高金峰，侯艷賀，吳金峰

1.鄭州大學(xué)遠(yuǎn)程教育學(xué)院，鄭州 450001

2.鄭州大學(xué)電氣工程學(xué)院，鄭州 450001

不同階混沌系統(tǒng)同步及其在保密通信中應(yīng)用

高金峰1，侯艷賀2，吳金峰2

1.鄭州大學(xué)遠(yuǎn)程教育學(xué)院，鄭州 450001

2.鄭州大學(xué)電氣工程學(xué)院，鄭州 450001

1 引言

由于混沌信號(hào)具有連續(xù)、非周期性寬帶頻譜和類(lèi)似噪聲的特點(diǎn)，非常適合應(yīng)用于保密通信領(lǐng)域，而混沌系統(tǒng)的同步則在保密通信中起關(guān)鍵作用。1990年，Pecora和Carrolla[1]從理論上證明了混沌系統(tǒng)同步的可能性，并在后來(lái)的實(shí)驗(yàn)室中實(shí)現(xiàn)了同步。之后，混沌同步系統(tǒng)在保密通信等領(lǐng)域的應(yīng)用受到了人們的廣泛關(guān)注也取得了豐碩成果[2-7]。隨著對(duì)混沌同步系統(tǒng)研究的不斷加深，各種不同的混沌同步方法也陸續(xù)被提出來(lái)：完全同步、反同步、滯后同步、相同步、廣義同步等。最近幾年，又有學(xué)者提出了投影同步[8-11]、廣義投影同步[12-13]和修正函數(shù)投影同步[14-16]等同步方案，并逐步受到人們重視。

在實(shí)際應(yīng)用中，由于受到各種外界因素的影響，即使同結(jié)構(gòu)兩混沌系統(tǒng)的參數(shù)也很難保證完全相同，因此研究異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的同步問(wèn)題將具有重要的意義；混沌廣義投影同步是指具有不同初始條件的兩混沌系統(tǒng)隨著時(shí)間演化，其軌道同步到設(shè)定的比例因子上的同步方法；對(duì)于保密通信來(lái)說(shuō)，能否做好信息的保密性，將是衡量通信系統(tǒng)性能的重要標(biāo)準(zhǔn)，由于廣義投影同步可以設(shè)置不同的比例因子，將其應(yīng)用到信息傳輸通信中，對(duì)系統(tǒng)的保密性將有大幅度的提高，同時(shí)若采用異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)同步實(shí)現(xiàn)保密通信不僅增加了混沌保密通信中可使用混沌的種類(lèi)，同時(shí)降低參數(shù)變化對(duì)同步造成的誤差影響，并且采用異結(jié)構(gòu)混沌同步即使收發(fā)端中有一方的混沌信號(hào)被攻擊者截獲預(yù)知，由于收發(fā)兩方的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不同，信息破譯的難度相對(duì)于同結(jié)構(gòu)也較大，系統(tǒng)的保密性得到了提高。但異結(jié)構(gòu)混沌同步相對(duì)于同結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)同步來(lái)說(shuō)不易實(shí)現(xiàn)，難度較大，故目前異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)同步保密通信問(wèn)題的研究相對(duì)較少，而對(duì)于異結(jié)構(gòu)中不同階混沌系統(tǒng)同步的保密通信問(wèn)題研究就更是少之又少了，因此研究不同階混沌系統(tǒng)投影同步保密通信對(duì)通信技術(shù)的進(jìn)步有一定參考價(jià)值。

針對(duì)目前現(xiàn)狀，通過(guò)進(jìn)一步研究，采用主動(dòng)控制思想，實(shí)現(xiàn)不同階混沌系統(tǒng)的廣義投影同步，并將該投影同步應(yīng)用于保密通信中，理論推導(dǎo)證明和數(shù)值仿真結(jié)果都證實(shí)了該方案的有效性。

2 問(wèn)題的描述

考慮一類(lèi)非線性系統(tǒng)形式如下：

式（1）中，x∈Rn，f∈Rn分別是系統(tǒng)式（1）的狀態(tài)變量和非線性部分，F(xiàn)∈Rn×l，θ∈Rl是系統(tǒng)的參數(shù)部分和參數(shù)變量。

將系統(tǒng)式（1）作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，則響應(yīng)系統(tǒng)可表示為：

式（2）中，y∈Rn，g∈Rm分別是系統(tǒng)式（2）的狀態(tài)變量和非線性部分，G∈Rm×k，μ∈Rk是系統(tǒng)的參數(shù)部分和參數(shù)變量，u∈Rm為系統(tǒng)的控制器。

