李 慧， 王亞楠， 杜永峰

（1.蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所，甘肅 蘭州 730050；2.蘭州理工大學(xué) 西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，甘肅 蘭州730050）

平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)下TMD－基礎(chǔ)隔震混合控制體系的減震效果分析

李 慧1，2， 王亞楠1， 杜永峰1，2

（1.蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所，甘肅 蘭州 730050；2.蘭州理工大學(xué) 西部土木工程防災(zāi)減災(zāi)教育部工程研究中心，甘肅 蘭州730050）

文章對(duì)隨機(jī)地震激勵(lì)下TMD－基礎(chǔ)隔震混合控制體系的減震效果進(jìn)行了研究，建立了混合控制體系的運(yùn)動(dòng)方程，運(yùn)用狀態(tài)空間法求解該混合控制體系的隨機(jī)響應(yīng)，得到體系各層的響應(yīng)功率譜和響應(yīng)均方根值；給出了在上部結(jié)構(gòu)位移最優(yōu)化條件下求解體系中TMD最優(yōu)參數(shù)的計(jì)算表達(dá)式；通過(guò)與基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)對(duì)比分析了該混合控制體系的減震效果。分析結(jié)果表明：混合控制體系在使隔震層位移得到減小的同時(shí)，可以更有效地控制上部結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)；對(duì)于位于不同場(chǎng)地上的結(jié)構(gòu)，該混合控制體系仍能發(fā)揮一定的減震效果。

混合控制體系；隨機(jī)響應(yīng)；優(yōu)化；功率譜；均方根

基礎(chǔ)隔震作為一種有效的減震技術(shù)，能夠減小上部結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng)，但是當(dāng)隔震結(jié)構(gòu)遭受強(qiáng)地震動(dòng)時(shí)，隔震層將發(fā)生很大的變形，嚴(yán)重者甚至?xí)鸶粽饓|的破壞［1－2］。

目前經(jīng)常采用的手段主要有2種：

（1）在隔震層增設(shè)阻尼器，通過(guò)阻尼器的耗能作用來(lái)減小隔震層大的位移。

（2）為了防止隔震墊的水平位移超過(guò)其變形極限，導(dǎo)致隔震墊拉裂、失穩(wěn)等現(xiàn)象的發(fā)生而在隔震層設(shè)置限位器來(lái)對(duì)隔震層的最大位移進(jìn)行限制。

這些措施雖然可以減小隔震層的位移，但往往會(huì)導(dǎo)致上部結(jié)構(gòu)層間位移和加速度的增大。

將TMD與基礎(chǔ)隔震聯(lián)合起來(lái)進(jìn)行控震是一種非常有效的方式，它很好地利用了在地震作用下基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)主要表現(xiàn)為一階振型的平動(dòng)和TMD能夠調(diào)諧結(jié)構(gòu)某一特定頻率的特點(diǎn)［3－4］，這一思想最早由文獻(xiàn)［5］提出，并對(duì)體系的減震效果進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［6］在Benchmark模型的基礎(chǔ)上研究了該混合控制策略的有效性。上述研究均以確定性地震動(dòng)作為輸入來(lái)求解結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，而目前關(guān)于該混合控制體系隨機(jī)響應(yīng)分析的研究并不多。實(shí)際上由于斷層機(jī)制、震源特點(diǎn)、傳播途徑等因素的不確定性，地震動(dòng)具有強(qiáng)烈的隨機(jī)性［7］，因此在研究該混合控制體系的減震效果時(shí)，對(duì)其進(jìn)行隨機(jī)響應(yīng)分析能更好地反映響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性，求解得到的結(jié)果也更為合理。

本文采用文獻(xiàn)［8］的功率譜模型來(lái)描述隨機(jī)地震動(dòng)加速度的功率譜，考慮到體系的阻尼為非比例阻尼，采用狀態(tài)空間法并通過(guò)Matlab編程求解結(jié)構(gòu)的隨機(jī)地震響應(yīng)，并與基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比來(lái)研究該混合控制體系的減震效果，最后研究了場(chǎng)地頻率的變化對(duì)體系減震效果的影響。

1 混合控制體系的隨機(jī)地震響應(yīng)

1.1 運(yùn)動(dòng)方程的建立

以圖1所示的TMD－基礎(chǔ)隔震混合控制體系為研究對(duì)象，用集中質(zhì)量法將該體系離散化為一串聯(lián)多自由度體系，建立其在水平地震動(dòng)作用下的運(yùn)動(dòng)方程：

其中，Y為結(jié)構(gòu)各層相對(duì)于地面的位移列向量為輸入地震動(dòng)；I為輸入地震動(dòng)的位置向量；M、C、K分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，表示如下：

其中，mb為隔震層質(zhì)量，m1至mn為上部結(jié)構(gòu)各樓層質(zhì)量，mt為T(mén)MD質(zhì)量；cb為隔震層阻尼系數(shù)，c1至cn為上部結(jié)構(gòu)各樓層阻尼系數(shù)，ct為T(mén)MD的阻尼系數(shù)；kb為隔震層剛度，k1至kn為上部結(jié)構(gòu)各樓層剛度，kt為T(mén)MD的剛度。

