高金鳳，向崢嶸，陳 桂

1.南京工程學(xué)院 自動化學(xué)院，南京 211167

2.南京理工大學(xué) 自動化學(xué)院，南京 210094

Delta算子切換系統(tǒng)的魯棒濾波器研究

高金鳳1，向崢嶸2，陳 桂1

1.南京工程學(xué)院 自動化學(xué)院，南京 211167

2.南京理工大學(xué) 自動化學(xué)院，南京 210094

1 引言

切換系統(tǒng)是一類十分重要的混雜動態(tài)系統(tǒng)，近年來，國內(nèi)外學(xué)者在切換系統(tǒng)穩(wěn)定性研究的基礎(chǔ)上，對系統(tǒng)的不同方面如控制器設(shè)計、濾波器設(shè)計、觀測器設(shè)計等方面的內(nèi)容都進(jìn)行了研究[1-4]，目前已形成了切換系統(tǒng)的一套理論體系。

Delta算子或變換作為一種新的離散化方法[5]在自動控制和信號處理領(lǐng)域的許多分支取得了許多研究成果[6]。但是這些研究成果只是探討了一般系統(tǒng)的濾波與控制問題而沒有考慮切換系統(tǒng)的情形。

Xiang and Wang[7]首次研究了一類不確定Delta算子切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制問題，并以線性矩陣不等式的形式給出了存在H∞控制器的充分條件，其主要是基于多李雅普諾夫函數(shù)來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。然而目前針對Delta算子切換系統(tǒng)的研究尚不全面和深入，研究Delta算子切換系統(tǒng)的魯棒H∞濾波器相關(guān)問題的報道還沒有，本文創(chuàng)新性地提出利用多Lyapunov函數(shù)和平均駐留時間方法給出了線性Delta算子濾波誤差系統(tǒng)在滿足平均駐留時間下的任意切換信號指數(shù)穩(wěn)定性的充分條件。進(jìn)一步以LMI的形式給出了切換系統(tǒng)存在濾波器的充分條件。最后給出魯棒H∞濾波器的設(shè)計方法。仿真結(jié)果表明該方法可以獲得滿意的效果。

2 問題描述

考慮參數(shù)不確定線性Delta算子切換系統(tǒng)

其中x(k)∈Rn是n維狀態(tài)向量，y(k)∈Rr是r維輸出向量，w(k)∈Rp是屬于l2[k0，∞)的噪聲，z(k)∈Rq是被估計信號，為系統(tǒng)的切換信號。對于任意的是適當(dāng)維數(shù)的不確定實值矩陣。Bi，Di， Li均為已知的常數(shù)矩陣。δ表示Delta算子，其定義為T為采樣周期。本文假設(shè)切換系統(tǒng)的切換時刻發(fā)生在系統(tǒng)的采樣時刻。不失一般性，對系統(tǒng)中的不確定項作以下假設(shè)。

假設(shè)1對于任意的i∈-N，實值矩陣 A?i，C?i具有以下的不確定結(jié)構(gòu)形式：

其中 Afi，Bfi，Cfi均為適當(dāng)維數(shù)的濾波器被估計常參數(shù)矩陣，xf(k)∈Rn是n維濾波器狀態(tài)向量，y(k)∈Rr是濾波器輸入向量，z(k)∈Rq是濾波器估計輸出向量。濾波器采用與系統(tǒng)相同的采樣率。對于系統(tǒng)（1）和其相應(yīng)的濾波器（4），其濾波誤差定義為：

為后面的證明做準(zhǔn)備，首先給出以下定義：

定義1考慮系統(tǒng)（6）滿足w(k)=0，如果存在切換律σ(k)，使得系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡滿足：

其中α≥0，β＞0，k≥k0，則稱系統(tǒng)（6）是指數(shù)穩(wěn)定的，并具有指數(shù)衰減率β。

定義2對于任何給定的正常數(shù)γ，如果對于濾波誤差系統(tǒng)（6），在切換律σ(k)下，具有以下性質(zhì)：

（1）當(dāng)w(k)≡0系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定或指數(shù)穩(wěn)定的。

（2）在零初始條件x(k0)=0下：則稱濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)（6）具有H∞性能γ。其相對應(yīng)的具有這樣性質(zhì)的濾波器（4）稱為是系統(tǒng)（1）的H∞濾波器。

定義3對于切換律σ(k)和任意的kν＞ks＞k0，令Nσ(k)(ks，kv)表示在 (ks，kv)之間切換信號 σ(k)的切換次數(shù)。如果對于任意的N0≥0，τa＞0成立，τa稱為系統(tǒng)的平均駐留時間。

