柳波

綿陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，四川 綿陽 621000

基于節(jié)點約束的球桿系統(tǒng)平衡控制策略研究

柳波

綿陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，四川 綿陽 621000

1 引言

欠驅(qū)動機械系統(tǒng)是一類驅(qū)動數(shù)少于系統(tǒng)自由度數(shù)的機械系統(tǒng)，這類系統(tǒng)的控制問題是目前研究的熱點。國內(nèi)外的學(xué)者為研究欠驅(qū)動系統(tǒng)中的控制問題構(gòu)造了許多的實驗?zāi)Ｐ?，如倒立擺、旋轉(zhuǎn)擺等[1-2]。本文主要研究了節(jié)點約束球桿系統(tǒng)的平衡控制問題。目前有很多研究欠驅(qū)動模型控制問題的方法，其中有一種是基于能量的方法，該方法構(gòu)造整個系統(tǒng)機械能量的Lyapunov函數(shù)，通過分析解的收斂性來推導(dǎo)控制方法[3-7]。基于能量的方法已應(yīng)用到幾個欠驅(qū)動機械系統(tǒng)，如倒立擺、雙擺。至于球桿系統(tǒng)，F(xiàn)antoni通過對球的驅(qū)動，將能量控制法應(yīng)用于解決零點平衡問題[8-10]。對于無節(jié)點約束的球桿系統(tǒng)，也可以使用能量控制法去解決零點平衡和非零點平衡問題[11]。還有一些控制方法，并不基于能量方程，也解決了球桿系統(tǒng)的控制問題，比如輸入輸出近似線性化和模糊邏輯。然而，所有的這些研究都忽略了對球的運動范圍限制。

節(jié)點范圍約束存在于很多欠驅(qū)動機械系統(tǒng)，比如倒擺的運動，球桿系統(tǒng)的滑動等。但對這些機械系統(tǒng)控制方法進(jìn)行研究時，很少考慮節(jié)點的范圍的約束[12-16]。本文將對具有節(jié)點約束的球桿系統(tǒng)的平衡控制問題進(jìn)行研究，并給出控制策略和收斂性的理論分析。

2 球桿系統(tǒng)建模

設(shè)計如圖1（a）所示的球桿系統(tǒng)。該系統(tǒng)由一個倒立的“T”型梁和一個小球構(gòu)成。其中“T”型梁可以圍繞一個無驅(qū)動的掛點自由旋轉(zhuǎn)，通過輸入驅(qū)動轉(zhuǎn)矩τ可以使得小球在桿上滑動。q2的范圍被限定在-qm和qm之間。當(dāng)小球在此限定的范圍內(nèi)運動時，稱此時的系統(tǒng)為“系統(tǒng)1”。一旦小球以非零的速度到達(dá)邊界，發(fā)生非彈性碰撞，小球?qū)⑼瑮U一起圍繞掛點擺動，如圖1（b）所示。此時搖擺的小球與桿構(gòu)成類似單擺系統(tǒng)，稱之為“系統(tǒng)2”。為了簡化討論，在下文中假設(shè)小球處于“系統(tǒng)2”的qm處。用-qm替換qm，即可得出小球處于-qm時結(jié)論。

圖1 球桿系統(tǒng)

2.1 系統(tǒng)1的動力學(xué)原理

使用Euler-Lagrange方程，可以得到如下系統(tǒng)1的動力學(xué)模型：

其中τ為控制輸入轉(zhuǎn)矩。

由于方程（1）中缺少輸入轉(zhuǎn)矩τ，系統(tǒng)1是一個欠穩(wěn)定系統(tǒng)，所以不能使用精確線性化方法。下一節(jié)中將使用一種基于能量的方法。

2.2 系統(tǒng)2的動力學(xué)原理

在系統(tǒng)2中，小球和桿類似單擺旋轉(zhuǎn)，系統(tǒng)的動力學(xué)模型可以表示為：

其中：

簡化式（3）和式（4）可以得到：

為了保證小球與桿相對靜止，輸入轉(zhuǎn)矩τ*被作用到小球上。由于小球有切向加速度和向心加速度，它將遵守牛頓第二定律：

其中：

將式（5）帶入式（6）可得：

2.3 兩種系統(tǒng)在切換過程中的狀態(tài)關(guān)系

當(dāng)小球從系統(tǒng)1切換到系統(tǒng)2時，由于將發(fā)生非彈性碰撞，系統(tǒng)的狀態(tài)會在碰撞中突然改變。系統(tǒng)1的狀態(tài)變量表示為：

