羅瑞評，張洪順，陳勇，袁譽紅

重慶通信學院 電磁頻譜管理教研室，重慶 400035

Haar小波濾波器序列只有兩個非零項的論證

羅瑞評，張洪順，陳勇，袁譽紅

重慶通信學院 電磁頻譜管理教研室，重慶 400035

1 引言

小波是繼傅里葉分析之后時頻分析技術的一個重大突破，近幾十年來，小波迅速發(fā)展并已成為圖像處理和語音分析等眾多領域的一種強有力的時頻分析工具。目前，Haar小波是唯一嚴格反對稱的實緊支撐正交小波基[1-2]，因其易于理解，計算速率快，具有較好的時（空）分辨率等優(yōu)異特性，特別是在人臉識別、特征匹配搜索等領域應用更為廣泛[3-4]。現(xiàn)有的小波構造均是在較特殊的情況下進行的，從而得到的小波僅是滿足要求的小波族中的一部分[5]。然而，沒有文獻闡述小波函數(shù)和尺度函數(shù)（即尺度函數(shù)與低、高通濾波序列）之間是否具有相互唯一確定性。本文以多分辨分析為基礎，在時域?qū)aar尺度函數(shù)與Haar小波低、高通濾波序列之間的相互唯一確定性進行了論證，得到了Haar濾波器序列只能含有兩項非零系數(shù)。

2 多分辨分析（Multi-Resolution Analysis）

多分辨分析是由Mallat提出的對能量有限信號空間進行逼近的一般理論，其基本思想是在能量有限信號空間L2(R)的某個子空間中建立基底，然后通過伸縮和平移變換，把子空間的基底擴充到L2(R)中，以達到對信號的無限逼近。

由多分辨分析的定義可知，多分辨分析{ Vj}j∈Z是L2(R)的一個閉子空間列，且滿足下面四個條件[5-6]。

（1）一致單調(diào)性：

（2）漸進完全性：

（3）伸縮規(guī)則性：

（4）正交基存在性：存在?(t)∈V0，使得

是V0的標準正交基。其中?(t)稱為尺度函數(shù)（scaling function），Vj稱為逼近空間。

3 小波函數(shù)的構造

在實際的信號處理中，信號f(t)一般會含有噪聲，且一般噪聲的頻率比有用信號的頻率高。將信號f(t)看做屬于某個空間Vj+1，并對其進行正交分解，把f(t)中屬于Vj+1但不屬于Vj的部分（高頻部分）去掉，達到對f(t)去噪的目的，這就產(chǎn)生了小波的概念[7-8]。

由多分辨分析的定義不難得出：

（1）{?j，k(t)}k∈Z是Vj的標準正交基；

（2）{?j，k(t)}k∈Z，j∈Z不是L2(R)的標準正交基，也不是L2(R)的框架，這簇向量對低頻成分進行了無窮次度量，造成大量的冗余[9-10]。

為消除冗余，把嵌套空間Vj+1進行正交分解，即

對Vj+1的這種分解有以下優(yōu)點：

（2）Wj⊥Wk，j，k∈Z，j≠k；

（3）f(t)∈Wj? f(2t)∈Wj+1， j∈Z，即由W0的標準正交基可求得Wj的標準正交基。

從而，只要尋找到ψ(t)滿足：

（1）‖ψ(t)‖=1；

是W0的標準正交基；

則完成了小波函數(shù)的構造。

由式（1）～（4），可得：

式（7）和式（8）合稱為雙尺度方程，這是正交小波構造的核心[11]。在對數(shù)字信號的濾波中，關注的就是這兩個雙尺度方程的系數(shù)序列，即分別為低、高通濾波器的系數(shù)序列，hk稱為低通濾波器系數(shù)，gk稱為高通濾波器系數(shù)。

