張麗琴，張金鋒，徐士濤，尹新國

（淮北師范大學 物理與電子信息學院，安徽 淮北 235000）

基于無限長均勻帶電圓柱殼產(chǎn)生的靜電場的探討

張麗琴，張金鋒，徐士濤，尹新國

（淮北師范大學 物理與電子信息學院，安徽 淮北 235000）

靜電場是物理學中重要內容之一，本文主要通過靜電場高斯定理、電勢的定義式計算了無限長均勻帶電圓柱殼的電場強度及電勢的分布，最后通過討論得到無限長均勻帶電圓柱面、無限長均勻帶電圓柱體的電場強度及電勢.本文可有助于學生對靜電場高斯定理的理解及應用，并加深對電場強度、電勢計算方法的掌握.

靜電場；無限長；均勻帶電；圓柱殼；高斯定理

眾所周知，靜電場的高斯定理說明靜電場是有源場，而安培環(huán)路定理又說明它是無旋場，即靜電場是有源無旋的保守力場[1-2].一般帶電體電場強度主要利用電場強度的疊加原理來計算，文獻[3-5]指出對于一些具有高度對稱性的帶電體通常利用靜電場的高斯定理計算比較簡單.關于靜電場電勢的計算有很多種方法，主要利用電勢的疊加原理或者電勢的定義式l進行計算[6-7].本文主要利用高斯定理計算了無限長均勻帶電圓殼的電場強度，并利用電勢的定義式計算其電勢分布，最后通過討論得到無限長均勻帶電圓柱體及無限長均勻帶電圓柱面的電場強度及電勢分布.

1 無限長均勻帶電圓柱殼產(chǎn)生的電場強度

真空中有一個無限長均勻帶電圓柱殼，內部是空腔，圓柱殼內外半徑分別為R1和R2，電荷的線密度仍為λ，其截面如圖1所示，A、B、C三點代表rR2三個不同的區(qū)域.

圖1 無限長均勻帶電圓柱殼的截面圖

分析 由于帶電體的電荷分布具有高度的軸對稱性，可知電場強度也具有軸對稱性，可知電場場強的方向與圓柱面的中心軸垂直.過A、B、C三點分別做半徑為rA、rB、rC，高為L的同軸心閉合圓柱高斯面，如圖1所示，則電場場強的方向也與高斯面的側面垂直，而與高斯面的上下底面平行.

當R1

同理可知當r

當r≥R2時

令R2=3R1，由此可得，無限長均勻帶電圓柱殼的的電場強度大小分布情況如圖2所示：

圖2 無限長均勻帶電圓柱殼所激發(fā)電場強度示意圖

2 無限長均勻帶電圓柱殼產(chǎn)生的電勢

在計算電勢之前必須先規(guī)定電勢零點，為了計算方便起見，電勢零點選在帶電圓柱殼的外表面上

當r

利用公式（1）、（2）可得

當R0≤r

當r≥3 R1時，利用公式（3）得

令R2=3R1，則無限長均勻帶電圓柱殼產(chǎn)生的電勢分布曲線如圖3所示：

圖3 無限長均勻帶電圓柱殼的電勢分布曲線

3 討論與推廣

當R0→0時，無限長均勻帶電圓柱殼的空腔縮為一線，即圓柱殼就變成半徑為R2圓柱體.將R0→0帶入公式（1）、（3）、（5）、（6）得，無限長均勻帶電圓柱體產(chǎn)生的電場強度和電勢.

當r

當R1→R2時，無限長均勻帶電圓柱殼就變成半徑為R2無限長均勻帶電圓柱面.R1→R2帶入公式（2）、（3）、（4）、（6）得，無限長均勻帶電圓柱面產(chǎn)生的電場強度和電勢.

當r

利用洛必達法則求極限[8]，可得

帶入上式可得

r>R2時

4 結束語

在靜電場中有很多非常重要的帶電模型，如：均勻帶電球體、均勻帶電球面、無限長均勻帶電圓柱體、無限長均勻帶電圓柱面、無限大均勻帶電平面等，幾乎所有的大學物理教材都會涉及到這些帶電模型電場強度、電勢的計算.計算具有高度對稱性的帶電體所產(chǎn)生的電場強度時，通常選擇靜電場的高斯定理比較簡單、方便，但是問題的關鍵是選擇合適的高斯面，然后利用電勢的定義式計算其大小.

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