張亮旭，卓榮康

（蘭州商學(xué)院金融學(xué)院，甘肅蘭州730020）

基于GARCH模型的我國(guó)股市風(fēng)險(xiǎn)分析

張亮旭，卓榮康

（蘭州商學(xué)院金融學(xué)院，甘肅蘭州730020）

通過(guò)對(duì)上證指數(shù)收盤(pán)指數(shù)進(jìn)行實(shí)證分析，采用正態(tài)分布、t分布和GED分布分別刻畫(huà)收益率序列特征，運(yùn)用GARCH模型對(duì)收盤(pán)指數(shù)序列進(jìn)行波動(dòng)性建模.根據(jù)GARCH模型的估計(jì)結(jié)果計(jì)算出VaR和CVaR值.由結(jié)果可知，通過(guò)計(jì)算GED分布下的GARCH（1,1）模型的CVaR值是衡量股市風(fēng)險(xiǎn)的最佳模型.

上證指數(shù)；GARCH模型；VaR方法；CVaR方法

1 引言

1.1 背景

我國(guó)股票市場(chǎng)處于發(fā)展初期，起步于計(jì)劃經(jīng)濟(jì)向市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型的環(huán)境中，存在種種缺陷，具有與發(fā)達(dá)成熟市場(chǎng)不同的特點(diǎn).而且，隨著美國(guó)次貸危機(jī)的爆發(fā)對(duì)全世界金融領(lǐng)域的沖擊，更加加劇了中國(guó)股市的劇烈波動(dòng)和風(fēng)險(xiǎn)系數(shù).所以，如何用更加謹(jǐn)慎科學(xué)的方法對(duì)其風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行正確的度量、分析和管理，對(duì)于金融機(jī)構(gòu)加強(qiáng)風(fēng)險(xiǎn)管理和國(guó)家制定監(jiān)管制度具有重大意義.

本文選取VaR和CVaR兩種市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度方法.波動(dòng)率的計(jì)算通過(guò)GARCH模型族計(jì)算而得，且根據(jù)金融資產(chǎn)收益序列的尖峰、厚尾現(xiàn)象假設(shè)收益率服從正態(tài)分布、t布和GED分布（廣義誤差分布）三種情況，通過(guò)通過(guò)比較真實(shí)值，得出最佳的估計(jì)模型.

1.2 文獻(xiàn)綜述

目前金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量的主流方法是VaR（Value-at-Risk）方法.VaR是一定的置信水平下，資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在未來(lái)特定一段時(shí)間內(nèi)的最大可能損失.根據(jù)Jorion（1996）[1]VaR可定義為

VaR=E(w)-w*E(w)為資產(chǎn)的預(yù)期價(jià)值，w為資產(chǎn)的期末價(jià)值，w*為置信水平下資產(chǎn)的最低期末價(jià)值.若設(shè)w0為持有期初資產(chǎn)價(jià)值，R為回報(bào)收益率，持有年限為Δt，R*為資產(chǎn)在置信水平下的最低收益率，zα為在一定分布下置信水平為α的函數(shù)返回值，σt為收益率的方差，則

條件風(fēng)險(xiǎn)值（conditional value at risk，CvaR）是繼VaR之后產(chǎn)生的又一種風(fēng)險(xiǎn)度量方法.根據(jù)Uryasev[2]與Rockafellar[3]的定義，CVaR是超過(guò)VaR的損失的期望值.更為確切的是指在一定的置信水平下，某一資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的損失超過(guò)VaR的尾部事件的期望值.用公式表示為

式中：α為置信水平，w為資產(chǎn)的價(jià)值，f(w)為概率密度函數(shù)，VaRα為置信水平α下的風(fēng)險(xiǎn)值，F(xiàn)-1是逆累積分布函數(shù)，f(x)為密度分布函數(shù)，u和α為收益序列的特征參數(shù).

