宋萍，唐加山

1.南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，南京 210003

2.南京郵電大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究中心，南京 210046

空域相關(guān)MIMO信道容量的研究

宋萍1，唐加山2

1.南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，南京 210003

2.南京郵電大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究中心，南京 210046

1 引言

MIMO技術(shù)是實(shí)現(xiàn)充分利用空間資源以提高頻譜效率的有效途徑之一。信道容量是衡量MIMO通信系統(tǒng)性能的重要指標(biāo)之一，由于實(shí)際信道是時(shí)變的，且具有一定的隨機(jī)性，因此在MIMO系統(tǒng)中通常研究兩種統(tǒng)計(jì)意義上的信道容量：信道為快衰落時(shí)討論中斷容量，為慢衰落時(shí)討論各態(tài)歷經(jīng)容量，因而大量研究MIMO系統(tǒng)性能的文獻(xiàn)主要針對這兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行討論[1-2]。在實(shí)際無線通信環(huán)境中，由于MIMO信道中每個(gè)通信子路的傳輸系數(shù)可以近似看成是一個(gè)服從某種分布的隨機(jī)變量，所以整個(gè)MIMO信道環(huán)境可以看成是一個(gè)由多個(gè)隨機(jī)變量組成的信道矩陣，由于各態(tài)歷經(jīng)容量的計(jì)算非常復(fù)雜[3]，因此大量已有文獻(xiàn)主要針對非相關(guān)瑞利衰落信道進(jìn)行討論，其信道容量值是通過蒙特卡洛方法多次試驗(yàn)得到的[4]，并且在實(shí)際無線通信環(huán)境中，由于天線間的距離和天線周圍散射體個(gè)數(shù)有限，各子信道間的衰落存在一定的相關(guān)性[5]。文獻(xiàn)[3]給出了MIMO系統(tǒng)信道容量計(jì)算公式，公式中含有超幾何函數(shù)并需要進(jìn)行多重積分，直接求出任意維數(shù)的MIMO系統(tǒng)的各態(tài)歷經(jīng)容量非常困難，且文獻(xiàn)[3]中的接收端相關(guān)矩陣由確定的數(shù)值矩陣表示，并未考慮天線間距、來波角度及角度擴(kuò)展等與信道容量之間的關(guān)系?；谏鲜鲈颍疚闹饕懻撛诳沼蛳嚓P(guān)條件下，平坦性慢衰落信道的各態(tài)歷經(jīng)容量問題，利用Wishart矩陣特征值的聯(lián)合概率密度函數(shù)，顯式地給出空域相關(guān)信道下各態(tài)歷經(jīng)容量的具體可計(jì)算公式，并根據(jù)Matlab數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)一步討論信道容量與天線間距、來波角度及角度擴(kuò)展等因素之間的關(guān)系。

2 Wishart矩陣?yán)碚?/h2>

在一個(gè)矩陣中，如果至少有一個(gè)元素為隨機(jī)變量，那么該矩陣就被稱為隨機(jī)矩陣。設(shè)A是一個(gè)n×m維的復(fù)高斯隨機(jī)矩陣，記做A～CN(0，InΣ)，其中為Kronecher積，表示共軛轉(zhuǎn)置。由W=AHA可以得到Wishart矩陣W～CWm(n，Σ)，若n≥m，則W的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以由矩陣的m個(gè)有序特征值λ1≥λ2≥…≥λm表示為[3]：

復(fù)多變量伽馬函數(shù)，det()·表示求其行列式。

3 相關(guān)信道模型

考慮一個(gè)nr×nt維MIMO系統(tǒng)，接收天線數(shù)為nr，發(fā)射天線數(shù)為nt。假設(shè)傳輸環(huán)境為平坦性衰落信道，則接收端信號可以表示為y=Hx+n，其中x為nt×1維發(fā)射信號向量，假設(shè)發(fā)射信號向量x為零均值隨機(jī)向量，則協(xié)方差

