.0，x0=0.37，通過該Logistic混沌系統(tǒng)來產(chǎn)生混沌序列，其中序列長度n=M×N-1。

步驟2將步驟1生成的混沌序列通過式子（8）符號函數(shù)映射成序列。

步驟3將步驟3生成的序列取 N長截斷形成M×N維測量矩陣Φ。

文獻(xiàn)[5]中的算法復(fù)雜度要比O(N2)大，而本文算法復(fù)雜度為O(M×N)(M＜＜N)。圖2是Bernoulli隨機序列和Chaos-Bernoulli序列的對比圖以及它們之間的直方圖對比圖。

圖2 Bernoulli隨機序列和Chaos-Bernoulli序列的對比圖及直方圖對比圖

由圖2可以看出，與Bernoulli序列相比，Chaos-Bernoulli序列具有更好的平均性及穩(wěn)定性，其隨機序列中－1，1的個數(shù)比趨于1∶1。

4 實驗結(jié)果

根據(jù)以上步驟構(gòu)造出基于Logistic的Chaos-Bernoulli的測量矩陣，本文對一維信號和二維圖像信號進(jìn)行仿真實驗，驗證該測量矩陣的可行性與有效性，并與Gaussian隨機矩陣和Bernoulli隨機矩陣進(jìn)行對比。

4.1 一維信號仿真實驗

本文選取長度為N=256的一維信號，測量數(shù)M=0.5×N，壓縮比為：。重構(gòu)算法選取文獻(xiàn)[7]的OMP算法。實驗結(jié)果如圖3所示。

圖3 一維信號Chaos-Bernoulli測量矩陣重構(gòu)實驗圖

圖3可以看出Chaos-Bernoulli測量矩陣幾乎可以完全重構(gòu)原始信號。在信號長度N=256，測量數(shù)M=128的條件下，表1列出了各測量矩陣在峰值信噪比（PSNR）、重構(gòu)誤差（MSE）和匹配度α各個數(shù)據(jù)方面的對比。由于隨機測量矩陣每次實驗產(chǎn)生的矩陣都不相同，所以取20次實驗結(jié)果取平均值作為表1的結(jié)果。其中，當(dāng) X為原始信號，Xˉ為重建信號時，峰值信噪比（PSNR）、重構(gòu)誤差（MSE）和匹配度α的計算方法為：

表1 信號長度N=256，測量數(shù)M=128，各矩陣性能比較

從表1可以看出，Chaos-Bernoulli測量矩陣相對于其他測量矩陣來說，PSNR值有1～3 dB的提高，MSE、α有一定程度的提高。在不同的壓縮比的情況下，圖4給出了重構(gòu)信號PSNR的對比圖。

圖4 一維信號在不同測量矩陣下的峰值信噪比隨壓縮比變化圖

由圖4可以看出，本文算法在不同壓縮比的條件下，Chaos-Bernoulli測量矩陣與其他測量矩陣相比具有較好的穩(wěn)定性，峰值信噪比均優(yōu)于其他測量矩陣。

4.2 二維圖像仿真實驗

本文采用Lena、Cameraman和Barbara256×256圖像在不同壓縮比下進(jìn)行仿真實驗，重構(gòu)算法采用OMP算法。

首先，選取Lena圖像，在壓縮比M/N=0.5情況下討論不同測量矩陣對重構(gòu)效果的影響，實驗結(jié)果如圖5。

圖5 各測量矩陣Lena圖像重構(gòu)效果對比（M/N=0.5）

圖5直觀地給出各個測量矩陣在同一壓縮比的情況下對二維圖像的重構(gòu)效果。其中Chaos-Bernoulli矩陣的重構(gòu)效果要優(yōu)于其他測量矩陣。為了進(jìn)一步說明圖5的實驗結(jié)果，圖6給出各個圖像在不同測量矩陣下的峰值信噪比隨壓縮比的變化圖。同理，由于其他用于對比的測量矩陣是隨機矩陣，因此取20次實驗選取平均值作為實驗數(shù)據(jù)。其中I是原圖像是重構(gòu)圖像，W和H分別是圖像的寬度和高度，二維圖像的PSNR計算方法為：

從圖6可以看到，本文提出測量矩陣重構(gòu)算法在重構(gòu)后的圖像PSNR方面均優(yōu)于Gaussian、Bernoulli隨機測量矩陣，且在壓縮比越大的情況下效果越明顯。

圖6 各個圖像在不同測量矩陣下的峰值信噪比隨壓縮比變化圖

5 結(jié)束語

本文針對Bernoulli測量矩陣在穩(wěn)定性方面的不足，利用混沌系統(tǒng)特征提出一種Logistic Chaos-Bernoulli測量矩陣構(gòu)造算法。對一維二維信號的重構(gòu)效果進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真結(jié)果表明，與Bernoulli測量矩陣相比，本文提出的測量矩陣重構(gòu)效果良好，重構(gòu)信號PSNR值平均有1～3 dB的提高，并與Gaussian隨機測量矩陣相比，PSNR在壓縮比越大的情況下效果越明顯，具有一定的實用價值，今后將在基于超混沌的測量矩陣構(gòu)造算法作進(jìn)一步的研究。

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LIN Bin,PENG Yulou

College of Computer&Communication Engineering,Changsha University of Science and Technology,Changsha 410114,China

The measurement matrix construction algorithm is one of important research direction in compressed sensing.A measurement matrix algorithm based on Logistic Chaos-Bernoulli sequence is proposed according to the pseudo-random property of chaos sequence.It uses the one-dimensional Logistic chaotic system to generate the chaotic sequence,the pseudo-random sequence with Bernoulli distribution is generated by the symbol function and the sequence is used to construct the measurement matrix. Simulation results show that,the proposed algorithm performs better than the Bernoulli random measurement matrix and the PSNR of construct signal is improved about 1～3 dB,and it is feasible and effective by numerical analysis after comparing with other types of measure matrix.

compressed sensing;measurement matrix;chaotic system;Bernoulli distribution

測量矩陣的構(gòu)造算法是壓縮感知中重要的研究方向之一。提出一種基于Logistic混沌—貝努利序列（Chaos-Bernoulli）測量矩陣構(gòu)造算法，該算法利用了混沌序列良好的偽隨機性質(zhì)，通過一維Logistic混沌系統(tǒng)產(chǎn)生混沌序列，再通過符號函數(shù)生成具有貝努利分布的偽隨機序列從而構(gòu)造出壓縮感知測量矩陣。實驗仿真結(jié)果表明，該算法優(yōu)于貝努利隨機測量矩陣，信號重構(gòu)的峰值信噪比PSNR有1～3 dB的提高，并與其他類型的測量矩陣進(jìn)行比較，數(shù)值分析結(jié)果證明該算法是可行有效的。

壓縮感知；測量矩陣；混沌系統(tǒng)；貝努利分布

A

TN911.7

10.3778/j.issn.1002-8331.1202-0344

LIN Bin,PENG Yulou.Measurement matrix construction algorithm for compressed sensing based on chaos sequence. Computer Engineering and Applications,2013,49（23）：199-202.

林斌（1987—），男，碩士研究生，主要研究方向：壓縮感知、圖像處理；彭玉樓（1968—），男，博士，副教授，主要研究方向：小波理論、圖像處理、壓縮感知。E-mail：linbin1987@163.com

2012-02-20

2012-04-18

1002-8331（2013）23-0199-04

CNKI出版日期：2012-06-15 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120615.1726.021.html