對(duì)VaR和CVaR的計(jì)算和預(yù)測(cè)其實(shí)質(zhì)是對(duì)波動(dòng)率的計(jì)算和預(yù)測(cè).1952年，Markowitz提出均值-方差模型來(lái)描述資產(chǎn)或資產(chǎn)組合收益率的波動(dòng)性，開(kāi)創(chuàng)了金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的定量的方法，標(biāo)志著現(xiàn)代組合投資理論的開(kāi)端.Engle（1982）[4]提出自回歸條件異方差（ARCH）模型，將條件方差作為過(guò)去誤差的函數(shù)而變化，解決了異方差問(wèn)題，提高了模型的準(zhǔn)確度.在此基礎(chǔ)上Bollerslev（1986）[5]提出了廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型.GARCH模型比ARCH模型滯包含的滯后結(jié)構(gòu)要更加寬泛準(zhǔn)確.GARCH（1,1）模型可以表示為：

第一個(gè)方程為條件均值方程，Xt是解釋變量向量，γ是系數(shù)向量.第二個(gè)方程為條件方差方程，其中，第一項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)α0，第二項(xiàng)用均值方程的擾動(dòng)項(xiàng)的平方的滯后來(lái)度量從前期等到的波動(dòng)性信息u2t-1，第三項(xiàng)上一期的預(yù)測(cè)方差σ2t-1.

為了描述時(shí)間序列受自身方差影響，Engle,Lilien和Robins(1987)[6]提出了GARCH-M模型.為了描述證券市場(chǎng)中的非對(duì)稱(chēng)效應(yīng)，Zakoian(1990)[7]最早提出的TARCH模型，Nelson(1991)[8]提出的EGARCH（指數(shù)GARCH）模型既能描述條件異方差性，又能反映杠桿效應(yīng).優(yōu)點(diǎn)是用成指數(shù)形式表示條件異方差，對(duì)參數(shù)沒(méi)有任何約束.Taylor(1986)和Schwert（1989）介紹了標(biāo)準(zhǔn)差的GARCH模型，這個(gè)模型模擬的不是方差而是標(biāo)準(zhǔn)差.這樣大幅沖擊對(duì)條件方差的影響比在標(biāo)準(zhǔn)的GARCH模型中要小.Ding et al.（1993）[9]對(duì)該模型進(jìn)一步拓展提出PARCH（Power ARCH）模型.

由于受到市場(chǎng)發(fā)展水平、參與者理性程度及其對(duì)利好和利空信息的反應(yīng)不同等眾多因素的影響，股票收益率序列往往不是正態(tài)分布，然而一般的研究卻沒(méi)有充分考慮收益率的分布特征，因此本文假設(shè)收益率符合三種分布：正態(tài)分布、學(xué)生t分布、GED分布，并分別計(jì)算VaR和CVaR值，已達(dá)到更好解釋收益序列的尖峰厚尾和波動(dòng)率聚類(lèi)現(xiàn)象.

2 實(shí)證研究

2.1 數(shù)據(jù)選取

本文選取上證指數(shù)在1000個(gè)交易日的收盤(pán)指數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，區(qū)間為2009年1月21日～2013年3月6日.本文數(shù)據(jù)來(lái)源于錢(qián)龍證券投資分析系統(tǒng).本文采用Eviews6.0和Mathematica8.0軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理及分析.

2.2 統(tǒng)計(jì)性描述

本文采用對(duì)數(shù)收益率對(duì)上證指數(shù)進(jìn)行研究，表達(dá)式如下：

其中：pt表示第t個(gè)交易日的收盤(pán)指數(shù)，Rt為日對(duì)數(shù)收益率.

從圖1可以看出，上證指數(shù)收益率有著明顯的波動(dòng)聚集性，即有相似特征的波動(dòng)成群出現(xiàn)，高收益率與高收益率聚集，低收益率與低收益率聚集.而且，收益率在相對(duì)集中的區(qū)域有著較大的波動(dòng)，有著明顯的異方差性.從圖2可以看出，上證指數(shù)收益率均值為0.000168，標(biāo)準(zhǔn)差為0.014252，都不是很大，但是偏度為-0.401837，峰度為5.102900，比較正態(tài)分布可以得出，序列是左偏且有“尖峰厚尾”特征.J-B為210.9588，其P值為0，更進(jìn)一步說(shuō)明上證指數(shù)收益率序列不服從正態(tài)分布，故應(yīng)采用其學(xué)生t分布或GED分布進(jìn)行回歸分析.

圖1 上證指數(shù)日收益率序列圖

圖2 上證指數(shù)日收益率序列描述性統(tǒng)計(jì)

2.3 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

表1 上證指數(shù)日收益率序列單位根檢驗(yàn)

為了防止偽回歸的出現(xiàn)，我們對(duì)收益率序列進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn)，以保證序列是平穩(wěn)的，結(jié)果如表1所示.