圖1 混合控制體系模型

1.2 隨機(jī)地震響應(yīng)的求解

由于混合控制體系的阻尼為非比例阻尼，導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)方程不能解耦，因此采用狀態(tài)方程進(jìn)行求解。通過(guò)定義新的變量將運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)換為狀態(tài)方程，表示如下：

假設(shè)體系的初始條件為Z（0）＝0，對(duì)狀態(tài)方程的兩邊進(jìn)行傅里葉變換即可求得體系的頻率響應(yīng)函數(shù)，表示如下：

其中，h（t）為混合控制體系的脈沖響應(yīng)函數(shù)。

在平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的作用下，運(yùn)用隨機(jī)振動(dòng)理論可以得到體系的狀態(tài)響應(yīng)譜密度［9］：

進(jìn)一步可求得體系各狀態(tài)變量的均方反應(yīng)為：

2 混合控制體系中TMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)

已有的研究表明，在地震動(dòng)作用下隔震結(jié)構(gòu)的變形主要集中在隔震層，為了便于研究TMD的最優(yōu)參數(shù)，將隔震層以上主體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為單自由度，將TMD看作一個(gè)自由度，于是形成了一個(gè)簡(jiǎn)化的兩自由度體系。

采用圖2所示兩自由度簡(jiǎn)化分析模型對(duì)TMD的最優(yōu)參數(shù)進(jìn)行研究。圖中ms和mT分別為體系中主結(jié)構(gòu)（隔震結(jié)構(gòu)）和子結(jié)構(gòu)（TMD）的質(zhì)量；cs和cT分別為主結(jié)構(gòu)和子結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)；ks和kT分別為主結(jié)構(gòu)和子結(jié)構(gòu)的水平向剛度。

圖2 混合控制體系簡(jiǎn)化分析模型

為了衡量TMD的減震效果，定義一減震系數(shù)Rs（混合控制體系與基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的上部結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方值的比值）。當(dāng)系數(shù)Rs小于1時(shí)，說(shuō)明與原結(jié)構(gòu)相比混合控制體系上部結(jié)構(gòu)的位移得到了衰減，系數(shù)表達(dá)式如下［10－11］：

其中，E［］為有TMD時(shí)主結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)均方值；E［］為無(wú)TMD時(shí)主結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)均方值。

當(dāng)結(jié)構(gòu)遭受功率譜密度為S0的平穩(wěn)隨機(jī)地震激勵(lì)時(shí)，根據(jù)前述混合控制體系隨機(jī)地震響應(yīng)的求解過(guò)程，可以得出（7）式和（8）式中E［］和E［］的表達(dá)式：

將（7）式與（8）式代入（6）式，得到減震系數(shù)Rs的詳細(xì)表達(dá)式如下：

其中，ξs為主結(jié)構(gòu)的阻尼比，ξT為子結(jié)構(gòu)的阻尼比；μ為子結(jié)構(gòu)和主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比；f為子結(jié)構(gòu)和主結(jié)構(gòu)的頻率比。

對(duì)于具體的隔震結(jié)構(gòu)，其隔震層的阻尼比ξs是已知的，質(zhì)量比μ通常也是事先給定的，其變化范圍為1%～5%，于是減震系數(shù)Rs就轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于ξT和f的函數(shù)。假定ξs＝0.05，μ＝0.01，根據(jù)（9）式繪制出系數(shù)Rs與ξT和f的關(guān)系圖，如圖3所示，從圖中可以看出存在某一確定的ξT和f值使減震系數(shù)Rs達(dá)到最小，即TMD的減震效果達(dá)到最佳。

圖3 減震系數(shù)與TMD參數(shù)的關(guān)系

采用優(yōu)化設(shè)計(jì)中一般非線性規(guī)劃問(wèn)題的求解方法來(lái)求解圖3中ξT和f的最優(yōu)值，該最優(yōu)化問(wèn)題的表達(dá)式如下：

其中，［a，b］為f的取值范圍；［c，d］為ξT的取值范圍。

3 混合控制體系減震效果分析

本文以某主體結(jié)構(gòu)為8層的混合控制體系為研究對(duì)象，各層質(zhì)量mi＝2.3×105kg（i＝1，2，…，8）；各層剛度ki＝3.9×108N／m（i＝1，2，…，8）；隔震層質(zhì)量mb＝3.3×105kg；隔震層剛度kb＝1.9×107N／m；TMD 的質(zhì)量mt＝2.17×104kg，即μ＝0.01；通過(guò)前述TMD最優(yōu)參數(shù)的求解公式，通過(guò)Matlab編程求解得到ξT＝0.05，f＝0.97。