下面研究不同階的混沌系統(tǒng)廣義投影同步問(wèn)題：

當(dāng)系統(tǒng)式（2）與系統(tǒng)式（1）的維數(shù)不等即非同階時(shí)，不妨設(shè)維數(shù)n〉m(f≠g，F(xiàn)≠G)，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步可以采用擴(kuò)階的方法[17]，使得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的維數(shù)相等，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的投影同步。所以，在響應(yīng)系統(tǒng)中需要增加n-m個(gè)方程，不妨設(shè)其形式如下：

式（3）中，yi∈Ri，ui∈Ri，i=n-m。

既然我們不能靠天、靠地，未來(lái)我們依靠什么呢？未來(lái)一定是以人為主的時(shí)代，全面圍繞用戶(hù)的時(shí)代已經(jīng)來(lái)臨，現(xiàn)在也說(shuō)，是懶人經(jīng)濟(jì)時(shí)代的來(lái)臨，但是這個(gè)懶并不是指性格，而是指的消費(fèi)者的消費(fèi)特征。

定義廣義同步誤差為：

式（4）中，e=[e1e2…en]Τ，則同步誤差系統(tǒng)為：

選取合適的控制器，使得式（5）在任意初值條件下都滿(mǎn)足：

則稱(chēng)系統(tǒng)式（1）和系統(tǒng)式（2）按比例因子α達(dá)到廣義投影同步。特別地，當(dāng)α=1時(shí)，系統(tǒng)式（1）和系統(tǒng)式（2）達(dá)到完全同步；當(dāng)α=-1時(shí)，系統(tǒng)式（1）和系統(tǒng)式（2）達(dá)到反同步。以下實(shí)現(xiàn)具體不同階混沌系統(tǒng)的廣義投影同步。

3 廣義投影同步

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)本文采用文獻(xiàn)[18]給出的超混沌系統(tǒng)：

選取二維非自治Duffing系統(tǒng)[19]作為響應(yīng)系統(tǒng)，其模型結(jié)構(gòu)為：

式（8）中，u∈R2，u=(u1，u2)Τ為待設(shè)計(jì)的控制器，ω為響應(yīng)系統(tǒng)角頻率參數(shù)。由于非自治系統(tǒng)引入了時(shí)間變量t，給分析問(wèn)題帶來(lái)了麻煩，所以可以采用等價(jià)轉(zhuǎn)換的方法，將非自治系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為自治系統(tǒng)，即將系統(tǒng)式（8）等價(jià)轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)式（9）：

定義廣義投影同步誤差為e=y-αx，則廣義投影同步誤差系統(tǒng)為：

式（12）中，k1，k2，k3，k4為大于零的常數(shù)。

定理如果選擇適當(dāng)控制器為式（12），則系統(tǒng)式（7）和系統(tǒng)式（10）將達(dá)到全局漸進(jìn)廣義投影同步。

證明選取Lyapunov函數(shù)：

顯然V是關(guān)于e1，e2，e3，e4的正定函數(shù)，沿著誤差系統(tǒng)式（11）對(duì)V求一階導(dǎo)數(shù)得：

由于V正定，半負(fù)定，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，廣義投影同步誤差：

表明系統(tǒng)式（7）和系統(tǒng)式（10）達(dá)到全局漸進(jìn)同步。

數(shù)值仿真中，不妨設(shè)比例因子α=-0.1，ω=0.9，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初始值分別為[1，…，1]和[2，…，2]，反饋系數(shù)k1=10，k2=10，k3=20，k4=20。仿真結(jié)果如圖1和圖2所示。

圖1 比例因子α=-0.1時(shí)，異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)二維平面廣義投影同步

圖2 比例因子α=-0.1時(shí)，兩系統(tǒng)的投影同步誤差曲線e1，e2，e3，e4

從圖2中可以看出，兩不同階混沌系統(tǒng)隨著時(shí)間變化其誤差能夠快速趨于零，即混沌系統(tǒng)能夠很快實(shí)現(xiàn)廣義投影同步。

4 保密通信

基于本文提出的廣義投影同步控制方法，通過(guò)具體的混沌系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)保密通信，不妨采用如下的發(fā)射系統(tǒng)和接收系統(tǒng)進(jìn)行保密通信仿真實(shí)驗(yàn)。