由表1可看出，ADF-t統(tǒng)計(jì)量的絕對(duì)值遠(yuǎn)大于1%、5%、10%水平下的絕對(duì)值，且ADF-t統(tǒng)計(jì)量P值為0，則拒絕原假設(shè)，說(shuō)明不存在單位根，序列是平穩(wěn)序列.

2.4 自相關(guān)和偏自相關(guān)檢驗(yàn)

根據(jù)序列的自相關(guān)和偏相關(guān)系數(shù)及Q統(tǒng)計(jì)量，可以確定自回歸項(xiàng)的階數(shù)，以便建立均值方程.我們對(duì)收益率序列進(jìn)行滯后12階的自相關(guān)與偏自相關(guān)檢驗(yàn)，由圖3可以看出，自相關(guān)與偏自相關(guān)系數(shù)均落入兩倍的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)且自相關(guān)與偏自相關(guān)系數(shù)接近于零，而且Q統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的p值都大于0.05，即收益率序列不存在明顯的相關(guān)關(guān)系，因此，均值方程中不引入自相關(guān)描述部分.

圖3 上證指數(shù)日收益率序列自相關(guān)和偏自相關(guān)檢驗(yàn)

2.5 建立GARCH模型族

2.5.1 均值方程的建立

有上述分析可知，上證指數(shù)日收益率序列具有尖峰、后尾的特征，其波動(dòng)波動(dòng)聚集性等特征，如果在正態(tài)分布下估計(jì)Var和CVaR值容易高估風(fēng)險(xiǎn)，因此我們選用t分布和GED分布對(duì)Var和CVaR值進(jìn)行估計(jì)；且收益率序列不存在明顯的相關(guān)關(guān)系，因此我們以收盤(pán)指數(shù)為對(duì)象建立以下模型：

回歸得到如下結(jié)果：

表2 均值方程3階ARCH-LM檢驗(yàn)

R2=0.989214，AIC=-5.662787，SC=-5.657875

圖4 均值方程殘差平方相關(guān)圖

從結(jié)果看，方程有較好的擬合效果，為了檢驗(yàn)是否存在ARCH效應(yīng)，我們對(duì)殘差進(jìn)行了ARCH-LM檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)存在著3階的ARCH效應(yīng)，并從殘差平方相關(guān)圖可以得到證實(shí).考慮到存在高階的ARCH效應(yīng)，應(yīng)建立GARCH模型.經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，用GARCH（1,1）模型取得較好的效果.

2.5.2 GARCH（1,1）模型的建立

條件均值方程為lnpt=lnpt-1+ut，

條件方方差方程為σt2=α0+αu2t-1+βσ2t-1

從模型的估計(jì)結(jié)果來(lái)看，三種分布下γ，α，β的估計(jì)值在1%的水平下均顯著，方程的擬合度提高，AIC和SC值有所下降，α0，α，β非負(fù)且三者之和小于1，滿足約束條件，說(shuō)明GARCH（1,1）模型能較好的模擬收益率波動(dòng)情況.而且對(duì)殘差進(jìn)行GARCH-LM檢驗(yàn)及從殘差平方相關(guān)圖可以明顯看出，模型已不存在ARCH效應(yīng).

表3 三種分布下GARCH（1,1）模型的估計(jì)結(jié)果及和原方程的對(duì)比

表4 GARCH（1,1）-gauss模型的1階ARCH-LM檢驗(yàn)

2.5.3 EGARCH（1,1）模型建立

條件均值方程為lnpt=γlnpt-1+ut，條件方差方程為

當(dāng)ut-1≥0時(shí)，α+λ倍沖擊；當(dāng)ut-1＜0時(shí)，λ-α倍沖擊.

圖5 GARCH（1,1）-gauss模型的殘差平方相關(guān)圖

從表5的結(jié)果來(lái)看，參數(shù)λ不顯著，擬合度有所降低，但AIC值有所降低.但GARCH-LM檢驗(yàn)及從殘差平方相關(guān)圖可以看出，此模型也同樣不存在ARCH效應(yīng).

