楊?lèi)?ài)峰， 楊曉琴， 胡小建

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，安徽 合肥 230009；2.合肥工業(yè)大學(xué) 過(guò)程優(yōu)化與智能決策教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230039）

基于兩貨棧和延期支付的零售商最優(yōu)訂貨和支付策略

楊?lèi)?ài)峰1，2， 楊曉琴1，2， 胡小建1，2

（1.合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，安徽 合肥 230009；2.合肥工業(yè)大學(xué) 過(guò)程優(yōu)化與智能決策教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230039）

文章假設(shè)供應(yīng)商給零售商一個(gè)延期支付期限，零售商可以選擇3種支付貨款方式，在不同的支付方式下通過(guò)對(duì)利息收益和利息支出等關(guān)鍵指標(biāo)的計(jì)算，分別建立了兩貨棧的庫(kù)存模型；通過(guò)對(duì)模型的分析和求解，得出各種支付方式下的最小周期和最小成本，零售商可以根據(jù)所得結(jié)果來(lái)判斷應(yīng)該采取哪種支付方式，以及在最優(yōu)支付方式下采取的最優(yōu)訂貨策略；最后通過(guò)算例對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，所得結(jié)果與實(shí)際相符合。

延期支付；兩貨棧；支付方式；庫(kù)存；最優(yōu)訂貨

很多庫(kù)存模型只考慮單個(gè)貨棧而且都假定該貨棧具有無(wú)限的容量，這顯然與實(shí)際不符，因?yàn)樵诂F(xiàn)實(shí)中任何貨棧的容量都是有限的。同時(shí)由于多種復(fù)雜因素的存在，零售商需要存放的物品數(shù)量超出其自有貨棧容量，在此情況下零售商需考慮是租用貨棧還是再建貨棧以滿足存儲(chǔ)的需要，通常再建貨棧的費(fèi)用大于租用貨棧的費(fèi)用，為節(jié)約成本很多零售商采用了兩貨棧庫(kù)存系統(tǒng)，一個(gè)是自有倉(cāng)庫(kù)（OW），另一個(gè)是租用倉(cāng)庫(kù)（RW），因此理論界不斷地研究?jī)韶洍Ｏ到y(tǒng)模型。文獻(xiàn)［1］首先提出了兩貨棧的庫(kù)存模型，確定了最優(yōu)訂貨量的算法；文獻(xiàn)［2］進(jìn)一步研究了允許短缺的變質(zhì)性物品的兩貨棧模型；文獻(xiàn)［3］在文獻(xiàn)［2］的基礎(chǔ)上提出了兩貨棧生產(chǎn)批量模型；文獻(xiàn)［4］研究了產(chǎn)品在變質(zhì)情況下零售商的EOQ訂貨模型；文獻(xiàn)［5－6］對(duì)需求隨時(shí)間而變化的物品，通過(guò)考慮價(jià)格折扣而將兩貨棧系統(tǒng)作了進(jìn)一步擴(kuò)展；文獻(xiàn)［7］在通貨膨脹和允許短缺的條件下討論了變質(zhì)性物品的兩貨棧系統(tǒng)。

傳統(tǒng)的交易模式中，總是一手交錢(qián)一手交貨，但是供應(yīng)商為了激勵(lì)零售商的購(gòu)買(mǎi)行為，通常會(huì)采取延期支付策略，即供應(yīng)商給予零售商一個(gè)延期支付期限（記為M），在延期支付期限內(nèi)，零售商可以積累其銷(xiāo)售收入來(lái)獲得額外的收益，若超出延期支付期限，零售商需要為庫(kù)存產(chǎn)品占用的資金支付利息。文獻(xiàn)［7－10］在允許購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用滯后支付的條件下，構(gòu)造了一系列變質(zhì)性物品的兩貨棧庫(kù)存模型，都是假設(shè)零售商在延期支付期限結(jié)束時(shí)支付所有貨款，沒(méi)有分析多種支付方式的最優(yōu)策略。另外不少學(xué)者針對(duì)單貨棧研究了最優(yōu)支付方式，文獻(xiàn)［11］在基本EOQ模型基礎(chǔ)上研究了延期支付期限與訂貨周期之間的最優(yōu)支付時(shí)間；文獻(xiàn)［12－13］在物品變質(zhì)和通貨膨脹的前提條件下研究了零售商的最優(yōu)支付時(shí)間；文獻(xiàn)［14］研究了單貨棧中2種支付方式的最優(yōu)訂貨模型。