假設(shè)在上述MIMO系統(tǒng)中只考慮接收端的空域相關(guān)性，此相關(guān)性與天線間距、來波角和角度擴(kuò)展這三個(gè)參數(shù)有關(guān)。若接收端天線采用等距線性陣列（ULA），則天線陣列模型如圖1所示。

圖1 ULA天線陣列模型

設(shè)相鄰天線之間的距離為d（以載波波長為基準(zhǔn)進(jìn)行歸一化），信號平均來波角為θ，角度擴(kuò)展為2Δ，角譜分布為ρ(θi)，若記Σ=(rm，n)，則第m根天線和第n根天線所接收信號之間的相關(guān)系數(shù)rm，n可以表示為[7]：

由式（6）可以看出角譜分布對空域相關(guān)性的影響很大。在已有的文獻(xiàn)中，Lee假定來波角譜為余弦分布[8]，Salz假定來波角譜為均勻分布[9]，Aszetly認(rèn)為高斯分布更接近GSM系統(tǒng)角譜分布的測試結(jié)果[10]，Pedersen指出拉式分布更符合DSC1800系統(tǒng)的角譜分布[11]。由于均勻分布的簡單及一般性，本文假設(shè)來波角譜分布為均勻分布，即ρ(θi)= 1/(2Δ)，由此可以進(jìn)一步討論信道容量與d、θ和Δ之間的關(guān)系。

4 數(shù)值計(jì)算

本章利用Matlab對前面描述的空域相關(guān)信道的信道容量進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，在計(jì)算過程中假設(shè)信道為平坦性瑞利衰落信道，信道矩陣H為nr×nt維的復(fù)高斯隨機(jī)矩陣，各元素均為零均值循環(huán)對稱復(fù)高斯隨機(jī)變量。

圖2給出了當(dāng)θ=0°，nt=4，nr=4，ρ=20 dB，Δ分別為10°，25°，40°，75°，90°時(shí)，天線間的距離d和各態(tài)歷經(jīng)容量之間的關(guān)系。

圖2 不同Δ條件下天線間距與信道容量的關(guān)系圖

由圖2可以看出：當(dāng)天線間的距離d相等時(shí)，角度擴(kuò)展Δ越大，各態(tài)歷經(jīng)容量就越大；在(0°，180°)范圍內(nèi)，隨著角度擴(kuò)展不斷增大，達(dá)到極限容量所需要的天線之間的距離逐漸減小。

圖3給出了當(dāng)Δ=10°，nt=4，nr=4，ρ=20 dB，θ分別為0°，15°，30°，45°，60°，75°時(shí)，天線間的距離d和各態(tài)歷經(jīng)容量之間的關(guān)系。

圖3 不同θ條件下天線間距與信道容量的關(guān)系圖

由圖3可以看出：角度擴(kuò)展一定，當(dāng)天線間距d相同時(shí)，來波角θ越小，各態(tài)歷經(jīng)容量值就越大，在θ從0°（垂直于天線陣列方向）到75°（平行于天線陣列方向）的變化過程中，各態(tài)歷經(jīng)容量值逐漸減小。來波角越小，達(dá)到極限容量值所需要的天線之間的距離就越小。

下面將本文的直接計(jì)算方法與蒙特卡洛方法[12]進(jìn)行比較，在Kronecher模型中，若考慮MIMO系統(tǒng)的接收端具有空域相關(guān)性，則信道矩陣H可以表示為：

圖4給出了當(dāng)θ=0°，nt=2，nr=4，ρ=20 dB，Δ為90°時(shí)，利用隨機(jī)Wishart矩陣特征值的聯(lián)合概率密度函數(shù)計(jì)算得出的各態(tài)歷經(jīng)容量曲線與利用蒙特卡洛方法進(jìn)行1 000次試驗(yàn)所得出的各態(tài)歷經(jīng)容量曲線的對比圖。

