周夕維，徐華，熊顯智，王琳

(西安交通大學(xué) 現(xiàn)代設(shè)計及轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)

滾動軸承載荷分布是軸承剛度、疲勞壽命、潤滑特性等計算分析的基礎(chǔ)，因此，研究軸承的載荷分布具有很高的實(shí)際應(yīng)用價值[1]。自1907年Stribeck利用 Hertz 接觸理論建立深溝球軸承在徑向載荷下的靜力學(xué)分析模型并得出鋼球所承受的最大載荷與徑向載荷之間的關(guān)系以來[2]，許多學(xué)者在軸承載荷分布方面進(jìn)行了大量的研究與探索。1933年Sjov?ll提出了一個同時承受徑向與軸向載荷的深溝球軸承靜力學(xué)分析模型[3]。1962年，Rumbarger建立了止推軸承的數(shù)學(xué)模型，分析了不對心軸承的應(yīng)力與變形關(guān)系[4]。Harris采用切片法研究了不同素線形狀以及滾子傾斜時軸承的載荷分布情況，并對各類軸承內(nèi)部接觸進(jìn)行了詳細(xì)地討論[5-6]。文獻(xiàn)[7-8]研究了不同游隙下軸承的載荷分布情況及其對疲勞壽命的影響。20世紀(jì)70年代以來，有限元法的完善與發(fā)展以及計算機(jī)性能的大幅提升，使得考慮支承體彈性下的軸承載荷分布分析變成了現(xiàn)實(shí)[9-13]。

然而，上述針對軸承載荷分布的研究均是以忽略軸承零件的加工制造誤差為前提進(jìn)行的。實(shí)際加工中不可避免地存在加工誤差(尺寸誤差、形狀誤差等)，文獻(xiàn)[6,14-15]表明軸承零件的加工誤差會影響軸承的振動、溫升、疲勞壽命等性能指標(biāo)，因此研究加工誤差對軸承載荷分布的影響具有一定的實(shí)際應(yīng)用價值。文獻(xiàn)[16]建立了考慮滾動體尺寸偏差影響的圓柱滾子軸承載荷分布計算模型。下文針對深溝球軸承實(shí)際加工過程中的尺寸偏差，研究球尺寸偏差對軸承載荷分布的影響。

1 模型建立

接觸模型計算過程中需進(jìn)行如下假設(shè)：

(1)外圈固定約束，內(nèi)圈僅在徑向載荷平面內(nèi)發(fā)生位移；(2)內(nèi)、外圈具有理想的幾何形狀，且視為剛體；(3)內(nèi)、外圈僅在與球接觸的區(qū)域發(fā)生彈性變形； (4)忽略球和溝道表面粗糙度的影響。

深溝球軸承在外載荷作用下，內(nèi)圈中心O以及球心Oj的位置都會發(fā)生相應(yīng)的變化。由于球存在尺寸偏差，此時內(nèi)圈中心的位移不一定沿著載荷作用方向。深溝球軸承整體坐標(biāo)系及球的編號如圖1所示，其中下標(biāo)j表示球的編號，ψ表示球位置角。

圖1 整體坐標(biāo)系及球編號示意圖

外載荷作用前后，j號球球心與內(nèi)圈中心的位置變化情況如圖2所示。在外載荷作用下，內(nèi)圈中心由O平移至O′處，沿x方向位移為u，沿y方向位移為v。因?yàn)檎麄€內(nèi)圈視為剛體，所以內(nèi)圈溝曲率中心存在與O相同的位移。球在接觸載荷作用下發(fā)生彈性變形，表現(xiàn)為其中心Oj沿著接觸載荷方向移動至O′j。由于外圈固定且視為剛體，故載荷作用前、后外圈中心及溝曲率中心位置均未發(fā)生改變，故在圖2中未予標(biāo)示。

圖2 j號球中心位移示意圖

2 幾何分析與接觸載荷計算

2.1 接觸判斷

根據(jù)移動前、后球心與內(nèi)圈中心的相對位置關(guān)系，可以將整個移動過程分為3個階段，對該球進(jìn)行接觸判斷與接觸載荷計算。

(1)初始狀態(tài)。此時，內(nèi)圈中心為O，球心為Oj，球剛剛與內(nèi)圈接觸，但未發(fā)生彈性變形，則

OOj=(F+ΔDwj+Dw)/2 ，

(1)

式中：F為內(nèi)溝道直徑；ΔDwj為第j個球直徑尺寸偏差；Dw為球公稱直徑。

考慮游隙后的內(nèi)、外圈溝道直徑為

式中：Dpw為球組節(jié)圓直徑；Gr為徑向游隙；E為外溝道直徑。

(2)

式中：ψj為球位置角。

2-u]2+[(E-Dw-ΔDwj+

(3)

2.2 滾動體載荷計算

對球軸承而言，滾動體載荷與位移之間存在如下關(guān)系

Q=Kδ3/2，

(4)

