李 森，李長會，劉 寧，楊 昊

（61365部隊，天津300140）

0 引 言

GNSS導航定位的誤差取決于觀測量的精度和接收機—衛(wèi)星幾何分布的情況，精度衰減因子GDOP描述了接收機與可視衛(wèi)星間的幾何分布關系，反映了由于衛(wèi)星幾何關系的影響造成的偽距測量誤差與目標位置誤差的比例系數［1]，是衡量衛(wèi)星定位精度的一個重要指標。幾何分布越好，GDOP值就越小，定位精度就越高。因此為了提高GNSS導航定位的精度，應使GDOP值最?。?－3]。

文獻［4－6]給出了GDOP 值與接收機和衛(wèi)星組成的多面體體積之間的關系，但是未對GDOP的最小值進行分析；文獻［7]對GPS定位中的GDOP進行了分析，推導出了利用4顆衛(wèi)星導航定位時，GDOP的最小值為；文獻［1]經過分析發(fā)現文獻［7]給出的最小值是不能達到的，并利用矩陣的特征值推導出GDOP的理論最小值為文獻［8]［9]從不同角度得到了與文獻［1]相同的GDOP理論最小值及其計算公式。以上文獻在GDOP最小值討論方面均有一定的參考價值。但是分析發(fā)現文獻［8]和［9]給出的GDOP最小值計算方法是從純數學角度推導的，沒有考慮到接收機不能接收地平線以下衛(wèi)星信號的情況。文獻［10]也指出在衛(wèi)星導航定位中，接收機通常只能接收衛(wèi)星高度截止角大于零的衛(wèi)星信號，在實際中上述理論最小值不能達到，但文獻［10]并沒有給出實際GDOP最小值的求解方法。

對現有文獻中GDOP最小值的計算方法進行了討論，分析和給出了其計算GDOP最小值的不合理原因；從實際情況出發(fā)，對GDOP最小值的求解重新進行了分析和推導，得到了GDOP最小值的計算方法，并給出了GDOP值達到最小時的衛(wèi)星空間幾何分布情況；最后給出了仿真和實測算例，驗證了本文推導方法和結果的正確性。

1 現有GDOP最小值計算方法的分析

1.1 GDOP的定義

接收機至衛(wèi)星i在歷元tk時刻的偽距觀測方程為

式中：ρ為偽距觀測值；D為測站至衛(wèi)星的幾何距離；c為真空中光速；δti，δt為接收機與衛(wèi)星鐘差；dion為電離層延遲；dtro為對流層延遲；ε為未模型化的殘余誤差項及觀測噪聲。

在接收機的概略位置ˉrtro＝（x0y0z0）T處泰勒展開，忽略二階以上的小量，得到觀測n（n≥4）顆衛(wèi)星的觀測方程為

式中：X＝（δxδyδz b）T為待估向量；（δxδyδz b）T為位置改正量；b為接收機鐘差等效距離參數；為n×4的列滿秩系數矩陣；ei＝（exi，eyi，ezi）為接收機指向第i顆可視衛(wèi)星的方向余弦，滿足｜ei｜＝1，即ei（i＝1，2，…，n）均位于單位球面上；L為n×1觀測向量，其權陣為單位矩陣；ε為n×1隨機誤差向量。

模型（2）中X的最小二乘解為

其協方差陣為Q＝σ20（HTH）－1，其中σ0為未知的單位權中誤差，

則 GDOP＝［tr（HTH）－1]1／2其中tr（HTH）－1表示矩陣（HTH）－1的跡。

GDOP表征了接收機和可視衛(wèi)星在空間的幾何分布情況。GDOP值最小，則接收機和衛(wèi)星的空間幾何分布最佳，定位精度最高。另外，隨著可視衛(wèi)星數目的增加，GDOP的最小值不斷減少，即可視衛(wèi)星數目越多，GDOP 值越小，定位精度越高［9－10]。

1.2 現有GDOP最小值計算方法的分析

由條件｜ei｜＝1，i＝1，2，…n，可知矩陣HTH的跡為

即

當λi（i＝1，2，3）相等時式（6）的等號成立且當λ4＝n時，獲得最小值文獻［9]在條件下得到了同樣的GDOP最小值。但是這個最小值的獲取有一個前提就是要求HTH為對角矩陣，即需要同時滿足以下條件

由于參與導航定位解算的衛(wèi)星均應為地平面上方的可視衛(wèi)星，則所有衛(wèi)星與z軸的夾角介于0和之間，故要求e＞0，i＝1，2，…，n.這與條件zi相矛盾，所以矩陣HTH不能為對角矩陣。故上述GDOP最小值是數學意義上的最小值，而不是測量意義上的最小值。

2 GDOP最小值的理論推導

推導GDOP的最小值，需要在滿足ezi＞0，i＝1，2，…，n的條件下進行，此時HTH不再是對角矩陣。經過分析，給出如下結論：

證明：因H為列滿秩矩陣，則HTH是正定矩陣，故C、D也是正定矩陣。即，在矩陣偏序意義下滿足C＞0、D＞0.