表5 三種分布下EGARCH（1,1）模型的估計(jì)結(jié)果

2.5.4 GARCH（1,1）模型和EGARCH（1,1）模型估計(jì)結(jié)果分析

從表3和表5可以看出，GARCH（1,1）模型和EGARCH（1,1）模型中參數(shù)的估計(jì)值都小于或接近零，說(shuō)明我國(guó)股票的平均收益率水平為負(fù)，投資風(fēng)險(xiǎn)較大.參數(shù)都大于零說(shuō)明了價(jià)格的波動(dòng)聚集性特征，即過(guò)去價(jià)格的波動(dòng)對(duì)市場(chǎng)未來(lái)的波動(dòng)有著正向但減弱的影響，大幅度波動(dòng)后面一般緊隨著更大幅度的波動(dòng)，小幅度波動(dòng)后面一般緊隨著跟小幅度的波動(dòng)，但是這種影響慢慢減弱，說(shuō)明我國(guó)股市參與者投機(jī)性較強(qiáng)，羊群效應(yīng)明顯.參數(shù)β明顯大于α，這意昧著意外信息對(duì)未來(lái)價(jià)格的波動(dòng)產(chǎn)生相對(duì)較小的影響，說(shuō)明我國(guó)國(guó)股票市場(chǎng)不易受到意外信息影響，主要受上期波動(dòng)的影響.由于模型中α+β的值均非常接近于1，說(shuō)明我國(guó)股票市場(chǎng)的波動(dòng)具有持續(xù)性，當(dāng)前的信息對(duì)預(yù)測(cè)未來(lái)的價(jià)格波動(dòng)即條件方差很重要.

圖6 EGARCH（1,1）-gauss模型的殘差平方相關(guān)圖

表6 EGARCH（1,1）-gauss模型的1階ARCH-LM檢驗(yàn)

圖7 Gauss分布下ut/σt沖擊對(duì)波動(dòng)率σt2的影響曲線

圖8 Student-t分布下沖擊ut/σt對(duì)波動(dòng)率σt2的影響曲線

圖9 GED分布下沖擊ut/σt對(duì)波動(dòng)率σt2的影響曲線

參數(shù)λ小于零表示利空消息對(duì)股票價(jià)格波動(dòng)的影響大于利好消息的影響.從三種分布的ut/σt沖擊對(duì)波動(dòng)率σt2的影響曲線圖，我們可以得到，在gauss分布下，當(dāng)ut-1≥0時(shí)，0.090206倍沖擊；當(dāng)ut-1＜0時(shí)，-0.105386倍沖擊.同理，在Student-t分布下，當(dāng)ut-1≥0時(shí)，0.073824倍沖擊；當(dāng)ut-1＜0時(shí)，-0.090062倍沖擊；在GED分布下，當(dāng)ut-1≥0時(shí)，0.008074倍沖擊；當(dāng)ut-1＜0時(shí)，-0.03224倍沖擊.這跟我們現(xiàn)實(shí)相符，利空消息對(duì)股價(jià)的的影響往往利好的消息影響大.在利好的消息下，gauss分布下波動(dòng)率σt2的影響最大，曲線右側(cè)較陡；在利空的消息下，gauss分布下波動(dòng)率σt2的影響最大，曲線左側(cè)較陡.而且可以看出，GED分布的非對(duì)稱(chēng)性最大.

2.6 VAR及CVAR計(jì)算

由于EGARCH(1,1)模型中參數(shù)λ不顯著，所以我們選擇GARCH（1,1）模型計(jì)算出條件標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值，代入公式求VaR值和CVaR值，并采用失敗檢驗(yàn)法檢驗(yàn).

從表6的計(jì)結(jié)果來(lái)看，在95%的置信水平下GARCH（1,1）-gauss模型中，股票持有者每天面臨的最大損失不超過(guò)118.9671，平均損失不超過(guò)59.93239.在GARCH（1,1）-t下風(fēng)險(xiǎn)均值最大，標(biāo)準(zhǔn)差也最大，說(shuō)明t分布計(jì)算的VaR值和CVaR值波動(dòng)最大，VaR值和CVaR值是最分散的.在GARCH（1,1）-gauss下VaR均值最小，標(biāo)準(zhǔn)差也最小，而在GARCH（1,1）-GED下CVaR均值最小，標(biāo)準(zhǔn)差也最小，說(shuō)明VaR值在GARCH（1,1）-gauss下波動(dòng)最小，CVaR值在GARCH（1,1）-GED下波動(dòng)最小.