式中：Q為接觸載荷；K為位移-載荷常數(shù)，可利用迭代法精確求解；δ為球與溝道的彈性趨近量。

球與內(nèi)圈的接觸變形量為

(5)

將(1)～(2)式代入(5)式即可得關(guān)于δij，δej的二次方程。由于球與內(nèi)、外圈的接觸應(yīng)力相等(Qij=Qej)，因此(5)式可簡化為關(guān)于δij的方程。將δij代入(4)式即可得滾動體載荷。

2.3 平衡方程

根據(jù)接觸載荷求解結(jié)果，校核內(nèi)圈力平衡方程

(6)

若‖(f1(u,v),f2(u,v))‖∞<ε,

(7)

成立，則滿足內(nèi)圈力平衡條件，其中ε為平衡迭代收斂判據(jù)，一般取0.01。

3 方程組求解

首先，利用迭代法求解各球與內(nèi)、外圈的載荷-位移常數(shù)Kij和Kej；然后給出內(nèi)圈中心位移初值(u,v)，根據(jù)中心位移初值計算出接觸載荷Qij，校核內(nèi)圈平衡方程。若平衡方程滿足迭代收斂條件，即(7)式，則迭代結(jié)束；若不滿足，則利用Newton-Raphson法修正內(nèi)圈中心位移迭代初值。Newton-Raphson法迭代初值的修正方法為

(8)

式中：uN，vN為第N次迭代時內(nèi)圈中心位移值；uN+1，vN+1為第N+1次迭代時內(nèi)圈中心位移值。

4 算例與分析

以6008深溝球軸承為例進(jìn)行分析。軸承的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為：Dpw=54 mm，Dw=6.35 mm，Z=15，內(nèi)溝曲率系數(shù)fi=0.52，外溝曲率系數(shù)fe=0.52。軸承材料為軸承鋼，彈性模量E=206 GPa，泊松比ν=0.3。設(shè)徑向游隙為20 μm，球直徑最大變動量為+5 μm。

4.1 單個球尺寸偏差對載荷分布的影響

定義球不存在尺寸偏差下的載荷分布為標(biāo)準(zhǔn)載荷分布，考慮球尺寸偏差計算所得載荷分布為實(shí)際載荷分布，對應(yīng)球上實(shí)際載荷減去標(biāo)準(zhǔn)載荷稱為球的載荷變動量(以下簡稱載荷變動量)。為使圖形表達(dá)更加清晰，文中僅給出受載球的接觸載荷及其變動量的計算結(jié)果。

4.1.1 尺寸偏差值對載荷分布的影響

為考察球尺寸偏差對載荷分布的影響，取徑向載荷Fr=6 kN，對只有4#球存在1～5 μm尺寸偏差時的載荷變動量進(jìn)行計算，結(jié)果如圖3所示。

圖3 4#球尺寸偏差對載荷變動量的影響

圖3給出了所有受載球(1#～7#)的標(biāo)準(zhǔn)載荷及載荷變動量。從圖3可以看出，與標(biāo)準(zhǔn)載荷相比，隨著球尺寸偏差值的增大，4#球載荷增大，1#～3#，5#～7#球載荷減小；而載荷變動量均逐漸增大。其原因是隨著4#球球徑與周圍球球徑差距的增大，其承受的接觸載荷越來越大，而周圍球分擔(dān)的載荷越來越小。進(jìn)一步從圖4可以看出，各球的載荷變動量與4#球的尺寸偏差值呈線性關(guān)系。

圖4 各受載球的載荷變動量與4#球尺寸偏差的關(guān)系

4.1.2 尺寸偏差球的位置對載荷分布的影響

取徑向載荷Fr=6 kN，球尺寸偏差為5 μm，研究尺寸偏差球的位置對載荷分布的影響。考慮到1#～3#球與5#～7#球關(guān)于4#球?qū)ΨQ，因此，僅對尺寸偏差在1#～4#球上時分別進(jìn)行計算，結(jié)果如圖5所示。

從圖5可以看出，尺寸偏差球存在最大載荷變動量，且始終為正。在尺寸偏差球順、逆時針90°范圍之內(nèi)，與其相距越遠(yuǎn)的球的載荷變動量越小，且這種載荷影響的傳遞關(guān)系關(guān)于尺寸偏差球呈對稱分布。據(jù)此可知，以尺寸偏差球位置為中心，周向正、負(fù)90°范圍內(nèi)的其他受載球的載荷變動量為負(fù)，且間隔角度越大，載荷變動量絕對值越??；而周向正、負(fù)90°范圍之外的受載球的載荷變動量為正，且間隔角度越大，載荷變動量越大。如圖6所示。

圖5 尺寸偏差球位置對載荷變動量的影響

圖6 尺寸偏差球影響區(qū)域示意圖

從圖7可以看出，尺寸偏差球沿溝道運(yùn)動一周的載荷變動量的分布與軸承載荷分布曲線呈現(xiàn)相同趨勢，即載荷變動量僅存在于載荷角范圍內(nèi)，且承載越大的區(qū)域，載荷變動量越大。由此可以推斷，僅當(dāng)尺寸偏差球位于載荷角范圍之內(nèi)時，才會對軸承載荷分布產(chǎn)生影響。

