崔冬玲

（淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽 淮南 232038）

淺談高等數(shù)學(xué)知識(shí)在概率論中的應(yīng)用

崔冬玲

（淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽 淮南 232038）

通過(guò)具體的實(shí)例總結(jié)極限、導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)在概率論中的應(yīng)用，從而體現(xiàn)出高等數(shù)學(xué)知識(shí)在概率論中的地位和作用.

積分；極限；數(shù)字特征；中心極限定理

高等數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)這兩門(mén)課是理科專(zhuān)業(yè)的兩門(mén)非常重要的基礎(chǔ)課，同時(shí)也是本科學(xué)生考研的兩門(mén)必備課.特別是概率統(tǒng)計(jì)，它具有實(shí)踐性強(qiáng)、所涉及內(nèi)容廣、學(xué)習(xí)難度大等特點(diǎn).如何將其教好、學(xué)好是老師、同學(xué)所共同關(guān)心的問(wèn)題.解決此問(wèn)題的一個(gè)重要途徑就是發(fā)揮好高等數(shù)學(xué)在概率論中的理論和工具作用.

下面從兩個(gè)方面說(shuō)明極限、導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)在概率論中的應(yīng)用.

1 高等數(shù)學(xué)知識(shí)在概率論中的理論應(yīng)用

概率論中的許多定義、定理均以高等數(shù)學(xué)知識(shí)作為基礎(chǔ)：

1.1 隨機(jī)事件的研究方法就是將集合賦予了概率論的含義，事件之間的運(yùn)算實(shí)則為集合之間的運(yùn)算.運(yùn)用最廣泛也是最重要的一種運(yùn)算律為摩根率：

1.2 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度與分布函數(shù)間的關(guān)系以及部分相關(guān)性質(zhì)將變上限積分的求導(dǎo)問(wèn)題、偏導(dǎo)數(shù)的概念、極限等知識(shí)發(fā)揮得特別充分.

例如：

（1）一維隨機(jī)變量的概率密度f(wàn)(x)與分布函數(shù)F(x)間的關(guān)系：

（2）二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度f(wàn)(x,y)與聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)間的關(guān)系：

若(X,Y)：f(x,y)，則

（3）對(duì)于連續(xù)性隨機(jī)變量X有P{X=a}=0，它的證明是利用了函數(shù)的連續(xù)性.

1.3 隨機(jī)變量的數(shù)字特征，無(wú)論是一維隨機(jī)變量還是二維隨機(jī)變量，其方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)等，最后都轉(zhuǎn)化為期望來(lái)計(jì)算，而期望的定義是利用級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂和反常積分的絕對(duì)收斂得來(lái)的.

例如：

（1）隨機(jī)變量X的分布律為P{X=(-1)j+1，j=1,2,3…，則，此級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂的，根據(jù)期望的定義，E(X)是不存在的.

1.4 大數(shù)定律與中心極限定理無(wú)論是定理本身還是定理的證明都將極限的作用發(fā)揮得淋漓盡致.

例如：辛欽大數(shù)定律的證明，其中關(guān)鍵性的一步運(yùn)用了極限收斂準(zhǔn)則中的兩邊夾定理最后得出結(jié)論，即

2 高等數(shù)學(xué)知識(shí)在概率論中的實(shí)際應(yīng)用

在概率論中，已知一維連續(xù)性隨機(jī)變量的概率密度來(lái)求分布函數(shù)，數(shù)字特征；已知二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度、條件概率密度、分布函數(shù)以及數(shù)字特征等問(wèn)題，定積分與二重積分發(fā)揮了計(jì)算工具的重要作用.有的題目在求解的過(guò)程中，其實(shí)概率論的知識(shí)比較簡(jiǎn)單，無(wú)非是公式，定理的應(yīng)用，而題目難就難在積分的計(jì)算上，特別是伽馬函數(shù)Γ(r)=及其相關(guān)結(jié)論：

此題分析思路非常簡(jiǎn)單，就是一個(gè)期望的公式，但計(jì)算比較復(fù)雜，幸好用了伽馬函數(shù)，這樣解決起來(lái)比較方便.

此題從分析思路和計(jì)算的角度來(lái)講都不難，就是二維隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的公式和計(jì)算二重積分，但利用伽馬函數(shù)比用分部積分計(jì)算要更簡(jiǎn)單.

3 小結(jié)

可以說(shuō)，概率論就是用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)作為基礎(chǔ)和工具來(lái)解決問(wèn)題的一門(mén)學(xué)科，特別是定積分、反常積分、二重積分等知識(shí)的熟練應(yīng)用，能大大提高同學(xué)學(xué)習(xí)概率論的學(xué)習(xí)效率.

〔1〕盛驟，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2009.

〔2〕同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008.

O13；O24

A

1673-260 X（2013）10-0006-02