由分塊矩陣的求逆法可知

由于C、D為正定矩陣，故UD－1UT和UTC－1U 均半正定，即

且當僅當U＝0時上式等號成立。故

進而得

因此

且當僅當U＝0時上式等號成立，證畢。

U＝0要求條件

同時成立，故求解GDOP最小值的問題轉化為尋找滿足上述條件的（exi，eyi，ezi），i＝1，2，…，n.獲得方程（13）的解析解比較困難，根據上述條件和衛(wèi)星在空間分布越分散GDOP值越小的要求，當n＝4時，可構造一族解如下所示：

經過分析可以發(fā)現，這一組解不但滿足上述條件式（13），而且滿足故此時矩陣為C對角矩陣。這一族解有明確的幾何意義：接收機與4顆衛(wèi)星組成一個對稱的六面錐，中心與Z軸重合，接收機在錐尖位置，4顆衛(wèi)星不在與XOY平行的平面上，這個六面錐投影在XOY平面上是一個菱形。如果α＝β，則4顆衛(wèi)星在與XOY平行的平面上，接收機與4顆衛(wèi)星組成一個以正方形為底的五面錐，但此時系數矩陣H奇異，這樣的解不可取。

將這一族解代入到矩陣HTH中，得到GDOP最小值的計算公式為

根據上式可以方便地利用數值法得到GDOP的最小值。

當n＝5時，可構造一族解為

相應地，GDOP最小值的計算公式為

此時在n＝4的基礎上，增加的第5顆衛(wèi)星在接收機正上方，即位于Z軸正上方的位置，此時GDOP值亦達到最小。

3 仿真與分析

算例1：為了驗證本文推導出的GDOP理論最小值的正確性，以4顆、5顆可視衛(wèi)星為例進行仿真分析。分別按下列三種方案計算相應的GDOP最小值，計算結果如表1所示。

1）用該方法計算得到GDOP的最小值，記為GDOPmin1.

3）根據美國JPL噴氣動力實驗室網站提供的衛(wèi)星軌道根數等數據，不考慮各種誤差的影響，采用外推法計算GDOP的最小值。這個GDOP最小值應該是相對真實的，記為GDOPtrue.

表1 三種方案得到的GDOP最小值

算例2：為了進一步驗證本文結果的正確性，利用XW－GPS1000接收機在鄭州市區(qū)采集一天的GPS靜態(tài)數據，采樣周期為1s，分析處理后可以得到GDOP值隨可視衛(wèi)星數變化的曲線如圖1所示。

圖1 衛(wèi)星GDOP值變化曲線

由圖1可以看出，對于GPS衛(wèi)星導航系統(tǒng)，由于受衛(wèi)星數目和衛(wèi)星軌道長時間變化的限制及觀測時衛(wèi)星高度截止角的影響，可視衛(wèi)星數為4、5時，GDOP 最小值分別為3.492、2.430，比理論推導的GDOP最小值大的多。

4 結 論

對GNSS導航定位中GDOP最小值的計算方法進行了分析，得到了以下結論：

1）在導航定位中，接收機通常只能觀測到衛(wèi)星高度截止角大于0的衛(wèi)星，因此相關文獻給出的GDOP理論最小值是不合理的，也是不能達到的；

2）對GDOP最小值進行了重新分析和推導，得出當接收機在n顆衛(wèi)星的空間幾何分布滿足一定條件時，GDOP達到最小值，并利用數值法得到了4顆、5顆可視衛(wèi)星對應的GDOP最小值；

3）隨著GNSS的發(fā)展，當多個衛(wèi)星導航系統(tǒng)組合導航定位時，隨著衛(wèi)星數目的增加，衛(wèi)星的空間幾何分布會得到較大的改善，GDOP值將達到較小；

4）此研究成果可以為星座設計、導航定位精度分析等提供一定的理論參考。

［1]盛 琥，楊景曙，曾芳玲.偽距定位中的GDOP最小值［J].火力與指揮控制，2009，34（5）：22－24.

［2]王澤民，伍 岳.GPS、Galileo及其組合導航定位的DOP值分析［J].武漢大學學報·信息科學版，2006，31（1）：9－11.

［3]張育林，范 麗，張 艷，等.衛(wèi)星星座理論與設計［M].北京：科學出版，2008.

［4]叢 麗，談展中.衛(wèi)星導航幾何因子的分析與仿真［J].電子學報，2006，34（12）.2204－2208.

［5]叢 麗，談展中.提高衛(wèi)星導航定位精度和實時性的選星算法［J].系統(tǒng)工程與電子技術，2008，30（10）.1914－1917.

［6]YANG Yong，MIAO Lingjuan.GDOP results in allin－view positioning and in four optimum satellites positioning with GPS PRN codes ranging［C]／／IEEE Position Location and Navigation Symposium，2004：723－727.

［7]SAIRO H，AIRO H，AKOPIAN D，et al.Weighted dilution of precision as quality measure in satellite positioning［J].IEEE Radar，Sonar and Navigation，2003，150（6）：430－436.

［8]李建文，李作虎，周 巍，等.衛(wèi)星導航中幾何精度衰減因子最小值分析及應用［J].測繪學報，2011，40（增刊），85－89.

［9]何曉峰.北斗／微慣性組合導航方法研究［D].長沙：國防科學技術大學，2009.

［10]譚述森.衛(wèi)星導航定位工程［M].北京：國防工業(yè)出版社，2007.