在以后的定理證明中，將使用到以下的引理。

引理1[8]（Schur補）對于給定的對稱矩陣

其中S11，S22均是方陣，以下三個條件是等價的：

引理2[9]設(shè)U，V，W 和對稱矩陣 X是適當(dāng)維數(shù)的實值矩陣，則對于滿足VTV≤I的所有矩陣V：

3 主要結(jié)果

3.1 線性Delta算子濾波誤差系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

Delta算子濾波誤差切換系統(tǒng)為：

下面的定理給出了系統(tǒng)（11）的指數(shù)穩(wěn)定性條件。

定理1對于線性Delta算子濾波誤差切換系統(tǒng)（10），α是給定的正標(biāo)量滿足0＜α＜，如果存在對稱正定矩陣Pi對于任意的i∈使得下面的不等式成立：

根據(jù)指數(shù)穩(wěn)定的定義知Delta算子濾波誤差切換系統(tǒng)（10）是指數(shù)穩(wěn)定的。定理1證畢。

3.2 Delta算子濾波誤差系統(tǒng)魯棒H∞性能分析

下面的定理給出了系統(tǒng)（10）具有H∞性能指數(shù)穩(wěn)定性條件。

定理2對于線性Delta算子切換系統(tǒng)（10），α是給定的正標(biāo)量滿足0＜α＜，如果存在對稱正定矩陣Pi對于任意的i∈使得下面的不等式成立：

證明 對于第i個子系統(tǒng)，選取Lyapunov函數(shù)為：

從不等式（18a）可以推出（11a），根據(jù)定理1，Delta算子濾波誤差系統(tǒng)（10）是指數(shù)穩(wěn)定的，下面證明濾波誤差系統(tǒng)滿足H∞性能。

在零初始條件下，將系統(tǒng)運行的時間域按系統(tǒng)的切換時刻進(jìn)行分割成k0，k1，…，kn，考慮：則可得

根據(jù)定義知系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的，且滿足H∞性能。

3.3 魯棒H∞濾波器設(shè)計

在本節(jié)中，依據(jù)前面所給出的濾波誤差動態(tài)系統(tǒng)具有H∞性能的穩(wěn)定性條件，給出魯棒H∞切換系統(tǒng)濾波器設(shè)計方法。

則存在形如式（4）的切換系統(tǒng)濾波器，保證濾波誤差系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的，并滿足H∞性能γ，對于任意的平均駐留時間滿足：

證明 采用了文獻(xiàn)[8]的變量替換方法，對矩陣Pi和它的逆做如下的分塊：

則PiJi=，根據(jù)誤差動態(tài)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣：

同時，對于定理2中的條件即式（18b）：Pi≤μPj，?i，j∈，其中μ＞1和式（20），（21），條件可等價化為：

其中：

根據(jù)文獻(xiàn)[8]的討論，若 Ri、Xi、Mi、Ni、Zi、εi、δi、μ＞1是線性不等式系統(tǒng)（19）的一個可行解，則從不等式（21）可知矩陣 I-P11iS11i是可逆的，故從方程（21）可得可逆矩陣P12i和S12i（例如采用奇異值分解的辦法），利用變量替換公式（25）和（27）可得：

