鄭滿滿，胡小兵，鄭申海

重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 401331

各向異性擴散圖像去噪的改進模型

鄭滿滿，胡小兵，鄭申海

重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，重慶 401331

1 引言

圖像去噪是圖像處理中非常重要的部分，圖像去噪的目的就是盡可能地減少圖像的噪聲，同時盡可能多地保留圖像原有信息。傳統(tǒng)的圖像去噪方法有很多，如高斯濾波、中值濾波、均值濾波等，但是傳統(tǒng)濾波容易在噪聲平滑過程中丟失掉邊緣?；赑DE的圖像平滑技術(shù)為解決這一矛盾提供了新方法[1-5]。

20世紀(jì)90年代初，Perona和Malik[1]提出用具有方向性（異性）的熱擴散方程來代替高斯平滑濾波器，這種方法不僅減弱了模糊程度，還抑制了噪聲。但是P-M模型存在一些缺陷[3-4]。1992年，Cattle，Lions，Morel和Coll[5]對P-M模型作出了改進，提出了選擇平滑C模型，解決了P-M模型存在的某些問題，在理論上證明該模型滿足解的適定性。然而，許多實驗表明C模型仍存在一些問題[3-5]，該模型的保邊緣效果仍有待改進且當(dāng)參數(shù)σ趨于0時，該模型不穩(wěn)定。對此，許多學(xué)者試圖對P-M、C模型進行改進，并取得了一些進展[6-9]。

本文在分析各向異性擴散方程中擴散系數(shù)行為的基礎(chǔ)上，改進了C模型中的擴散系數(shù)。由于僅靠梯度不能很好地區(qū)分邊緣點，故改進模型在擴散系數(shù)函數(shù)中引入二階導(dǎo)數(shù)uxx、uyy，利用二階導(dǎo)數(shù)銳化邊緣[10-11]；此外，改進模型針對不同的梯度范圍采取程度不同的擴散行為，這樣不僅能夠有效地保護邊緣，而且還能夠避免小尺度噪聲敏感及細節(jié)失真的問題。

2 傳統(tǒng)各向異性擴散模型

2.1 P-M模型

Perona和Malik在1987年指出高斯濾波不能保護圖像的自然邊緣，不同的尺度下圖像的邊緣在移動。為了去噪同時保護邊緣，得到如下擴散模型：設(shè)原始圖像u(x，y，0)=u(x，y)，隨時間t的演化圖像u(x，y，t)，演化規(guī)則為：

其中，c(x，y，t)為擴散系數(shù)。當(dāng)c(x，y，t)=1時，退化為熱傳導(dǎo)方程。此時的擴散就是各向同性的。c(x，y，t)是關(guān)于梯度的函數(shù)，理論上，希望在非邊緣區(qū)域c(x，y，t)盡量大，圖像充分平滑；在邊緣附近c(x，y，t)≈0，圖像不再平滑。通常?。?/p>

P-M模型存在著以下的缺陷和局限性：

（1）在噪聲處，圖像的梯度可能非常大，此時平滑系數(shù)較小，噪聲點被保留下來；

（2）P-M是病態(tài)模型，不穩(wěn)定。

2.2 C模型

針對P-M模型的不足，C模型的解決辦法是先對噪聲圖像進行高斯平滑，降低噪聲點的梯度，再運用P-M模型濾波，就會得到較好的效果。Cattle，Lions，Morel和Coll提出的C模型如下：其中Gσ*?u表示熱傳導(dǎo)方程在σ時刻的梯度。用|Gσ*?u|代替| ?u|克服了P-M模型對噪聲敏感的不足，且C模型的解存在唯一。C模型存在著以下的缺陷和局限性：

（1）該模型僅用梯度來識別邊緣，不夠準(zhǔn)確，保邊緣效果仍然有改進空間；

（2）當(dāng)參數(shù)σ趨于0時，該模型不穩(wěn)定。

3 各向異性擴散改進模型

在上面分析的基礎(chǔ)上，提出一種改進的各向異性擴散模型。改進模型將擴散系數(shù)函數(shù)中加入二階偏導(dǎo)數(shù)uxx，uyy，使擴散速度由梯度信息和二階導(dǎo)數(shù)共同決定，這樣能較好地識別圖像邊緣防止被平滑。另外一方面，改進模型是基于梯度閾值的有選擇地進行圖像平滑[12-14]，根據(jù)|Gσ*?u|的大小來選擇不同程度的擴散系數(shù)，使得模型在連續(xù)的尺度區(qū)域內(nèi)得到較好的平滑效果。改進的擴散系數(shù)表達方式：

4 數(shù)值實現(xiàn)

把改進的擴散系數(shù)應(yīng)用到C-模型中，得到：

這里采用有限差分對改進模型離散[1，15]。變量x、變量y上取等距離離散空間步長h，時間步長為Dt?；喎匠痰玫饺缦滦问剑?/p>

其中第一項差分格式為：

其中第二項差分格式為：

5 基于相關(guān)系數(shù)的圖像去噪質(zhì)量評判標(biāo)準(zhǔn)

