馬小霞，孫業(yè)國(guó)

（淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽 淮南 232038）

時(shí)延丟包網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析與控制器設(shè)計(jì)

馬小霞，孫業(yè)國(guó)

（淮南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽 淮南 232038）

本文針對(duì)同時(shí)具有網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和數(shù)據(jù)包丟失的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，基于輸入延時(shí)的方法，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論和時(shí)滯系統(tǒng)理論得出控制系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)穩(wěn)定性條件，進(jìn)一步基于線性矩陣不等式的方法給出控制器的設(shè)計(jì)方法，從而有效地解決了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中同時(shí)存在時(shí)延和丟包的控制問題.仿真算例驗(yàn)證了所提方法的有效性.

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；零階保持器；線性矩陣不等式

1 引言

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(networked control systems NCSs)，是通信技術(shù)、控制技術(shù)與計(jì)算機(jī)技術(shù)融合的產(chǎn)物.網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)在空間上是分布式的，應(yīng)用上具有功耗小、成本低，安裝方便與故障診斷簡(jiǎn)單，還具有實(shí)現(xiàn)資源共享和遠(yuǎn)程操作等優(yōu)點(diǎn)[1].但由于數(shù)據(jù)采樣及信息傳遞都要求在一定的時(shí)間內(nèi)完成，故不可避免地會(huì)引起時(shí)延、數(shù)據(jù)丟包等問題，使系統(tǒng)性能和穩(wěn)定性下降，特別是數(shù)據(jù)丟包問題將給系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與分析帶來(lái)嚴(yán)重的挑戰(zhàn)[1-4].

對(duì)于網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的研究當(dāng)前主要集中于單純的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延或數(shù)據(jù)包丟失對(duì)系統(tǒng)的影響.但對(duì)網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和數(shù)據(jù)包丟失雙重影響下的系統(tǒng)研究文章相對(duì)較少[5-10].本文基于輸入延時(shí)的方法對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)進(jìn)行了建模，針對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)中存在的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)時(shí)延和數(shù)據(jù)包丟失的情況，運(yùn)用李亞普諾夫理論，通過線性矩陣不等式方法對(duì)時(shí)延丟包網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析[11].

2 時(shí)延丟包干擾下的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的模型和穩(wěn)定性

線性時(shí)不變系統(tǒng)

其中x(t)∈Rn，u(t)∈Rm分別表示系統(tǒng)狀態(tài)和控制輸入.為相應(yīng)的維數(shù)矩陣.該系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)控制結(jié)構(gòu)可以用圖1描述

圖1 時(shí)延和丟包相混合的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)

運(yùn)用離散化方法，假設(shè)傳感器的采樣周期為Ts，(1)的離散化模型系統(tǒng)可表示為

圖2給出了數(shù)據(jù)包的傳輸示意圖.

圖2 數(shù)據(jù)包傳輸示意圖

通過對(duì)數(shù)據(jù)包傳輸以及零階保持器的工作機(jī)制的討論，我們發(fā)現(xiàn)輸入時(shí)延d(k)包含著網(wǎng)絡(luò)傳輸時(shí)延和數(shù)據(jù)包丟失.因此，同時(shí)具有時(shí)延和丟包的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)可描述為如下含輸入時(shí)延的離散系統(tǒng)：

另外，由于網(wǎng)絡(luò)的自身特性確保了時(shí)延d(k)有上界，即存在dmax>0使得

另一方面，由于零階保持器的工作機(jī)制的影響使得

其中狀態(tài)反饋控制器

其中，K∈Rm×n為要設(shè)計(jì)的控制器.控制器(6)中的不含采樣時(shí)刻k說明控制器由事件驅(qū)動(dòng)，且不受時(shí)延和丟包影響.于是得到閉環(huán)系統(tǒng)

本文的主要目的就是設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)控制器(6)使得閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(7)漸近穩(wěn)定.

下面的定理1給出了系統(tǒng)(7)漸近穩(wěn)定的一個(gè)判據(jù)并為接下來(lái)的控制器設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ).

定理1若存在矩陣P>0，Z>0，T1∈Rn×n和T2∈Rn×n使得下列矩陣不等式成立

其中

則閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(7)漸近穩(wěn)定.