本文在前人研究成果的基礎(chǔ)上，根據(jù)實(shí)際情況假設(shè)零售商有3種支付貨款的方式：支付方式1，零售商不在M時(shí)刻支付貨款，保持銷(xiāo)售收入及利息到訂貨周期結(jié)束T時(shí)刻支付所有貨款；支付方式2，零售商選擇在M時(shí)刻支付部分貨款，剩余貨款在T時(shí)刻支付（其中部分貨款包括到M時(shí)刻為止所售產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入及其利息收入2部分）；支付方式3，零售商選擇在M時(shí)刻支付部分貨款，M時(shí)刻后零售商實(shí)時(shí)地用所售產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入支付剩余貨款，直至支付完畢。本文在兩貨棧條件下分別討論了每種支付方式下零售商的利息收入和利息支出，從而確定了零售商訂貨的最佳周期和最小成本，因此零售商可以根據(jù)所得結(jié)果判斷采取哪種支付方式，在最優(yōu)支付方式下零售商將采用最優(yōu)庫(kù)存策略。

1 模型所用的符號(hào)和假設(shè)

本文模型所用的符號(hào)如下：D為年需求率；P為年補(bǔ)貨率，且P＞D；A為零售商每次訂貨的固定費(fèi)用；M為供應(yīng)商給予零售商的延期支付期限；s為單位產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格；c為單位產(chǎn)品的采購(gòu)成本；Ie為單位時(shí)間銷(xiāo)售收入獲得的利息收益；Ic為單位庫(kù)存單位時(shí)間的利息支出；t1為補(bǔ)貨結(jié)束時(shí)刻；t2為RW中貨物銷(xiāo)售完的時(shí)間；OW為自有貨棧，其庫(kù)存量為W；RW為租用貨棧，其容量為無(wú)限；T為補(bǔ)貨周期（決策變量）；Q為周期內(nèi)總訂貨量；ho、hr分別為OW、RW中單位商品單位時(shí)間的庫(kù)存保管費(fèi)用，且hr≥ho；I1（t）為RW、OW中補(bǔ)貨期t時(shí)刻的庫(kù)存水平，0≤t≤t1；I2（t）為OW、RW中非補(bǔ)貨期t時(shí)刻的庫(kù)存水平，t1≤t≤T；TC（T）為年總成本。

模型的主要假設(shè)如下：① 只考慮一種產(chǎn)品，且不允許缺貨；② 年需求率D為常數(shù)；③s＞c，Ic＞Ie，cIc＞sIe；④ 時(shí)間區(qū)間是無(wú)限的；⑤ 兩貨棧RW和OW的補(bǔ)貨時(shí)間是相同的，且?guī)缀鯙橥瑫r(shí)進(jìn)行（即忽略從OW到RW的運(yùn)輸時(shí)間和費(fèi)用），補(bǔ)貨時(shí)先將貨物存儲(chǔ)在OW中，當(dāng)庫(kù)存量達(dá)到容量W時(shí)，再向RW補(bǔ)貨，直到補(bǔ)貨完成；在銷(xiāo)售貨物時(shí)，先銷(xiāo)售RW中的貨物，銷(xiāo)售完后再銷(xiāo)售OW中的貨物；⑥ 本文不討論在［0，t1］期間的貨款支付，即M＞t1。

2 模型建立

基于以上假設(shè)和分析，當(dāng)Q≤W時(shí)，零售商不需要另外租用貨棧RW，所訂購(gòu)貨物可以全部存放在自有貨棧OW中，此時(shí)兩貨棧的庫(kù)存變化情況與單貨棧的庫(kù)存變化情況相同，因此將此庫(kù)存模型作為單貨棧的特殊情況，參見(jiàn)文獻(xiàn)［14］。

當(dāng)Q＞W(wǎng)時(shí)，根據(jù)OW、RW兩貨棧庫(kù)存的變化情況可分為0≤t≤t1、t1≤t≤t2和t2≤t≤T3個(gè)階段來(lái)討論，如圖1所示。

圖1 當(dāng)Q＞W(wǎng)時(shí)，RW和OW的庫(kù)存變化情況

在0≤t≤t1期間，即當(dāng)庫(kù)存水平將為0時(shí)，補(bǔ)貨立即開(kāi)始，在補(bǔ)貨期間庫(kù)存水平將以速率P－D增加，直到t＝t1時(shí)零售商的庫(kù)存量達(dá)到最大時(shí)停止補(bǔ)貨；在t1≤t≤t2期間，銷(xiāo)售RW中的貨物，在t2時(shí)刻RW中庫(kù)存變?yōu)?；在t2≤t≤T期間，銷(xiāo)售OW中的貨物，直到OW中庫(kù)存變?yōu)?。因此它們的庫(kù)存變化如下：