表6 GARCH（1,1）模型的VAR及CVAR值序列的統(tǒng)計(jì)量

從表7的結(jié)果可以看出，失敗率在95%置信水平下都位于4%附近，CVaR值比VaR值的實(shí)際失敗率較小，說(shuō)明CVaR較VaR高估風(fēng)險(xiǎn)，是一種更保守的計(jì)算.從GARCH（1,1）模型和EGARCH（1,1）模型估計(jì)結(jié)果來(lái)看，滬市股票的均衡收益率水平為負(fù)，市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)較大且有較大集群特征和投機(jī)性，因此應(yīng)選擇較保守的投資策略，用CVaR值衡量股市風(fēng)險(xiǎn)更為合理.使用Kupiec[10]的似然比率檢驗(yàn)方法進(jìn)行模型的有效性檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)LR統(tǒng)計(jì)量在95%置信水平下的臨界值為3.841，只有GARCH（1,1）-GED下的VaR和CvaR通過(guò)了檢驗(yàn).此外，CVaR值在GARCH（1,1）-GED下波動(dòng)最小，因此我們選擇GARCH（1,1）-GED模型更為合理.

表7 GARCH（1,1）模型的VAR及CVAR值的實(shí)際失敗率

3 結(jié)論

本文對(duì)上證指數(shù)的收盤(pán)指數(shù)序列進(jìn)行了GARCH模型和EGARCH模型的波動(dòng)性建模，以GARCH模型為基礎(chǔ)計(jì)算得到不同分布假設(shè)下的VaR和CVaR估計(jì)值，以EGARCH模型為基礎(chǔ)研究其不對(duì)稱(chēng)性，并得到以下結(jié)論：

3.1 上證指數(shù)日收益率序列具有尖峰、厚尾和波動(dòng)聚集性等特征，如果按通常的正態(tài)分布假設(shè)估計(jì)VaR值和CVaR值容易高估風(fēng)險(xiǎn)，因此應(yīng)選用t分布或GED分布假設(shè)更合理；且收益率序列不存在明顯的相關(guān)關(guān)系，不能用ARCH模型建立起均值方程，因此我們以收盤(pán)指數(shù)建模型，取得較好的擬合效果.

3.2 分別建立在三種分布下的GARCH（1,1）模型和EGARCH（1,1）模型來(lái)描述收益率的波動(dòng)情況.結(jié)果表明，我國(guó)股票市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)較大，有較強(qiáng)的羊群效應(yīng)和投機(jī)性；從信息沖擊曲線可以看出，利好消息對(duì)價(jià)格波動(dòng)的影響小于利空消息對(duì)價(jià)格波動(dòng)的影響.

3.3 運(yùn)用擬合效果較好GARCH（1，1）模型計(jì)算95%置信水平下的上證指數(shù)的VaR和CVaR值，從VaR和CVaR值的統(tǒng)計(jì)特征和LR統(tǒng)計(jì)量，結(jié)合我國(guó)股市的投機(jī)性的特征來(lái)看，選擇較保守的投資策略更為合理，即通過(guò)GARCH（1,1）-GED模型計(jì)算CVaR值來(lái)預(yù)測(cè)股市風(fēng)險(xiǎn).

〔1〕Jorion P.Value at risk:The neWbenchmark for controlling market risk.NeWYork:McGraw-Hill Companies,Inc,1997.

〔2〕Rockafeller R.T.,U ryasev S..OptiMization of Conditional Value-at-R isk.The Journal of Risk,2000,(3):21-41.

〔3〕Rockafeller R.T.,U ryasev S..Conditional Value-at-Risk for General Loss Distributions.Journal of Banking and Finance,2001,(7):1443-1471.

〔4〕Engle R F.Autoregressive conditional heteroscedasticity With estimates of the variance of united kingdoMinflation.Econometrica,1982,(4):987-1007.

〔5〕Bollerslev T.Generalised autoregressive conditional heteroskedasticy.Journal of Econometrics,1986,(31):307-327.

〔6〕Enlge Robert,David M.Lilien and Russell P. Robins.Estimating Time Vary Risk PreMia in the TerMStructure:The ARCH-MModel.1987,55:391-406.

〔7〕Zakoian J.M.Threshold Heteroskedastic Modles.Journal of EconoMic DynaMics and Control,1994,18:931-944.

〔8〕Nelson D.B..Conditional heteroscedasticity in asset returns:a neWapproach.Econometrica,1991,(2):347-370.

〔9〕Ding Zhuangxin,C.W.J,Granger and R.f.Engle.A long Memory Property of Stock Market Returns and a NeWModle.Journal of Empirical Finance,1993,1:83-106.

〔10〕Kupiec P..Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models.Journal of Derivatives,1995,(3):73-84.

F830.91

A

1673-260X（2013）07-0040-05