系統(tǒng)2的狀態(tài)變量表示為：

由于位置不能突變，可以得到：

碰撞后，小球與桿保持相對靜止，則小球的滑動速度變?yōu)?，也就是：

根據(jù)角動量守恒定律，角速度應(yīng)該滿足：

其中：

簡化以上表達(dá)式得到：

當(dāng)球桿系統(tǒng)從系統(tǒng)2切換到系統(tǒng)1時，由于沒有碰撞發(fā)生，系統(tǒng)的狀態(tài)不會改變。若作用到q2的輸入轉(zhuǎn)矩τ方向相反，且足夠大，則系統(tǒng)將從系統(tǒng)2變回到系統(tǒng)1。

3 平衡控制策略

3.1 現(xiàn)有的結(jié)論

球桿系統(tǒng)的目標(biāo)是通過適當(dāng)?shù)妮斎朕D(zhuǎn)矩τ，控制系統(tǒng)從初始狀態(tài)到達(dá)期望的平衡位置。對于沒有節(jié)點范圍約束的球桿系統(tǒng)平衡控制問題，文獻(xiàn)[11]中已得到如下主要結(jié)論：

結(jié)論1考慮式（1）和式（2）所述的球桿系統(tǒng)，采用以下反饋控制法則：

結(jié)論2設(shè)期望的平衡點為qd={q1d，q2d}≠0，并考慮球桿系統(tǒng)1和系統(tǒng)2。采用以下反饋控制法則：

則從任意初始狀態(tài)開始，閉環(huán)系統(tǒng)的解逐漸趨近于qd。

3.2 控制策略

雖然以上兩個結(jié)論可以解決球桿系統(tǒng)的平衡問題，但不能保證滑移節(jié)點始終保持在[-qm，qm]范圍內(nèi)。并且如果限定了節(jié)點范圍，則在實踐中該控制法則可能無效。如第2章所述，當(dāng)小球運動到邊界位置，系統(tǒng)變成一個單擺。這是一個變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，對于整個平衡控制策略，應(yīng)對不同的結(jié)構(gòu)采用不同的控制規(guī)則。

考慮的球桿系統(tǒng)的節(jié)點范圍約束，根據(jù)q2和q˙2的取值，提出了以下控制策略。為了避免混淆，平衡控制輸入式（11）或式（12）中的τ稱之為控制轉(zhuǎn)矩，而系統(tǒng)2中的τ*，稱之為維持轉(zhuǎn)矩。

（1）|q2|＜qm

此狀態(tài)為系統(tǒng)1的結(jié)構(gòu)，平衡控制規(guī)則式（11）或式（12）用于驅(qū)動系統(tǒng)狀態(tài)趨近于預(yù)期位置。每個節(jié)點的收斂過程是一個阻尼振蕩過程，振蕩幅度可能會超出節(jié)點限制范圍。

（2）|q2|=qm，q2q˙2＞0

此狀態(tài)下，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)從系統(tǒng)1切換至系統(tǒng)2。

由于位置與速度都相同，這意味著小球正向著邊界運動，碰撞發(fā)生，結(jié)構(gòu)切換至系統(tǒng)2。式（8）和式（10）表示了碰撞發(fā)生時的狀態(tài)變化，同時輸入量τ也將被式（7）中的τ*替換。

（3）|q2|=qm，q˙2=0 and (τ-τ*)q2≥0

在此狀態(tài)下，小球位于邊界，估算可知控制轉(zhuǎn)矩優(yōu)于維持轉(zhuǎn)矩。即使控制轉(zhuǎn)矩作用于小球，由于節(jié)點范圍約束，小球也不能滑動。因此維持轉(zhuǎn)矩作為輸入，以保證小球相對于桿靜止。此狀態(tài)為系統(tǒng)2的結(jié)構(gòu)，此時小球與桿作為一個整體旋轉(zhuǎn)。系統(tǒng)可以被視為一個單擺系統(tǒng)，在此狀態(tài)下系統(tǒng)機械能保持恒定。

（4）|q2|=qm，q˙2=0 and (τ-τ*)q2＜0

由于系統(tǒng)2不穩(wěn)定，同時在系統(tǒng)2下不能達(dá)到預(yù)期的位置，故應(yīng)當(dāng)切換至系統(tǒng)1。此時估算的控制轉(zhuǎn)矩τ小于維持轉(zhuǎn)矩τ*，如果τ作為輸入，則意味著小球?qū)⑾蛑到y(tǒng)1變化。系統(tǒng)將切換至第一種狀態(tài)，平衡控制法則可以再次應(yīng)用于系統(tǒng)以使其達(dá)到目標(biāo)平衡位置。