對(duì)（1）式、（2）式分別求解得：

因庫(kù)存水平在t1、t2點(diǎn)滿足連續(xù)性，由（3）式、（4）式可得以下等式：

分別求解可得t1＝DT／P，t2＝T－W／D。

本文的最終目標(biāo)是求得零售商的最小訂貨周期和最小成本，結(jié)合模型的分析，零售商在一個(gè)訂貨周期內(nèi)的成本函數(shù)為：

其中

年庫(kù)存費(fèi)用＝RW庫(kù)存費(fèi)用＋OW庫(kù)存費(fèi)用＝

年利息支出與年利息收益的數(shù)值依賴于零售商采用的支付方式。

2.1 支付方式1

（1）當(dāng)T≤M時(shí)，零售商不需要給供應(yīng)商支付利息，只有利息收入，如圖2所示。

年利息支出＝0，年利息收益＝sIe［Dtdt＋DTdt］／T＝sIeD（M－T／2）。

圖2 當(dāng)T≤M時(shí)的利息收益變化

（2）當(dāng)T≥M≥t2時(shí)，零售商在M時(shí)刻之前只有利息收益，在M時(shí)刻之后便有利息支出，由于剩余貨款選擇在T時(shí)刻支付，在M和T之間零售商依然可以獲得利息收益，如圖3所示。

圖3中實(shí)線部分表示利息支出變化情況，虛線部分表示利息收益變化情況。

圖3 當(dāng)T≥M≥t2時(shí)的利息支出與利息收益變化

（3）當(dāng)T＞t2≥M≥t1時(shí)，同樣零售商可以在T之前獲得利息收益，在M時(shí)刻之后支付利息，如圖4所示，圖4中實(shí)線部分表示利息支出變化情況，虛線部分表示利息收益變化情況，由于RW和OW的庫(kù)存變化不同，所以此期間的利息變化與T≥M≥t2期間的利息變化是不同的。

圖4 當(dāng)T＞t2≥M≥t1時(shí)的利息支出與利息收益變化

因此，零售商的總成本函數(shù)可總結(jié)為：

2.2 支付方式2

當(dāng)T≤M時(shí)，零售商的利息支出和利息收益與第1種支付方式相同，因此略；當(dāng)T≥M時(shí)，零售商將選擇在M點(diǎn)支付部分貨款，即M時(shí)刻前已銷(xiāo)售所得收入及其利息收入之和，即部分貨款＝sDM＋sIeDM2／2。

圖5 當(dāng)cQ－sDM－sIeDM2／2≤0時(shí)的利息收益變化

（2）如果零售商在M時(shí)刻的所有銷(xiāo)售收入及其利息收入不能還清所有貨款，在M時(shí)刻將用其已有的所有收入支付部分貨款，剩余貨款在T時(shí)刻支付，那么在M到T時(shí)刻，零售商還有部分的利息支出，同時(shí)還可以重新獲得部分利息收入，如圖6所示。

圖6 當(dāng)cQ－sDM－sIeDM2／2＞0時(shí)利息支出與利息收益變化

圖6中實(shí)線部分表示利息支出變化情況，虛線部分表示利息收益變化情況。即當(dāng)cQ－sDM－sIeDM2／2＞0時(shí)，有

因此，零售商的總成本函數(shù)可總結(jié)為：

2.3 支付方式3

（1）當(dāng)T≤M時(shí)，零售商的利息支出與利息收益與支付方式1相同，因此略。

（2）當(dāng)T≥M時(shí)，且cQ－sDM－sIeDM2／2≤0時(shí)，零售商的利息支出與利息收益與支付方式2相同，因此略。

（3）當(dāng)T≥M時(shí)，且cQ－sDM－sIeDM2／2＞0時(shí)，零售商將選擇在M點(diǎn)支付部分貨款，同時(shí)零售商根據(jù)未付的剩余貨款額及銷(xiāo)售收入和利息支出情況，可以確定能夠支付完所有貨款的時(shí)刻K，那么K時(shí)刻之后零售商銷(xiāo)售所得收入都將為純利潤(rùn)，同時(shí)還有新的利息收入，不需要支付利息，如圖7所示，圖7中實(shí)線部分表示利息支出變化情況，虛線部分表示利息收益變化情況。即由＝sD（K－M），得K＝（2cQ－sIeDM2）／2sD。