3 控制器設(shè)計(jì)

以下基于線性矩陣不等式方法給出控制器設(shè)計(jì)，即確定增益矩陣K使得系統(tǒng)(7)漸近穩(wěn)定.

對(duì)某個(gè)給定的α>0成立.其中

則控制器

使得閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)(7)漸近穩(wěn)定.

證明 由Schur補(bǔ)定理可知，(8)等價(jià)于

令 =d i ag(P-1，Z-1,I,I)對(duì)（10）式進(jìn)行合同變換

令X=P-1,W=Z-1,Y=K P-1,

則（11）式轉(zhuǎn)化為

由于

因此2αX-α2W≤X W-1X

由（12）式可得，對(duì)某個(gè)給定的α>0，我們有

4 數(shù)值仿真實(shí)例

我們考慮如下的連續(xù)系統(tǒng)：

令傳感器的采樣周期為Ts=0.005s，則得離散系統(tǒng)為：

由于A的特征值分別為1.0100，1.0004，0.9750，0.9576，因此離散系統(tǒng)不穩(wěn)定.假設(shè)d(k)滿足1≤d(k)≤5，令α=1由線性矩陣不等式方法，可得到如下控制增益矩陣：

圖3 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)

由于d(k)同時(shí)包含了網(wǎng)絡(luò)傳輸過程中的時(shí)延和丟包，因此，由定理2可知，我們所設(shè)計(jì)的控制器能使得同時(shí)受時(shí)延和丟包干擾的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

圖4 系統(tǒng)的控制輸入

5 結(jié)束語(yǔ)

本文基于輸入延時(shí)的方法將同時(shí)受時(shí)延和丟包干擾的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模為一個(gè)時(shí)滯系統(tǒng)，運(yùn)用李亞普諾夫和線性矩陣不等式方法對(duì)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，并利用線性矩陣不等式方法設(shè)計(jì)出控制器，有效解決了受時(shí)延、丟包雙重影響的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的控制問題.最后，通過仿真算例證明了本文方法的有效性.

〔1〕W.Zhang,M.S.Branichy,and S.M.Phillips,Stability of networked control system[J].IEEE Control Systems Magazine,21(2001)84-96.

〔2〕Y.Halevi and A.Ray,Integrated communication and controlsystems:PartI[J].-Analysis,J.Dynamic Syst., Measure.Contr.,110(1988)367-373.

〔3〕J.Nilsson,Real-time control systems with delays[D]. Ph.D. dissertation, Dept. Automatic Control, Lund Institute of Technology,Lund,Sweden,January 1998.

〔4〕G.C.Walsh,H.Ye,and L.Bushnell,Stability analysis of networked control systems[C].in Proc.Amer.Control Conf.,San Diego,1999:2876-2880.

〔5〕Yu M,Wang L,Chu T,Xie G..An LMI approach to networked controlsystemswith data dropout and transmission delays[C].Proc.of the 43rd Conf.on Decision and Control,Atlantis,Bahamas,2004,pp. 3545–3550.

〔6〕H.Y.Sun and C.Z.Hou,Stability of networked control systems with packet dropout and transmission [J]. Control and Decision,2005(5):511-51.

〔7〕M.B.G.Cloosterman,N.van de Wouw,and W.P. M.H.Heemels.StabilizationofNetworkedControl Systems with Large Delays and Packet Dropouts[C]. 2008 American ControlConference Westin Seattle Hotel,Seattle,Washington,USA,pp4991-4996.

〔8〕H.B.Li and Z.Q.Sun..Stabilization of Networked Control Systems with Time Delay and Packet Dropout-Part I [C]. Proceedings of the IEEE International Conference on Automation and Logistics, 2007,Jinan,China,pp:3006-3011.

〔9〕H.B.Li and Z.Q.Sun.Stabilization of Networked Control Systems with Time Delay and Packet Dropout-Part II [C]. Proceedings of the IEEE International Conference on Automation and Logistics, 2007,Jinan,China,pp:3012-3017.

〔10〕Q.Chen and M.Wu.Design of networked controller forsystemswith packetdropoutand networkedinduced delays[J].Control and Decision.2011(26): 293-296.

〔11〕孫業(yè)國(guó).網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的模型化分析與控制算法研究[D].北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院.

O231

A

1673-260 X（2013）10-0003-03