在這個控制過程中，系統(tǒng)1向系統(tǒng)2的轉(zhuǎn)化是由于小球和桿的碰撞，這是不可控的。輸入轉(zhuǎn)矩的切換也是在碰撞后才實施的。在系統(tǒng)2的狀態(tài)中，維持轉(zhuǎn)矩和控制轉(zhuǎn)矩都是估算的，轉(zhuǎn)矩輸入是通過判斷系統(tǒng)處于哪個階段，經(jīng)過比較它們的值來決定。

3.3 穩(wěn)定性分析

如文獻(xiàn)[11]所述，根據(jù)控制法則式（11）和式（12），系統(tǒng)將收斂于期望的平衡點。相較而言，本文提出的控制策略較為復(fù)雜。接下來，將證明提出的控制策略能夠平衡系統(tǒng)以達(dá)到期望的位置。以下證明中，只考慮非零情況，為零的情況可以用同樣的方法解決。

Lyapunov方程設(shè)計如下：

其中,M(q)為正定對稱的慣性矩陣。

k1，k2，k3取值同結(jié)論2。

接下來證明V(q，q˙)的正定性。

假設(shè)期望的平衡點為qd={q1d，q2d}≠0，對于輔助函數(shù)：

階段1當(dāng)控制法則式（12）被采用時，由于遞減。

階段2當(dāng)從系統(tǒng)1切換至系統(tǒng)2時，由于非彈性碰撞發(fā)生，動能減少。在狀態(tài)切換期間，q2保持不變，因此在這個階段會突然下降。

階段3由于小球位于邊界，系統(tǒng)類似于一個單擺圍繞固定的掛點旋轉(zhuǎn)，機械能和保持恒定。

階段4當(dāng)從系統(tǒng)2切換到系統(tǒng)1，沒有碰撞發(fā)生，在此階段不會發(fā)生變化。

圖2 V(q，˙)隨時間的變化

當(dāng)t→+∞，從圖2可知，M包含系統(tǒng)1的不變集和系統(tǒng)2的所有狀態(tài)。系統(tǒng)1的不變集僅有一個元素，即一個確定的預(yù)期平衡點。因此，如果能證明系統(tǒng)2不穩(wěn)定，則具有前述控制策略的閉環(huán)系統(tǒng)的解將總是收斂于預(yù)期的點。那么就可以證明隨著時間的推移，不可能總保持系統(tǒng)2的狀態(tài)，系統(tǒng)將必然轉(zhuǎn)換到系統(tǒng)1。

假設(shè)系統(tǒng)2中小球處于正邊界。由式（1）和式（2）可獲得桿中小球的加速度：

如果控制轉(zhuǎn)矩式（12）被使用并得到了一個負(fù)的q¨2，則小球?qū)@得一個負(fù)速度，并逐漸遠(yuǎn)離邊界，系統(tǒng)將切換到系統(tǒng)1。因此，如果式（18）可以被證明在某些狀態(tài)下為負(fù)，則系統(tǒng)2就可以視為前述控制策略下的不穩(wěn)定系統(tǒng)。

接下來驗證以下不等式：

其中τ為式（12）中的控制轉(zhuǎn)矩。將δ*和式（12）代入式（20）的左邊得到：

容易驗證方程：

同理可知不等式f(δ*+δA)+d11τ＜0和f(δ*-δA)+d11τ＜0也總成立。通過估算可知：

其中：

當(dāng)q1+?∈(0，π)，且，式（21）為負(fù)。因此，f(δ*+δA)＜f(δ*)和f(δ*-δA)＜f(δ*)中至少有一個不等式成立。由于速度q˙1=0，當(dāng)系統(tǒng)震蕩到q1=δ*±δA位置時，小球的加速度滿足：

因此，不論δ*-δA或δ*+δA都將導(dǎo)致故，由于的表達(dá)式是連續(xù)的，系統(tǒng)2必須存在一個以上的狀態(tài)導(dǎo)致q2的加速度為負(fù)。最終，系統(tǒng)2必然會切換到系統(tǒng)1，而閉環(huán)系統(tǒng)在不變集中必然僅有一個穩(wěn)定解，也就是確定的期望的平衡點。所以具有前述控制策略的閉環(huán)系統(tǒng)必然收斂到一個期望的點。