因此，零售商的總成本函數(shù)可總結(jié)為：

3 模型的求解與分析

（1）對(duì)（5）式進(jìn)行一階、二階求導(dǎo)，可得：

因?yàn)門(mén)C1″（T）＞0，即TC1（T）是關(guān)于T的凸函數(shù)，所以TC1（T）在（0，M）內(nèi)存在唯一最小值點(diǎn)。令TC1′（T）＝0，求得：

同時(shí)為保證T1≤M，可得：Δ1＝M2（hrD2δ＋sIeD2）－2AD－（2hr－h(huán)o）W2≥0，即當(dāng)Δ1≥0時(shí)，T1是零售商的最小訂貨周期。

（2）對(duì)（6）式進(jìn)行一階、二階求導(dǎo)，可得：

因?yàn)門(mén)C2″（T）＞0，即TC2（T）是關(guān)于T的凸函數(shù)，所以TC2（T）在（M，＋∞）內(nèi)存在唯一最小值。令TC2′（T）＝0，求得：

同時(shí)由T2≥M，可得：

即當(dāng)Δ1＜0≤Δ2時(shí)，T2是零售商的最小訂貨周期。

（3）對(duì)（7）式進(jìn)行一階、二階求導(dǎo)，可得：

因?yàn)門(mén)C3″（T）＞0，即TC3（T）是關(guān)于T的凸函數(shù)，所以TC3（T）在（t2，＋∞）內(nèi)存在唯一最小值。

令TC3′（T）＝0，求得：

同時(shí)由于（T3－M）－Δ2＝2cIc［W2＋WM］＞0，即當(dāng)Δ2＜0時(shí)，T3是零售商的最小訂貨周期。

（4）對(duì)（8）式進(jìn)行一階、二階求導(dǎo)，可得：

因?yàn)門(mén)C4″（T）＞0，即TC4（T）是關(guān)于T的凸函數(shù)，所以TC4（T）在 （M，sM／c＋sIeM2／2c） 內(nèi)存在唯一最小值。令TC4′（T）＝0，求得：

同時(shí)由T4≤sM／c＋sIeM2／（2c），可得：

即當(dāng)Δ1＜0≤Δ3時(shí)，T4是零售商的最小訂貨周期。

（5）對(duì)（9）式進(jìn)行一階、二階求導(dǎo)，可得：

因?yàn)門(mén)C5″（T）＞0，即TC5（T）是關(guān)于T的凸函數(shù)，所以TC5（T）在 （sM／c＋sIeM2／2c，＋∞）內(nèi)存在唯一最小值。令TC5′（T）＝0，求得：

其中，X＝2AD＋（2hr－h(huán)o）W2＋sIcIeD2M3＋2s（Ic－Ie）D2M2；Y＝hrD2δ＋2cIcD2－sIeD2。

同時(shí) 由T5≥ （sM／c＋sIeM2／2c），可 知 當(dāng)Δ3＜0時(shí)，T5是零售商的最小訂貨周期。

（6）對(duì)（10）式進(jìn)行一階、二階求導(dǎo)，可得：

因?yàn)門(mén)C6″（T）＞0，即TC6（T）是關(guān)于T的凸函數(shù)，所以TC6（T）（在（2cT－sIeM2）／2s，＋∞）內(nèi)存在唯一最小值。令TC6′（T）＝0，求得：

即當(dāng)Δ3＜0且Δ4≥0時(shí)，T6是零售商的最小訂貨周期。

4 分析結(jié)論

（1）在支付方式1下，當(dāng)Δ1≥0時(shí)，最小周期T＊＝T1，零售商的最小成本為T(mén)C1（T1）；當(dāng)Δ1＜0≤Δ2時(shí)，最小周期T＊＝T2，零售商的最小成本為T(mén)C2（T2）；當(dāng)Δ2＜0時(shí)，最小周期T＊＝T3，零售商的最小成本為T(mén)C3（T3）。

（2）在支付方式2下，當(dāng)Δ1≥0時(shí)，最小周期T＊＝T1，零售商的最小成本為T(mén)C1（T1）；當(dāng)Δ1＜0≤Δ3時(shí)，最小周期T＊＝T4，零售商的最小成本為T(mén)C4（T4）；當(dāng)Δ3＜0時(shí)，最小周期T＊＝T5，零售商的最小成本為T(mén)C5（T5）。

