張艷菊，趙寶福

遼寧工程技術(shù)大學(xué) 工商管理學(xué)院，遼寧 葫蘆島 125105

模糊動(dòng)態(tài)聯(lián)盟收益分配改進(jìn)算法

張艷菊，趙寶福

遼寧工程技術(shù)大學(xué) 工商管理學(xué)院，遼寧 葫蘆島 125105

考慮到實(shí)際生活中動(dòng)態(tài)聯(lián)盟收益具有模糊性，則聯(lián)盟的收益分配問(wèn)題實(shí)質(zhì)是模糊合作博弈解的求解問(wèn)題。

對(duì)模糊合作博弈的研究主要集中在兩方面：（1）僅參與度模糊的模糊合作博弈（也稱(chēng)為聯(lián)盟模糊的模糊合作博弈）。Aubin[1-3]提出了局中人可以用[0，1]之間的模糊數(shù)表示參與度參加某個(gè)或某幾個(gè)聯(lián)盟，繼而正式提出了模糊合作博弈的概念；Butnariu[4-7]對(duì)模糊Shapley值給出了定義，但是該定義未能很好地滿(mǎn)足現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用需求。Tsurumi[8]在前人研究的基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個(gè)具有Choquet積分的模糊Shapley值，該構(gòu)造既單調(diào)非減又連續(xù)。逄金輝[9]等考慮了局中人的聯(lián)盟隸屬度的動(dòng)態(tài)變化，將隸屬度表示為介于[0，l]區(qū)間的三角模糊數(shù)，該研究回避了模糊被測(cè)函數(shù)下的Choquet積分計(jì)算過(guò)程中一個(gè)重要的問(wèn)題，即不同置信水平下模糊隸屬度截集的排序問(wèn)題。（2）僅具有模糊支付的模糊合作博弈。主要成果：Mares[10-12]指出帶有模糊支付的合作博弈也是模糊合作博弈的一種形式。按照傳統(tǒng)的Shapley值定義了模糊Shapley值。但是，他定義的模糊Shapley值無(wú)法滿(mǎn)足Shapley提出的三條公理。Arts[13]等1997年從集合論的角度，研究了合作博弈的Shapley值，使模糊Shapley值得到了拓展和延伸。孟凡永，張強(qiáng)[14]定義了模糊支付下具有Choquet積分形式的模糊合作博弈，提出了該模糊合作博弈下具有Choquet形式的Shapley值。該研究本質(zhì)上是帶模糊支付的合作博弈。于曉輝，張強(qiáng)[15]拓展了傳統(tǒng)Shapley函數(shù)滿(mǎn)足的三條公理，提出了聯(lián)盟支付為區(qū)間數(shù)的Shapley函數(shù)形式。該研究為本文的研究起到一定的啟發(fā)作用。

在模糊環(huán)境下研究動(dòng)態(tài)聯(lián)盟收益分配問(wèn)題，將動(dòng)態(tài)聯(lián)盟的預(yù)期收益視為模糊數(shù)，采用模糊合作博弈來(lái)研究該問(wèn)題非常必要。這就對(duì)模糊合作博弈提出了更高的要求。由于以往基于擴(kuò)張?jiān)淼哪：龜?shù)的運(yùn)算存在遍歷性，模糊Shapley值的隸屬函數(shù)表達(dá)非常復(fù)雜，以上研究方法未能準(zhǔn)確地描述出模糊合作博弈的Shapley值的隸屬函數(shù)及給出合理的動(dòng)態(tài)聯(lián)盟收益分配方案。本文應(yīng)用模糊結(jié)構(gòu)元理論[16-20]，改進(jìn)模糊Shapley值的算法，使模糊Shapley值的隸屬函數(shù)得到解析表達(dá)。采用新算法來(lái)研究動(dòng)態(tài)聯(lián)盟收益分配問(wèn)題，與其他研究方法相比，該算法體現(xiàn)決策者行為偏好對(duì)收益分配的影響，更加準(zhǔn)確、易操作、易推廣。具有良好的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。

1 傳統(tǒng)合作博弈的Shapley值

合作博弈是局中人在競(jìng)爭(zhēng)中為取得自己的最大利益而進(jìn)行決策分析的模型。在合作博弈的過(guò)程中，局中人需要考慮如何結(jié)成聯(lián)盟及如何分配合作所取得的收益。

二元組(I，v)稱(chēng)為局中人集合I={1，2，…，n} 上的合作對(duì)策，如果v是I的所有子集形成的集合2I上的映射，即v:2I→R滿(mǎn)足：