4 仿真結(jié)果

該章給出了式（11）和式（12）控制規(guī)則下的球桿系統(tǒng)定點平衡控制的仿真結(jié)果，并分別給出了使用的控制策略。對機械系統(tǒng)取如下參數(shù)：

假設(shè)初始狀態(tài)為x(0)=[-0.5，0.8，-0.4，0.2]T，期望的平衡狀態(tài)為xd=[-0.55，-0.9，0，0]T。

非零點平衡控制法則中取參數(shù)k1=12，kv=5，則q1和q2收斂的仿真結(jié)果如圖3所示。隨著t→∞，閉環(huán)系統(tǒng)逐漸收斂于期望點。但在收斂過程中，q2的值超出了節(jié)點范圍限制，這對實際系統(tǒng)來講是不可能的。

采用相同的參數(shù)，運用反饋控制法則進(jìn)行仿真。初始狀態(tài)和期望點如圖4所示。圖4（a）和圖4（b）分別給出了旋轉(zhuǎn)節(jié)點和滑動節(jié)點的收斂性的仿真結(jié)果。圖4（c）和圖4（d）所示的是節(jié)點速度的時間變量。圖4（e）為系統(tǒng)模型的切換。圖4（f）為系統(tǒng)的輸入轉(zhuǎn)矩。圖4（g）為Lyapunov函數(shù)收斂性樣本。

比較兩種仿真結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)所提出的控制策略對于節(jié)點范圍約束的球桿系統(tǒng)的定點平衡控制問題是有效的。系統(tǒng)確定會收斂于期望的平衡狀態(tài)。

圖3 非零點平衡控制規(guī)則下的仿真結(jié)果

圖4 反饋控制策略下的仿真結(jié)果

5 結(jié)論

本文研究了球桿系統(tǒng)中球的定點平衡問題，文中考慮了滑動小球的節(jié)點范圍的約束。根據(jù)小球的運動，系統(tǒng)分為兩種結(jié)構(gòu)：普通球桿系統(tǒng)和單擺系統(tǒng)。同時，根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)變量不同，系統(tǒng)的運動也被分成兩種狀態(tài)。文中基于Lyapunov方法，提出了一種控制策略以精簡所有運動狀態(tài)下的Lyapunov函數(shù)。并且，在所提出的控制策略下，通過理論分析證明了閉環(huán)系統(tǒng)的收斂性。仿真結(jié)果給出了所提出的控制策略對于節(jié)點范圍約束的球桿系統(tǒng)的有效性。

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LIU Bo

School of Math and Computer Science,Mianyang Normal University,Mianyang,Sichuan 621000,China

In this paper,the balance control problem of set-point is studied about the ball and beam system based on the joint constraint.According to the position of the ball,the structure of the ball and beam system is divided into two types：the normal ball and beam system and the single pendulum system.The motion characteristics of both the two systems and their switching are analyzed.A control scheme based on the Lyapunov method is proposed to solve the balance problem of the ball and beam system based on the joint constraint.It is proved that the solutions make the closed-loop system converge to the desired balance state exactly by using the proposed control scheme.The simulations result is given.

joint constraint;balance control scheme;energy control;ball and beam system

研究了節(jié)點約束的球桿系統(tǒng)的定點平衡控制問題。根據(jù)球的位置，球桿系統(tǒng)分為兩種類型的結(jié)構(gòu)模式：普通球桿系統(tǒng)和單擺系統(tǒng)。對兩種結(jié)構(gòu)的運動特性以及它們之間的切換進(jìn)行了分析，使用了基于Lyapunov方法的控制策略來解決節(jié)點約束球桿系統(tǒng)的平衡問題。通過理論分析和實驗，證明了提出的閉環(huán)系統(tǒng)控制策略完全收斂于預(yù)期的平衡狀態(tài)，給出了相應(yīng)的仿真結(jié)果。

節(jié)點約束；平衡控制策略；能量控制；球桿系統(tǒng)

A

TP11

10.3778/j.issn.1002-8331.1304-0494

LIU Bo.Study of balance control scheme about ball and beam system based on joint constraint.Computer Engineering and Applications,2013,49（18）：36-40.

四川省教育廳青年項目（No.12ZB261）。

柳波（1980—），男，講師，主要研究領(lǐng)域為自動控制技術(shù)，計算機網(wǎng)絡(luò)，嵌入式系統(tǒng)。E-mail：liubo8039@sina.cn

2013-05-06

2013-06-13

1002-8331（2013）18-0036-05