（3）在支付方式3下，當(dāng)Δ1≥0時(shí)，最小周期T＊＝T1，零售商的最小成本為T(mén)C1（T1）；當(dāng)Δ1＜0≤Δ3時(shí)，最小周期T＊＝T4，零售商的最小成本為T(mén)C4（T4）；當(dāng)Δ3＜0且Δ4≥0時(shí)，最小周期T＊＝T6，零售商的最小成本為T(mén)C6（T6）。

5 算 例

設(shè)某零售商訂購(gòu)某商品，根據(jù)歷史銷(xiāo)售數(shù)據(jù)知該物品的采購(gòu)價(jià)格為c＝10，市場(chǎng)銷(xiāo)售價(jià)格為s＝15，物品的補(bǔ)貨率P＝6 000，OW 中ho＝0.7，RW 中hr＝1，Ic＝0.08，Ie＝0.03，若供應(yīng)商給予零售商的購(gòu)買(mǎi)費(fèi)用延期支付期M＝0.5。

根據(jù)W、A和D的變化情況，可得表1所列的數(shù)據(jù)，分別來(lái)判定最優(yōu)支付方式、最優(yōu)周期和最優(yōu)訂貨量，以及最小成本。

由表1可知，隨著需求量D的不斷增加，零售商的訂貨周期不斷在下降，訂貨庫(kù)存量不斷地增加，同時(shí)降低了零售商的總成本，增加了利潤(rùn)收益。從3種不同的支付方式可以看出，支付方式1的訂貨周期較長(zhǎng)，但訂貨成本較小，庫(kù)存較大；支付方式2和支付方式3在需求量較低時(shí)差別比較明顯，需求量大時(shí)，由于周期比較短，所以差別不明顯?？傊?，3種支付方式各有優(yōu)勢(shì)，不同的需求和庫(kù)存量情況下，它們的最優(yōu)值是不同的。為了使得整個(gè)訂貨周期內(nèi)的庫(kù)存變化達(dá)到最優(yōu)，零售商先通過(guò)判定條件來(lái)選擇最優(yōu)支付方式，再計(jì)算最佳周期和成本量是很有效的方法。

表1 W、A和D的變化對(duì)最優(yōu)訂貨與最優(yōu)支付策略的影響

6 結(jié)束語(yǔ)

在供應(yīng)商給予零售商延期支付的條件下，如果零售商僅僅考慮支付貨款的某一種方式，不一定就能達(dá)到最優(yōu)訂貨量和最小訂貨周期，因?yàn)樵诓煌淖兞亢鸵蛩氐挠绊懴拢闶凵痰淖顑?yōu)訂貨和付款策略是不一樣的，因此，零售商為了使自己的成本最小化，收益最大化，可根據(jù)本文所給出的判斷條件來(lái)確定一種最佳支付方式，確定最小訂貨周期和最小成本，得到最優(yōu)訂貨策略，這對(duì)零售商具有很大的意義。

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Retailer’s optimal ordering and payment strategy under two－warehouse and permissible delay of payment

YANG Ai－feng1，2， YANG Xiao－qin1，2， HU Xiao－jian1，2
（1.School of Management，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China；2.Key Laboratory of Process Optimization and Intelligent Decision Making of Ministry of Education，Hefei University of Technology，Hefei 230009，China）

It is assumed that the supplier offers the retailer a delay payment period and the retailer can select one of three kinds of payment methods.After calculating some critical indices of the interest income and interest expenses under different payment methods，the two－warehouse inventory model is established.By analyzing and solving the model，the minimal cycle time and cost are obtained.So the retailer can determine which kind of payment way to adopt，and the corresponding optimal ordering strategy as well.Finally，a numerical example is conducted to verify the model，and the results accord with the actual situation.

delay in payment；two－warehouse；payment method；inventory；optimal ordering

F252

A

1003－5060（2013）02－0236－07

10.3969／j.issn.1003－5060.2013.02.023

2012－07－16；

2012－10－29

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（70971035）；安徽省軟科學(xué)計(jì)劃資助項(xiàng)目（12020503075）

楊?lèi)?ài)峰（1976－），女，河南濮陽(yáng)人，博士，合肥工業(yè)大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師；

胡小建（1965－），男，安徽安慶人，博士，合肥工業(yè)大學(xué)教授，碩士生導(dǎo)師.

（責(zé)任編輯 張 镅）