（1）v(Φ)=0；

（2）對(duì)于K，L?I且K∩L=Φ，則有v(K∪L)≥v(K)+v(L)。

映射v稱(chēng)為支付函數(shù)，I的任意子集K稱(chēng)為聯(lián)盟。從測(cè)度論的觀點(diǎn)看，v是集合2I上的一個(gè)超可加集函數(shù)。

合作博弈有多個(gè)解的定義，Shapley值是其中之一，也是最常用的一種解概念。1953年，Shapley提出了一種求解多人合作博弈問(wèn)題的公理化方法[21-22]，其提出了三個(gè)人們普遍接受的公理。

公理1（對(duì)稱(chēng)性）如果局中人i，j∈I，對(duì)于任意的聯(lián)盟K?I{i，j}總有v(K∪{i})=v(K∪{j})，那么φi(v)=φj(v)。

公理3（可加性）對(duì)于任意兩個(gè)合作對(duì)策(I,v1)和(I,v2)，如果存在一個(gè)合作對(duì)策(I，v1+v2)，對(duì)于任意的聯(lián)盟K?I總有(v1+v2)×(K)=v1(K)+v2(K)，則φi(v1+v2)=φi(v1)+φi(v2)，i∈I。

然后，求出唯一滿(mǎn)足這三個(gè)公理的各局中人的支付值φi(v)→R，

其中，k為聯(lián)盟K中的人數(shù)，n為局中人的個(gè)數(shù)。φ(v)= (φi(v))i∈I為Shapley值向量，簡(jiǎn)稱(chēng)Shapley值，它是支付函數(shù)v的單調(diào)非減函數(shù)，在滿(mǎn)足超可加性的合作博弈中表示某一確定的分配。

2 模糊數(shù)的模糊結(jié)構(gòu)元表示

設(shè)E為實(shí)數(shù)域R上的模糊集，隸屬函數(shù)記為E(x)，x∈R。如果E(x)滿(mǎn)足下述性質(zhì)：（1）E(0)=1；（2）在區(qū)間[-1，0)上E(x)是單增右連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間(0，1]上是單降左連續(xù)函數(shù)；（3）當(dāng)x＜-1或者x＞1時(shí)，E(x)=0，則稱(chēng)E為R上的模糊結(jié)構(gòu)元。

若模糊結(jié)構(gòu)元E滿(mǎn)足：（1）?x∈(-1，1)，E(x)＞0；（2）E(x)連續(xù)，且在[-1，0)上嚴(yán)格單增，在(0，1]上嚴(yán)格單降，則稱(chēng)E為正則的；若E(-x)=E(x)，稱(chēng)E為對(duì)稱(chēng)的。

定理1[19]設(shè)E是R上的任意模糊結(jié)構(gòu)元，具有隸屬函數(shù)E(x)，f(x)是[-1，1]上單調(diào)有界函數(shù)，則f(E)是R上有界閉模糊數(shù)。反之，對(duì)于給定的正則模糊結(jié)構(gòu)元E和任意的有界閉模糊數(shù)，總存在一個(gè)[-1，1]上的單調(diào)有界函數(shù)f，使得，稱(chēng)模糊數(shù)是由模糊結(jié)構(gòu)元E生成的。

定理2[19]若模糊數(shù)，則的隸屬函數(shù)為E(f-1(x))，這里f-1(x)是f(x)關(guān)于變量x和y的輪換對(duì)稱(chēng)函數(shù)（若f(x)是連續(xù)嚴(yán)格單調(diào)的，則f-1(x)是f(x)的反函數(shù)）。

上述定理的證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)[16-20]。

只要?。?/p>

用D[-1，1]表示區(qū)間[-1，1]上的同序單調(diào)有界函數(shù)全體，定義D[-1，1]上的幾個(gè)同序單調(diào)變換τi:D[-1,1]→D[-1，1]，i=0，1，2，3，?f∈D[-1，1]，定義：

定理3[19]設(shè)E是對(duì)稱(chēng)模糊結(jié)構(gòu)元，如果f和g是[-1，1]上兩個(gè)同序單調(diào)函數(shù)（不妨假定都是單調(diào)增函數(shù)），模糊數(shù)A=f(E)，B=g(E)，是f的同序變換，則有如下結(jié)論：