圖7 載荷變動量隨周向位置的變化

4.1.3 不同外載荷作用下球尺寸偏差對載荷分布的影響

當(dāng)4#球尺寸偏差為3 μm，徑向載荷Fr=1～10 kN，分析各受載球的載荷變動量。

與球尺寸偏差量和載荷變動量之間所存在的線性關(guān)系不同，徑向載荷與載荷變動量之間存在較明顯的非線性關(guān)系。從圖8可以看出，隨著外載荷的增大，載荷變動量呈增大趨勢，但是增幅趨于平緩。這表明隨著外載荷的增大，球尺寸偏差對載荷分布的影響呈逐漸減弱的趨勢。

圖8 載荷變動量隨外載荷的變化

4.2 多個球存在尺寸偏差對軸承載荷分布的影響

4.2.1 尺寸偏差球分布位置對載荷分布的影響

取球尺寸偏差均為3 μm，徑向載荷Fr=6 kN，分析尺寸偏差球的分布位置對載荷分布的影響。尺寸偏差球的分布如圖9所示。

圖9 尺寸偏差球分布示意圖

尺寸偏差球的分布位置對載荷分布的影響如圖10所示。對4#球而言，雖然其尺寸偏差始終為3 μm，但由于其余尺寸偏差球的分布位置不同，導(dǎo)致4#球的載荷變動量也有所不同。因此，球的載荷變動量不僅與自身的尺寸偏差有關(guān)，也與其周圍球尺寸偏差大小及相對位置有關(guān)。當(dāng)尺寸偏差球?yàn)殚g隔3和4個球分布時，計算結(jié)果完全一致，是因?yàn)榇藭r兩種分布的承載區(qū)內(nèi)球的情況相同。

4.2.2 球尺寸偏差相對大小對載荷分布的影響

在徑向載荷Fr=6 kN下，以4#球?yàn)槠鹗?，同種情況下各球尺寸偏差按遞減規(guī)律分布時(表1)，載荷分布的計算結(jié)果如圖11所示。

圖10 尺寸偏差球分布位置對載荷分布的影響

表1 球尺寸偏差遞減分布 μm

圖11 球尺寸偏差遞減分布對載荷分布的影響

從圖11可以看出，隨著球尺寸偏差的增大，球的載荷變動量線性增大，與單個球變化的結(jié)論一致。對于4#球，隨著其尺寸偏差的增大，其載荷變動量由正變負(fù)，這主要是由于其周圍球(1#～3#，5#～7#)的尺寸偏差亦在增大，且相對增幅大于4#球。因此隨著球尺寸偏差的增大，4#球的接觸載荷逐漸減??；而對于尺寸偏差最小的球(1#，7#)，接觸載荷隨其尺寸偏差的增大而增大，且具有最大的載荷變動量。

在徑向載荷Fr=6 kN下，以4#球?yàn)槠鹗?，同種情況下各球尺寸偏差按遞增規(guī)律分布時(表2)，載荷分布的計算結(jié)果如圖12所示。

表2 球尺寸偏差遞增分布 μm

隨著球尺寸偏差的一致增大，各球的載荷變動量均線性增大。此時的4#球相對其周圍球而言，擁有最小尺寸偏差，因而受其相鄰球尺寸偏差值的影響，其接觸載荷與標(biāo)準(zhǔn)載荷相比減小。而1#，2#，6#，7#球(輕載球)擁有最大的尺寸偏差，因此其接觸載荷相對標(biāo)準(zhǔn)載荷分布而言增大。

圖12 球尺寸偏差遞增分布對載荷分布的影響

根據(jù)上述計算，在徑向載荷Fr=6 kN, 4#球尺寸偏差為5 μm情況下，球的相對載荷變動量最大為15.23%(1#，7#球)，最小為6.46%(3#，5#球)，重載荷球(4#球)的相對載荷變動量則達(dá)到14.61%。因此，考慮球尺寸偏差進(jìn)行軸承相關(guān)的性能參數(shù)計算是很有必要的。

5 結(jié)論

(1)當(dāng)單個球存在尺寸偏差時，載荷變動量與球尺寸偏差值呈線性關(guān)系，與外載荷呈非線性關(guān)系；載荷變動量與尺寸偏差球的相對位置也有關(guān)；球沿溝道運(yùn)動一周，其載荷變動量的分布趨勢與軸承標(biāo)準(zhǔn)載荷分布一致；對于較小尺寸偏差值的球，當(dāng)其位于載荷角范圍內(nèi)時才會對軸承載荷分布產(chǎn)生影響。

(2)多個球存在尺寸偏差時，尺寸偏差一定條件下，球在軸承內(nèi)部的位置分布對載荷有重要的影響；尺寸偏差球分布位置一定條件下，相對尺寸偏差值不同亦會對載荷分布產(chǎn)生影響。