設(shè)發(fā)射系統(tǒng)為：

式（16）～（19）中，β是一個(gè)用來(lái)控制速度的增益常數(shù)，φ1，φ2分別為收發(fā)系統(tǒng)兩端的自適應(yīng)控制器，它們的引入可提高被傳送的信息信號(hào)的幅值，由于該方法是將信號(hào)m(t)與跟蹤信號(hào)的自適應(yīng)控制器的誤差導(dǎo)入到發(fā)射系統(tǒng)，而非直接將信息信號(hào)注入，即使信息信號(hào)的幅值很大時(shí)，系統(tǒng)也將保持混沌狀態(tài)，具有很好的掩蓋效果。

數(shù)值仿真中，選取比例因子α=-0.1，增益常數(shù)β=10，信息信號(hào)m(t)=sint，耦合系數(shù)ρ=100，則信道中傳輸?shù)幕旌闲盘?hào)為：s(t)=x2(t)+m(t)，在接收端通過(guò)混沌廣義投影同步關(guān)系解調(diào)出有用信號(hào)：

進(jìn)行系統(tǒng)數(shù)值仿真，其結(jié)果如圖3所示。

由圖3可看出，采用不同階混沌系統(tǒng)的投影同步方法可以實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的保密通信，在系統(tǒng)達(dá)到精確同步之后，接收端解調(diào)出的信號(hào)與原始信號(hào)很夠很快達(dá)到一致。并且廣義投影同步的比例因子可以改變，這樣比例因子可以作為保密通信中的一個(gè)密匙，即使攻擊者截獲到傳輸信號(hào)，由于比例因子的不同，也很難得到原始的有用信號(hào)，增加了信號(hào)被截獲后的破譯難度，極大地提高了信號(hào)傳輸?shù)陌踩浴?/p>

5 結(jié)束語(yǔ)

本文采用主動(dòng)控制思想和擴(kuò)階方法實(shí)現(xiàn)不同階混沌系統(tǒng)的廣義投影同步，并通過(guò)設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)了不同階混沌系統(tǒng)的保密通信，且能夠有效地恢復(fù)出有用信號(hào)，其中在廣義投影同步中可采用不同的比例因子，來(lái)提高系統(tǒng)的保密性。不同階混沌系統(tǒng)同步的實(shí)現(xiàn)，不僅增加了可使用混沌系統(tǒng)的種類(lèi)，同時(shí)也減小了系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)誤差的影響，并且更能增加保密通信中信息破譯的難度，提高信息的保密性。因此研究異結(jié)構(gòu)混沌投影同步對(duì)保密通信技術(shù)的進(jìn)步有一定的參考價(jià)值，且混沌同步應(yīng)用于保密通信具有更廣闊的發(fā)展前景。

圖3 混沌保密通信仿真圖

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GAO Jinfeng1,HOU Yanhe2,WU Jinfeng2

1.School of Distance Learning,Zhengzhou University,Zhengzhou 450001,China
2.School of Electrical Engineering,Zhengzhou University,Zhengzhou 450001,China

Τhis paper is concerned with the generalized projective synchronization problem for two different order chaotic systems. Based on the Lyapunov stability theory,the generalized projective synchronization is achieved through active control method. Τhe proposed method is also applied to secure communication.Numerical simulations are presented to demonstrate the method can realize generalized synchronization and the information signal can be recovered successfully in secure communication.

different order chaotic systems;generalized projective synchronization;secure communication;active control

基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，采用主動(dòng)控制思想研究了不同階混沌系統(tǒng)廣義投影同步問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)了混沌系統(tǒng)的廣義投影同步，同時(shí)將該同步方法應(yīng)用于保密通信中。數(shù)值仿真表明系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)廣義投影同步，且在保密通信中能夠有效恢復(fù)出有用信號(hào)。

不同階混沌系統(tǒng)；廣義投影同步；保密通信；主動(dòng)控制

A

ΤP273

10.3778/j.issn.1002-8331.1202-0018

GAO Jinfeng,HOU Yanhe,WU Jinfeng.Synchronization between two different order chaotic systems and application in secure communication.Computer Engineering and Applications,2013,49（21）：204-207.

高金峰（1963—），男，教授，主要研究領(lǐng)域：混沌同步控制；侯艷賀（1988—），女，碩士研究生，主要研究領(lǐng)域：混沌同步控制及其在保密通信中的應(yīng)用；吳金峰（1986—），男，碩士研究生，主要研究領(lǐng)域：混沌同步控制及其在保密通信中的應(yīng)用。E-mail：houyanhe521@163.com

2012-02-02

2012-08-07

1002-8331（2013）21-0204-04