4 Haar小波只能含有兩項高通濾波系數(shù)的證明

Haar尺度函數(shù)（Haar scaling function）?(t)為：

在絕大多數(shù)研究中均提出Haar小波函數(shù)ψ(t)為式（9）時，滿足正交的要求，但沒有論證在如前所述的Haar尺度函數(shù)下，只有這種小波函數(shù)才滿足正交要求。

對比式（8）、（9），可以看出，Haar高通濾波器系數(shù)gk只有兩項非零數(shù)值，也就是k只取了0、1。以下將在時域證明Haar多分辨分析中的Haar小波函數(shù)，只能有兩項高通濾波器系數(shù)gk。

（1）嵌套空間的正交分解性[12]對Haar小波濾波系數(shù)的要求

由式（6）可得：

（2）Haar小波在同一尺度內(nèi)的正交性對濾波系數(shù)的要求

由式（5）可知，對?k，n∈z有：

滿足式（10）和式（11）的要求，所以Haar小波的高通濾波器系數(shù)gk能取2個非零值。

即，當n=kl-k1時：

式（12）與式（11）的同一尺度內(nèi)的正交性要求相矛盾，因此Haar小波的高通濾波器系數(shù)gk不能有l(wèi)(l≥2，l∈Z)對偶奇相鄰的非零值。

綜上，Haar小波中只能含有兩項非零值的高通濾波器系數(shù)。

5 結束語

本文中證明了Haar小波濾波器系數(shù)序列只能含有兩個非零項，即Haar尺度函數(shù)與Haar小波函數(shù)之間相互唯一確定，進一步補充完善了Haar小波理論。本文的證明使得在小波應用中不用再關注Haar小波高通濾波器系數(shù)的個數(shù)問題，而把研究的重點放在Haar小波的具體變換應用中。

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LUO Ruiping,ZHANG Hongshun,CHEN Yong,YUAN Yuhong

Radio Spectrum Management Staffroom,Chongqing Communication Institute,Chongqing 400035,China

Haar wavelet is widely used in such areas as image processing because of its short filter coefficients,which is one of Daubechies wavelets and is also the simplest compactly orthogonal wavelet.It is known that the existing orthogonal wavelets are constructed under certain conditions according to the theories of Daubechies wavelets construction；therefore,the uniqueness of Haar wavelet filter coefficients has been queried.There is only two nonzero values of Haar wavelet filter coefficients is proved by multi-resolution analysis theory in time domain,which is beneficial for theory consummation and application research of Wavelets.

Haar wavelet;filter coefficient;nonzero coefficient;uniqueness

Haar小波是最簡單的緊支集正交小波（Daubechies小波），其濾波器序列較短，在圖像處理等諸多領域都有廣泛的應用。由Daubechies小波的構造理論可知，現(xiàn)有的正交小波是在比較特殊的前提下得到的，則Haar小波的濾波器系數(shù)序列的唯一確定性受到質(zhì)疑。以多分辨分析為基礎，在時域?qū)aar小波濾波器系數(shù)序列的唯一性進行了論證，即證明了Haar小波濾波器序列只有兩個非零項，這對促進小波的理論完善與應用研究具有十分重要的意義。

Haar小波；濾波器系數(shù)；非零項；唯一性

A

TN911.6

10.3778/j.issn.1002-8331.1111-0097

LUO Ruiping,ZHANG Hongshun,CHEN Yong,et al.Demonstration of only two nonzero coefficients of Haar wavelet filter.Computer Engineering and Applications,2013,49（13）：191-193.

國家自然科學基金（No.61002034）。

羅瑞評（1985—），女，碩士研究生，研究方向為信號處理，電磁頻譜管理；張洪順（1949—），男，教授，研究方向為圖像處理，小波理論及應用，無線電管理；陳勇（1975—），男，講師，研究方向為圖像處理，小波理論及應用。E-mail：lrp_hh@163.com

2011-11-10

2012-01-05

1002-8331（2013）13-0191-03

CNKI出版日期：2012-04-25http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20120425.1722.077.html