因此，濾波器的傳遞函數(shù)矩陣為：

定理3證畢。

說明1綜上所述及定理3可得Delta算子切換系統(tǒng)魯棒H∞濾波器的設(shè)計步驟：

步驟1根據(jù)給定的0＜α＜和γ解線性不等式（19a）～（19b），得到對稱正定矩陣Ri、Xi和矩陣Mi、Zi、Ni及正標(biāo)量εi、δi。

步驟2根據(jù)得出的Ri＞0，Xi＞0利用關(guān)系式（19e）采用奇異值分解的方法求出P12i，S12i，然后求出P22i。

步驟3根據(jù)求出的 Xi，P12i，P22i構(gòu)造出式（19d），求出滿足條件的正標(biāo)量μ，同時求得平均駐留時間τa。

步驟4利用得出的Ri＞0，Xi＞0和矩陣Mi、Ni、Zi和關(guān)系式（19f）求得系統(tǒng)的濾波器各個參數(shù)Afi、Bfi、Cfi。

4 數(shù)值例子

考慮包含兩個子系統(tǒng)的不確定線性Delta算子切換系統(tǒng)（1），具體參數(shù)如下：

根據(jù)Delta算子切換系統(tǒng)控制器的設(shè)計過程：

步驟1根據(jù)定理3解線性不等式（19a）～（19b）得到：

在此，此Delta算子切換系統(tǒng)的濾波器設(shè)計過程結(jié)束。

進(jìn)行系統(tǒng)仿真時，選擇在平均駐留時間為τa=8的周期切換律情況下，Delta算子切換系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖1、圖2所示，圖3為切換系統(tǒng)的被估計信號與濾波估計信號，而濾波誤差信號曲線如圖4所示。可以看出，濾波器的估計信號能夠有效對原系統(tǒng)信號進(jìn)行估計，濾波誤差最終收斂，從而表明H∞濾波器的設(shè)計方法是有效的。

圖1 在τa=8的周期切換信號下濾波誤差系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖2 在τa=8的周期切換信號下濾波誤差系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)曲線分圖

圖3 Delta切換系統(tǒng)的被估計信號與濾波估計信號

圖4 Delta算子切換系統(tǒng)濾波誤差信號曲線

5 結(jié)論

本文根據(jù)不確定線性Delta算子切換系統(tǒng)模型，給出相應(yīng)的濾波器，得出對應(yīng)的濾波誤差系統(tǒng)，并采用多Lyapunov函數(shù)和平均駐留時間方法研究誤差系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性條件，從而采用變量代替方法得出濾波器參數(shù)，通過求解LMI，設(shè)計出相應(yīng)的濾波器。最后，總結(jié)了線性Delta算子切換系統(tǒng)濾波器設(shè)計的一般步驟，并通過數(shù)值實例證明了所得定理的正確性。

[1]孫希明，齊麗，趙軍.一類不確定線性系統(tǒng)的混雜狀態(tài)反饋保成本控制[J].控制與決策，2005，20（4）：421-425.

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[6]李慧光，武波，李國友，等.Delta算子控制及其魯棒控制理論基礎(chǔ)[M].北京：國防工業(yè)出版社，2005.

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GAO Jinfeng1,XIANG Zhengrong2,CHEN Gui1

1.School of Automation,Nanjing Institute of Technology,Nanjing 211167,China
2.School of Automation,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China

Robust H∞filter for a class of parameter uncertain switched systems using Delta operator has been discussed.Based on multiple Lyapunov function theory and average dwell time,a sufficient condition for the existence of stability of the parameter uncertain Delta operator switched system is presented in terms of LMI,and the H∞filter performance is analyzed.Furthermore, the sufficient existence conditions and designing method of robust H∞filter are proposed.The designed robust H∞filter not only guarantees the closed-loop system with uncertain parameter to be asymptotically stable,but also satisfies H∞performance that expected.A simulation example is given to illustrate the effectiveness and feasibility of the proposed method.

H∞filter;switched system;average dwell time;Delta operator

研究了一類參數(shù)不確定線性Delta算子切換系統(tǒng)的魯棒H∞濾波器設(shè)計問題。提出利用多Lyapunov函數(shù)和平均駐留時間方法，以線性矩陣不等式的形式給出了參數(shù)不確定Delta算子濾波誤差切換系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性條件，并進(jìn)行了H∞性能分析，從而進(jìn)一步給出Delta算子切換系統(tǒng)魯棒H∞濾波器存在的充分條件和設(shè)計方法。所設(shè)計的濾波器不但保證系統(tǒng)參數(shù)不確定時閉環(huán)系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定，而且滿足所期望的H∞性能指標(biāo)。仿真結(jié)果證明了設(shè)計方法的有效性和可行性。

H∞濾波器；切換系統(tǒng)；平均駐留時間；Delta算子

A

TP273

10.3778/j.issn.1002-8331.1203-0359

GAO Jinfeng,XIANG Zhengrong,CHEN Gui.Study on robust H∞filter design for uncertain switched systems using Delta operator.Computer Engineering and Applications,2013,49（23）：112-118.

國家自然科學(xué)基金（No.60974027）；江蘇省高校自然科學(xué)研究項目（No.13KJB120003）；南京工程學(xué)院科研基金（No.QKJB2010007）。

高金鳳（1973—），女，講師，目前研究方向為非線性系統(tǒng)理論與應(yīng)用、魯棒控制、智能控制等；向崢嶸（1969—），男，教授，博士生導(dǎo)師；陳桂（1973—），女，副教授。E-mail：zdhxgjf@njit.edu.cn

2012-03-15

2012-05-23

1002-8331（2013）23-0112-07

CNKI出版日期：2012-08-08 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120808.1548.018.html

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