在求解體系的隨機(jī)地震響應(yīng)時(shí)，采用文獻(xiàn)［9］建議的功率譜模型，該模型表達(dá)式如下：

其中，參數(shù)的取值參考文獻(xiàn)［12］，選取中硬場(chǎng)地土參數(shù)wg＝15.6rad／s；ξg＝0.06。

S0的取值根據(jù)Key D建議的公式［9］，由所需的最大加速度值（與規(guī)范烈度相聯(lián)系）反算得到，表達(dá)如下：

由（13）式和（14）式，當(dāng)取amax＝400m／s2時(shí)得到輸入地震動(dòng)加速度的功率譜密度如圖4所示。

圖4 輸入地震動(dòng)加速度功率譜

根據(jù)上述對(duì)建立體系運(yùn)動(dòng)方程及求解隨機(jī)響應(yīng)過(guò)程的描述，用Matlab進(jìn)行編程并分別求解基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)和混合控制體系各層響應(yīng)的功率譜和均方值。圖5所示為基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)與混合控制體系的隔震層位移功率譜密度比較圖，圖6所示為基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)與混合控制體系的頂層加速度功率譜密度比較圖。從圖5和圖6可以看出，2種結(jié)構(gòu)的位移和加速度功率譜密度峰值均位于基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的一階自振頻率附近；與基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)相比，混合控制體系的隔震層位移功率譜峰值以及上部結(jié)構(gòu)頂層加速度功率譜峰值都大大地減小了，這表明混合控制體系具有更為明顯的減震效果。

圖5 隔震層位移功率譜密度的比較

圖6 頂層加速度功率譜密度的比較

圖7所示為基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)和混合控制體系各層位移響應(yīng)均方根比較圖，圖8所示為基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)和混合控制體系各層加速度響應(yīng)均方根比較圖。從圖7和圖8可以看出與基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)相比，混合控制體系的各層位移均方根響應(yīng)和加速度均方根響應(yīng)都有了顯著地減小。

圖7 各樓層位移均方根值的比較

圖8 各樓層加速度均方根的比較

圖9所示為場(chǎng)地卓越頻率對(duì)混合控制體系隔震層位移控制效果的影響，圖10所示為場(chǎng)地頻率對(duì)混合控制體系頂層加速度減震效果的影響。從圖9和圖10可以看出，當(dāng)結(jié)構(gòu)自振頻率位于場(chǎng)地頻率附近時(shí)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)最大，但減震效果也最好，這是由于場(chǎng)地的濾波效應(yīng)在引起結(jié)構(gòu)共振的同時(shí)也更好地激起TMD的運(yùn)動(dòng)，場(chǎng)地的其余低頻和高頻部分次之，但都表現(xiàn)出了一定的減震效果。

圖9 場(chǎng)地土頻率與隔震層位移均方根關(guān)系

圖10 場(chǎng)地土頻率與頂層加速度均方根關(guān)系

4 結(jié) 論

（1）采用隨機(jī)振動(dòng)理論與優(yōu)化設(shè)計(jì)相結(jié)合的方法能夠很好地解決關(guān)于混合控制體系減震效果研究的問(wèn)題。

（2）與隔震結(jié)構(gòu)相比，混合控制體系隔震層的位移得到了控制，減小了強(qiáng)震作用下因隔震層位移過(guò)大而導(dǎo)致隔震墊破壞的概率；同時(shí)上部結(jié)構(gòu)的響應(yīng)也得到了更有效的控制。

（3）場(chǎng)地頻率對(duì)混合控制體系的減震效果有一定的影響，但即使在這種影響下該混合控制體系的減震效果仍會(huì)保持在一定的范圍內(nèi)。

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Effectiveness analysis of TMD－base isolation hybrid control system under stationary stochastic seismic excitation

LI Hui1，2， WANG Ya－nan1， DU Yong－feng1，2
（1.Institute of Earthquake Protection and Disaster Mitigation，Lanzhou University of Technology，Lanzhou 730050，China；2.Western Center of Disaster Mitigation in Civil Engineering of Ministry of Education，Lanzhou University of Technology，Lanzhou 730050，China）

The vibration control effectiveness of the TMD－base isolation hybrid control system under stationary stochastic seismic excitation is studied.The motion equation of the hybrid control system is established，the stochastic response of the hybrid control system is solved by using the state－space method，and the power spectrum density and root－mean－square of the hybrid control system seismic response are obtained.The computation expression used in solving the TMD optimum parameters under the superstructural displacement optimization condition is given，and the vibration control effectiveness of the hybrid control system is analyzed and compared with base isolation structure.The analysis results indicate that the hybrid control system can reduce the displacement of isolation layer and control the superstructural seismic response more effectively，and the hybrid control system still behaves well when located on different site soil.

hybrid control system；stochastic response；optimization；power spectrum；root－meansquare

TU311.3

A

1003－5060（2013）02－0187－05

10.3969／j.issn.1003－5060.2013.02.013

2012－09－07；

2012－10－22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（50978130）

李 慧（1954－），女，甘肅天水人，蘭州理工大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師；

杜永峰（1962－），男，甘肅正寧人，博士，蘭州理工大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師.

（責(zé)任編輯 馬國(guó)鋒）