圖4 本文方法與蒙特卡洛方法性能比較

從圖4可以明顯看出：利用Wishart矩陣特征值的聯(lián)合概率密度函數(shù)計(jì)算所得出的極限值與利用蒙特卡洛方法進(jìn)行1 000次試驗(yàn)所得到的容量值非常接近。很顯然，當(dāng)接收端和發(fā)送端天線數(shù)目不斷增大時(shí)，信道矩陣的維數(shù)逐漸增大，蒙特卡洛方法的運(yùn)算時(shí)間迅速減慢，而利用此信道容量公式可以在保證與蒙特卡洛方法具有近似計(jì)算精度的條件下快速計(jì)算出信道容量值。

5 結(jié)束語

近年來，隨機(jī)矩陣?yán)碚撛跓o線通信、信號處理等領(lǐng)域中的應(yīng)用越來越受到人們的廣泛關(guān)注。本文利用Wishart矩陣的聯(lián)合特征值概率密度函數(shù)給出了在空域相關(guān)條件下平坦性瑞利衰落MIMO信道的各態(tài)歷經(jīng)容量的可計(jì)算公式，最后利用Matlab進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，結(jié)果表明：與蒙特卡洛方法相比，本文給出的計(jì)算公式可以在幾乎不降低計(jì)算精度的條件下提高計(jì)算速度，數(shù)值計(jì)算結(jié)果還進(jìn)一步表明了信道容量與影響空域相關(guān)性的天線間距、來波角度和角度擴(kuò)展這三個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系。

傳統(tǒng)的香農(nóng)公式只能用于求解SISO系統(tǒng)的最大信道容量，而本文給出的各態(tài)歷經(jīng)容量計(jì)算公式可以用來求解MIMO系統(tǒng)最大信道容量的理論解，在實(shí)際進(jìn)行MIMO系統(tǒng)的規(guī)劃和配置時(shí)，各態(tài)歷經(jīng)容量值的大小以及與天線各參數(shù)之間的關(guān)系可以為其提供理論依據(jù)，分析系統(tǒng)的信道容量有利于合理設(shè)計(jì)信道參數(shù)，在保證通信質(zhì)量的前提下最大限度地節(jié)約資源。分析系統(tǒng)信道容量通常利用蒙特卡洛方法，但由于蒙特卡洛方法要得到比較精確的值需要進(jìn)行大量試驗(yàn)，所以給出各態(tài)歷經(jīng)容量的直接計(jì)算公式，快速得出天線間距等因素與系統(tǒng)各態(tài)歷經(jīng)容量之間的關(guān)系具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義。本文的結(jié)果可以應(yīng)用于城市中心區(qū)域的GSM系統(tǒng)等[13]。在無線通信中，城市中心地帶等建筑物密集的區(qū)域由于發(fā)射機(jī)和接收機(jī)周圍散射物體較多，使得收發(fā)端之間沒有直射路徑，因此信道可以由瑞利衰落模型來描述，GSM系統(tǒng)中多徑信號之間的相對時(shí)延小于傳輸信號周期，因此信道對信號的衰落可以看成是平坦性的。但本文只討論了角譜分布為均勻分布的情況，在以后的研究中將進(jìn)一步分析角譜分布為高斯分布、拉普拉斯分布和余弦分布等情況。

[1]Winters J H.On the capacity of radio communication systems with diversity in Raleigh fading environment[J].IEEE J Select Areas Commun，1987，5（3）：871-878.

[2]Foschini G J.Layered space-time architecture for wireless communication a fading environment when using multiple antennas[J].Bell Labs Τech J，1996，1（2）：41-59.

[3]Ratnarajah Τ，Vaillancourt R，Alvo M.Complex random matrices and Raleigh channel capacity[J].Communications in Information and Systems，2003，3（4）：119-138.

[4]Foschini G J，Gans M J.On limits of wireless communications in a fading environment when using multiple antennas[J]. Wireless Personal Commun，1998，6（3）：311-335.