（1）若A和B是任意有界模糊數(shù)，則A+B=(f+g)(E)，具有隸屬函數(shù)：

（2）若A和B是任意有界模糊數(shù)，具有隸屬函數(shù)：

（3）若A和B都是正模糊數(shù)，則AB=f(E)·g(E)= [f·g](E)，具有隸屬函數(shù)：

（4）若A和B都是負(fù)模糊數(shù)，則，具有隸屬函數(shù)：

（5）若A是負(fù)模糊數(shù)，B是正模糊數(shù)，則，具有隸屬函數(shù)：

（6）若A和B都是正模糊數(shù)，且B的承集不包含0，則

具有隸屬函數(shù)：

（7）若A和B都是負(fù)模糊數(shù)，且B的承集不包含0，則

具有隸屬函數(shù)：

（8）若A是負(fù)模糊數(shù)，B是正模糊數(shù)，且B的承集不包含0，則

具有隸屬函數(shù)：

3 具有模糊支付動(dòng)態(tài)聯(lián)盟合作博弈的模糊Shapley值的結(jié)構(gòu)元表示

3.1 具有模糊支付的模糊合作博弈及其模糊Shapley值

記局中人集合為N，N中的所有清晰聯(lián)盟和模糊聯(lián)盟分別記為P(N)和L(N)。對(duì)P(N)中的清晰聯(lián)盟記為S0，T0，…，它們的基數(shù)分別表示為s，t，…，L(N)中的模糊聯(lián)盟記為S，T，…對(duì)任意的i∈N和S∈L(N)，記S(i)為局中人i在模糊聯(lián)盟S中的隸屬度。將S0∪{i}，S∪{U(i)}分別簡(jiǎn)記為S0∪i，S∪U(i)，其中S∪U(i)表示局中人i以參與水平U(i)加入模糊聯(lián)盟S0任意的模糊聯(lián)盟S∈L(N)，其支集記為supp S={i∈N|S(i)＞0} 。對(duì)任意h∈[0，1]，記[S]h={i∈N|S(i)≥h}為模糊聯(lián)盟S的h水平集。若函數(shù)滿(mǎn)足：，則稱(chēng)上的具有模糊支付的合作博弈，其全體記為

證明詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[14]。

3.2 模糊Shapley值的結(jié)構(gòu)元表示

本文設(shè)E是對(duì)稱(chēng)模糊結(jié)構(gòu)元，如果f是[-1，1]上同序單調(diào)函數(shù)（不妨假定都是單調(diào)增函數(shù)），模糊數(shù)是f的同序變換，則有如下定理：

定理5模糊合作博弈中局中人所得支付的Shapley值是一個(gè)模糊數(shù)，求出唯一滿(mǎn)足這三個(gè)公理的各局中人的支付值n其隸屬函數(shù)為：

3.3 結(jié)構(gòu)元線(xiàn)性生成的模糊Shapley值表達(dá)式

結(jié)論1求出唯一滿(mǎn)足這三個(gè)公理的各局中人的支付值

其隸屬函數(shù)為：

證明因?yàn)?/p>

根據(jù)定理3得到：

所以

又根據(jù)定理3得：

4 動(dòng)態(tài)聯(lián)盟收益分配運(yùn)算示例

在動(dòng)態(tài)聯(lián)盟企業(yè)中，各盟友充分利用自身的核心能力進(jìn)行優(yōu)化整合，以追求整體經(jīng)濟(jì)利益的最大化。這樣聯(lián)盟伙伴的優(yōu)化組合過(guò)程可以看做是n人合作博弈過(guò)程，聯(lián)盟伙伴的收益分配可以看做是n人合作博弈的收益分配問(wèn)題。

假設(shè)局中人a1，a2，a3三家企業(yè)欲合作汽車(chē)零部件聯(lián)合研發(fā)項(xiàng)目，如果局中人獨(dú)立研發(fā)，則均可獲利約為5億元，如果a1，a2合作研發(fā)可獲利約為35億元，如果a1，a3合作研發(fā)可獲利約為25億元，如果a2，a3合作研發(fā)可獲利約為20億元，如果a1，a2，a3合作研發(fā)可獲利約為50億元，上述預(yù)期收益用三角模糊數(shù)表示為：

解：這里取E為三角結(jié)構(gòu)元，其隸屬函數(shù)為：

根據(jù)定理5，計(jì)算局中人a1的模糊合作博弈的Shapley值，計(jì)算過(guò)程如下：

同理可求得局中人a2，a3的Shapley值，分別為：

其隸屬函數(shù)為：

其隸屬函數(shù)為：

以局中人a1為例，可以計(jì)算得到不同聯(lián)盟組合下的a1收益分配，a1單干時(shí)，a1可獲利，其隸屬函數(shù)為：

a1，a2聯(lián)合時(shí)，a1可獲利：

其隸屬函數(shù)為：

a1，a3聯(lián)合時(shí)，a1可獲利：

其隸屬函數(shù)為：

a1，a2，a3聯(lián)合時(shí)，a1的獲利前面計(jì)算已求得。

則局中人a1選取的合作策略是與局中人a2，a3共同結(jié)成聯(lián)盟。同理，局中人a2，a3通過(guò)類(lèi)似的方法得到聯(lián)盟{(lán)a1，a2，a3}是他們的最優(yōu)策略。這樣，聯(lián)盟{(lán)a1，a2，a3}就組建了。

