張 冕

（無錫市第六高級中學(xué)，江蘇 無錫 214000）

高中物理有關(guān)彈簧的問題一直是個典型又重要的問題，2012年江蘇高考再次以計算題的形式考查了此類問題.

原題.某緩沖裝置的理想模型如圖1所示，勁度系數(shù)足夠大的輕質(zhì)彈簧與輕桿相連，輕桿可在固定的槽內(nèi)移動，與槽間的滑動摩擦力恒為f.輕桿向右移動不超過l時，裝置可安全工作.一質(zhì)量為m的小車若以速度v0撞擊彈簧，將導(dǎo)致輕桿向右移動輕桿與槽間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，且不計小車與地面的摩擦.

（1）若彈簧的勁度系數(shù)為k，求輕桿開始移動時，彈簧的壓縮量x；

（2）求為使裝置安全工作，允許該小車撞擊的最大速度vm；

（3）討論在裝置安全工作時，該小車彈回速度v′和撞擊速度v0的關(guān)系.

標(biāo)準(zhǔn)答案：

（1）輕桿開始移動時，彈簧的彈力F＝kx，且F＝f，解得

圖1

（2）設(shè)輕桿移動前小車對彈簧所做的功為W，則小車從撞擊到停止的過程中，運用動能定理，可得

同理，小車以vm撞擊彈簧時有－f·l－W＝

本文的討論重點在第（2）問，不涉及第（3）問，所以該問的答案就不給出了.

第（2）問的突破口在于對“輕桿”運動方式的理解.輕桿不計質(zhì)量，所以就沒有慣性，因此當(dāng)彈簧彈力大于輕桿所受最大靜摩擦力時，它能立刻獲得與小車相同的速度，并時刻保持與小車同速；當(dāng)彈力小于最大靜摩擦力時它又能瞬間靜止.為了不與下文涉及的模型沖突，這里稱這種“瞬動瞬停”的輕桿為“理想輕桿”.我們用Mathematica模擬了這一運動，圖2、圖3分別表示小車的v－t圖像、水平輕桿的v－t圖像.從兩個物體的v－t圖像可以看出，小車一直減速，在彈簧形變量x超過f／k后彈力大于輕桿受到的最大靜摩擦力，輕桿瞬間獲得速度并在隨后的時間里與小車同步減速.從它們相對速度隨時間的變化圖（圖4）可以更明顯地看出，在輕桿開始運動直至減速到速度為0的過程中，它們保持相對靜止，而彈簧的形變量也將保持x＝f／k不變，其蘊含的彈性勢能也不變，所以答案中的W 只需考慮輕桿移動前小車對彈簧做的功就可以了，并且此W 與小車的初速度無關(guān).

圖2

圖3

圖4

上面的討論是基于“理想輕桿”、“瞬動瞬?！钡奶攸c，但是實際情況下的物體并不具有這樣的特點，而應(yīng)該依據(jù)牛頓定律運動，學(xué)生也更習(xí)慣處理按牛頓定律運動的物體.那么如果考慮桿的質(zhì)量但仍舊保證其很輕（遠(yuǎn)小于小車質(zhì)量），在符合牛頓定律描述的運動下，是否也能很好的逼近此題中設(shè)置的理想情形呢？答案所給的解題方法是否適用于牛頓定律描述下的輕桿運動情形，還是只能處理“理想輕桿的問題”？為了更好的探究這一問題，我們利用Mathematica做了進一步的模擬.在模擬中設(shè)置了如下的參數(shù)：小車的質(zhì)量M車＝1000kg，輕桿的質(zhì)量M桿＝1kg，輕桿所受最大靜摩擦力f＝10N，彈簧勁度系數(shù)k＝2N／m.

首先假設(shè)小車以4m／s的初速度撞擊彈簧，在小車減速到0的過程中，有了質(zhì)量的輕桿按照牛頓定律加速和減速，圖5，圖6分別表示小車和輕桿的v－t圖像，從圖中看出輕桿和小車不再能保持相對靜止，彈簧形變化量隨時間變化圖像如圖7所示，從圖7可以看出彈簧的形變量出現(xiàn)了周期性的變化，所以在計算小車對彈簧所做功時就無法只研究輕桿開始運動之前的階段了，這似乎讓人對答案在此情形下的適用性產(chǎn)生了疑問.但是由于摩擦力不斷做負(fù)功消耗系統(tǒng)的能量，彈簧的振幅越來越小，當(dāng)小車減速到0時，形變量有趨于一個定值的趨勢（圖7）.進一步研究發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)，在以不同初速度撞擊下，每當(dāng)小車減速到0時，彈簧形變量的最終值都為5m，見表1.（之所以有一些波動，是由于這里計算時輕桿的相對質(zhì)量不夠小，如果我們把小車的質(zhì)量設(shè)定為10 000kg，得到的數(shù)據(jù)見表2.可以看到波動更小了，因此有理由相信極限情況下，彈簧最終形變量為一定值）.也就是說，雖然整個過程中彈簧的形變量在不斷變化，但是小車減速到零時，彈簧最終儲存的彈性勢能是一定的.從模擬時所設(shè)定的參數(shù)可以看出，彈簧最終的形變量等于f／k，對應(yīng)的彈性勢能與原題答案中所用的W一致.

圖5

圖6

圖7

表1 M車＝1 000kg；M桿＝1kg，小車以不同初速度減速到0時的彈簧最終形變量

表2 M車＝10 000kg；M桿＝1kg，小車以不同初速度減速到0時的彈簧最終形變量

由此看來，我們可以以小車開始接觸彈簧到速度減為0整個階段為研究過程，仍然采用與原題答案相同的解題方法得到相同的結(jié)論.按照牛頓定律運動的輕桿和“理想輕桿”的運動在極限情況下是一致的.2012年的這道高考計算題雖然是一個涉及彈簧的老情景，但是由于出現(xiàn)了不計質(zhì)量的“輕桿”，使得整個分析過程和最終的狀態(tài)都出現(xiàn)了新的變化，這是值得我們好好分析的.