[5]Chiani M，Win M Z，Zanella A.On the capacity of spatially correlated MIMO Raleigh-fading channels[J].IEEE Τrans on Infor Τheory，2003，49（10）：236-237.

[6]Τulino A M，Verdu S.Random matrix theory and wireless communications[M].Netherlands：Now Publishers Inc，2004.

[7]龐繼勇.MIMO相關(guān)信道容量研究[D].西安：西安電子科技大學(xué)，2006.

[8]Lee W C Y.Effects on correlation between two mobile radio base station antennas[J].IEEE Τrans on Commun，1973，21 （11）：1214-1224.

[9]Saiz J，Winters J H.Effect of fading correlation on adaptive arrays in digital mobile radio[J].IEEE Τrans on Vehi Τech，1994，43（4）：1049-1057.

[10]Aszetiy D.On antenna arrays in mobile communication systems：fast fading and GSM base station receiver algorithm[M]. Stockheim：Royal Institute Τechnology Press，1996.

[11]Pedersen K I，Mogensen P E，F(xiàn)ieury B H.Spatial channel characteristics in outdoor environments and their impact on BS antenna system performance[J].IEEE Vehi Τech Conf Ottawa，1998，2（1）：719-723.

[12]Chizhik D，Ling J，Wolnianski P W.Multiple-input multipleoutput measurements and modeling in Manhattan[J].IEEE J Sel Areas in Communications，2003，20（6）：321-331.

[13]金鑫.無線信道傳播模型的研究與實(shí)現(xiàn)[D].北京：北京郵電大學(xué)，2010.

SONG Ping1,ΤANG Jiashan2

1.College of Communications and Information Engineering,Nanjing University of Posts and Τelecommunications,Nanjing 210003,China
2.Research Center of Applied Mathematics,Nanjing University of Posts and Τelecommunications,Nanjing 210046,China

Τhe capacity of MIMO communication system under the spatial correlation is investigated.A calculable capacity formula about Flat-Fading Raleigh channel is derived based on the joint eigenvalue probability density function of Wishart matrix. Τhe result obtained by Matlab numeric calculation shows that,compared with the past Monte Carlo method,the method in this paper improves the speed of calculation.Τhe interrelation between the channel capacity and the three parameters which are antenna separation,incoming wave angle and angular spread is also discussed based on the results of numeric calculation.

Multiple-Input Multiple-Output（MIMO）;spatial correlation;channel capacity;Wishart matrix

研究了在空域相關(guān)條件下MIMO通信系統(tǒng)的信道容量問題，利用Wishart矩陣的聯(lián)合特征值概率密度函數(shù)顯式給出了平坦性瑞利衰落信道的各態(tài)歷經(jīng)容量的可計(jì)算公式，利用Matlab所進(jìn)行的數(shù)值計(jì)算表明：與已有的蒙特卡洛方法相比，公式提高了計(jì)算速度。數(shù)值計(jì)算結(jié)果還進(jìn)一步表明了影響空間相關(guān)性的天線間距、來波角度和角度擴(kuò)展這三個(gè)參數(shù)與信道容量之間的關(guān)系。

多輸入多輸出（MIMO）；空域相關(guān)；信道容量；Wishart矩陣

A

ΤN911

10.3778/j.issn.1002-8331.1201-0373

SONG Ping,TANG Jiashan.Study on capacity of spatially correlated MIMO communication system.Computer Engineering and Applications,2013,49（21）：195-198.

宋萍（1987—），女，碩士研究生，研究方向?yàn)楝F(xiàn)代通信中的智能信號處理技術(shù)；唐加山（1968—），男，博士，教授，碩士研究生導(dǎo)師，研究方向?yàn)楦怕收?、隨機(jī)過程理論及其應(yīng)用、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論、現(xiàn)代通信中的智能信號處理技術(shù)、信道辨識與均衡等。E-mail：pingping0219@126.com

2012-01-30

2012-04-09

1002-8331（2013）21-0195-04

CNKI出版日期：2012-06-01http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.ΤP.20120601.1456.006.html