現(xiàn)討論聯(lián)盟收益如何分配。若聯(lián)盟{(lán)a1，a2，a3}實(shí)際收益51億元，代入聯(lián)盟的隸屬函數(shù)可知，隸屬度為0.8。再將0.8代入三家企業(yè)各自的收益隸屬函數(shù)（將0.8代入核心右側(cè)）可得三家企業(yè)偏好程度為0.8時(shí)的Shapley值分別為：21.03，18.43，12.87。按照這個(gè)比例去分配收益51億元，可得三家企業(yè)分別收益20.495 51億元、17.961 59億元，12.542 90億元。

該方法比文獻(xiàn)[23]的結(jié)果精確，比文獻(xiàn)[24]的計(jì)算方法簡(jiǎn)單，該改進(jìn)算法更加形象、準(zhǔn)確、易操作、易推廣。

5 結(jié)論

本文在前人對(duì)具有模糊支付的合作博弈研究基礎(chǔ)上，應(yīng)用模糊結(jié)構(gòu)元理論，改進(jìn)模糊Shapley值算法，使模糊Shapley值的隸屬函數(shù)得到解析表達(dá)?？紤]到現(xiàn)實(shí)生活中，動(dòng)態(tài)聯(lián)盟的預(yù)期收益具有模糊性，采用改進(jìn)算法來(lái)研究動(dòng)態(tài)聯(lián)盟收益分配問(wèn)題，與其他研究方法相比，該算法清晰地體現(xiàn)出決策者行為偏好對(duì)收益分配的影響，更加準(zhǔn)確、易操作、易推廣。具有良好的理論價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值，可以為管理者提供更精確的信息。

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ZHANG Yanju,ZHAO Baofu

School of Business Administration,Liaoning Technical University,Huludao,Liaoning 125105,China

Dynamic coalition focuses on cooperation between the Leaguers,and the profit allocation is the result of cooperation rational participation.Taking into account the fuzziness of the profit allocation,this paper applies fuzzy cooperative games to solving the dynamics coalition.The key problem is to solve the Shapley value of fuzzy cooperative game.The fuzzy structured element theory is applied to analyzing fuzzy cooperative games.Then membership function of the fuzzy Shapley value can get analytic expression.The method can embody different dynamic profit distribution under different behavior preference,and the results of application verify the effectiveness of the improved algorithm.

fuzzy mathematics;structured element;cooperative games;dynamics coalition

動(dòng)態(tài)聯(lián)盟注重盟員間的合作，在參與人合作過(guò)程中，收益分配是其理性選擇的結(jié)果。實(shí)際生活中收益又具有模糊性，所以應(yīng)用模糊合作博弈來(lái)研究該問(wèn)題非常必要。這里的關(guān)鍵問(wèn)題是模糊合作博弈Shapley值的求解問(wèn)題。將模糊合作博弈中的模糊支付用模糊結(jié)構(gòu)元表示，給出基于結(jié)構(gòu)元理論的各局中人Shapley值求解方法，使其得到解析表達(dá)。求解該方法可以體現(xiàn)出決策者不同行為偏好下動(dòng)態(tài)收益的不同分配，應(yīng)用結(jié)果驗(yàn)證了改進(jìn)算法的有效性。

模糊數(shù)學(xué)；結(jié)構(gòu)元；合作博弈；動(dòng)態(tài)聯(lián)盟

A

O159

10.3778/j.issn.1002-8331.1305-0089

ZHANG Yanju,ZHAO Baofu.Improved algorithm of fuzzy dynamic alliance profit distribution.Computer Engineering and Applications,2013,49（18）：6-10.

葫蘆島市科技局研究項(xiàng)目；深圳市世貿(mào)組織事務(wù)中心研究項(xiàng)目。

張艷菊（1983—），女，博士研究生，研究方向：模糊決策理論與應(yīng)用，區(qū)域經(jīng)濟(jì)學(xué)等；趙寶福（1957—），通訊作者，男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：模糊決策理論與應(yīng)用，區(qū)域經(jīng)濟(jì)學(xué)股份制經(jīng)濟(jì)等。E-mail：juzi2002@126.com

2013-05-13

2013-06-14

1002-8331（2013）18-0006-05