應(yīng)用相關(guān)系數(shù)這一函數(shù)作為評判圖像去噪質(zhì)量的準(zhǔn)則[16]。理論指出當(dāng)噪聲與圖像的信號無關(guān)時，可用相關(guān)系數(shù)來評定圖像去噪的效果?？紤]去噪后的圖像與添加噪聲前的圖像的相關(guān)系數(shù)，如果這兩幅圖像的相關(guān)性越強則說明圖像去噪的效果越好。即當(dāng)兩幅圖像相關(guān)系數(shù)取最大值時，圖像去噪效果最佳。另外可選擇相關(guān)系數(shù)最大值時的時間點為迭代停止的最佳時間。用函數(shù)表示：

其中f表示添加噪聲前的原始圖像，u表示去噪后的圖像。式（12）表示求兩幅圖像相關(guān)系數(shù)的極大值。

6 實驗結(jié)果與分析

6.1 實驗結(jié)果

實驗結(jié)果如圖1～8所示。

圖1 噪聲方差0.01去噪效果

圖2 噪聲方差0.01的相關(guān)系數(shù)

圖3 噪聲方差0.02去噪效果

圖4 噪聲方差0.02相關(guān)系數(shù)

6.2 實驗結(jié)果比較

實驗結(jié)果比較如表1、表2所示。

圖5 噪聲方差0.03去噪效果

圖6 噪聲方差0.03相關(guān)系數(shù)

圖7 噪聲方差0.04去噪效果

圖8 噪聲方差0.04相關(guān)系數(shù)

6.3 實驗結(jié)果分析

（1）從視覺效果觀察lenna的去噪圖像可看出，在迭代次數(shù)相同前提下，P-M模型、C模型的效果都不如改進模型。

表1 噪聲方差不同時各模型的最大相關(guān)系數(shù)

表2 噪聲方差不同時各模型的最佳迭代次數(shù)

（3）從各模型的相關(guān)系數(shù)對比圖可看出，改進模型的相關(guān)系數(shù)峰值較其他模型大，而且走勢比較平穩(wěn)。

（4）從表格也可看出，改進模型的峰值最大，而且達到峰值的時間最短，也就是說改進模型去噪時間最短。

（5）隨著噪聲方差的增加，改進模型在去噪效果方面的優(yōu)勢越來越明顯。

7 結(jié)束語

在C模型的基礎(chǔ)上，改進了各向異性保邊緣平滑擴散方程的擴散系數(shù)，引入二階偏導(dǎo)數(shù)且自適應(yīng)的擴散模型。實驗結(jié)果表明改進模型去噪效果有一定提高。在驗證圖像效果時，利用相關(guān)系數(shù)準(zhǔn)則來判定改進模型的優(yōu)越性。

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ZHENG Manman,HU Xiaobing,ZHENG Shenhai

College of Mathematics and Statistics,Chongqing University,Chongqing 401331,China

In the process of image denoising,in order to remove noise effectively and preserve edges and key details,the diffusion coefficient based on the Cattle model is improved and a more effective adaptive denoising model is proposed.The model can not only adopt different diffusion coefficient according to different sizes of the gradient but also lead the edge sharping factor of second order partial deviation into the diffusion coefficient.The best stop time evaluation criteria based on correlation coefficient is proposed in the mean time.The experimental results show that the improved model is superior to C model,and can better coincide with the judge standard.

image denoising;anisotropic diffusion;diffusion coefficient;correlation coefficient

圖像去噪過程中，為了在有效平滑噪聲的同時較好地保護圖像的邊緣和細節(jié)，在Cattle平滑模型基礎(chǔ)上，對擴散系數(shù)作出改進，提出了更有效的自適應(yīng)去噪模型。該模型不僅針對不同的梯度大小采用了不同的擴散系數(shù)，而且將邊緣銳化因子二階偏導(dǎo)引入到擴散系數(shù)中。而在圖像質(zhì)量評判標(biāo)準(zhǔn)中，提出了基于相關(guān)系數(shù)函數(shù)的最佳停止時間評判準(zhǔn)則。實驗結(jié)果表明，改進的模型優(yōu)于C模型，且能更好地吻合評判準(zhǔn)則。

圖像去噪；各向異性擴散；擴散系數(shù)；相關(guān)系數(shù)

A

TP391

10.3778/j.issn.1002-8331.1301-0160

ZHENG Manman,HU Xiaobing,ZHENG Shenhai.Improved model of anisotropic diffusion image denoising.Computer Engineering and Applications,2013,49（18）：130-133.

重慶市自然科學(xué)基金資助項目（CSPC，2005BB2197）；重慶大學(xué)“211工程”三期創(chuàng)新人才培養(yǎng)計劃建設(shè)基金資助項目（No.S-09110）。

鄭滿滿（1988—），女，碩士研究生，研究領(lǐng)域為智能計算；胡小兵（1975—），男，博士，副教授，研究領(lǐng)域為現(xiàn)代化技術(shù)、機器人控制技術(shù)和計算機軟件設(shè)計；鄭申海（1988—），男，碩士研究生，研究領(lǐng)域為智能計算。E-mail：20110602030@cqu.edu.cn

2013-01-15

2013-03-19

1002-8331（2013）18-0130-04

CNKI出版日期：2013-04-10 http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130410.1554.010.html