管訓(xùn)貴

(泰州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)理信息學(xué)院，江蘇泰州 225300)

1 引言及主要結(jié)論

設(shè)N*，P分別表示全體正整數(shù)和素?cái)?shù)的集合.1967年，E.L.Cohen［1］借助于計(jì)算機(jī)證明了方程:

適合p≤109的解僅有:由于該問題是經(jīng)典的多項(xiàng)式表素?cái)?shù)問題的推廣，并且與階為素?cái)?shù)方冪的有限單群的存在性問題有著直接的聯(lián)系［2］.因此，研究方程(1)的解具有一定的理論價(jià)值.

2000年，李中［3］證明了方程(1)適合 p＞109 的正整數(shù)解(x，p，n)都滿足 n≤2.由此及式(2)可知，除了(x，p，n)=(119，13，4)這一情況外，當(dāng)方程(1)成立時(shí)，則必有 n=1 或2.

本文找到了方程(1)在p＜6×106時(shí)的全部正整數(shù)解，即以下結(jié)果.

定理1 若素?cái)?shù)p＜6×106，則當(dāng)n=1時(shí)，方程(1)共有365組正整數(shù)解(x，p)，其解數(shù)分布如表1所示.

表1 解數(shù)分布表Tab.1 Distribution of the number of solution

定理2若素?cái)?shù)p＜1×1016，則當(dāng)n=2時(shí)，方程(1)僅有6組正整數(shù)解:

2 關(guān)鍵性引理

引理1若n=1，則方程(1)中x必滿足x=1或x?1，3，6，8(mod 10).

證明若n=1，則方程(1)成為:當(dāng)x=1時(shí)，p=5是素?cái)?shù)，結(jié)論成立.

當(dāng) x≠1 且 x≡1(mod 10)時(shí)，p≡5(mod 10);同樣當(dāng) x≡3，6，8(mod 10)時(shí)，也有 p≡5(mod 10).此時(shí)，5∣p，與p為素?cái)?shù)矛盾.引理1得證.

引理2方程x2+(x+1)2=z2的全部正整數(shù)解由遞推式:

及x1=3，z1=5，n∈N*，給出，其中［α］表示實(shí)數(shù)α的整數(shù)部分.

證明參見文獻(xiàn)［4－5］.

3 定理的證明

先證定理1.

考慮到n=1，p＜6×106時(shí)，1≤x≤1731，結(jié)合引理1并利用計(jì)算機(jī)可算出方程(1)滿足p＜6×106的全部正整數(shù)解為:

再證定理2.

由引理2 知，z1=5，z2=29，z3=169=132，z4=985=5×197，z5=5741，z6=33461，z7=195025=52×29×269，z8=1136689=137×8297，z9=6625109=37×179057，z10=38613965=5×132×45697，z11=225058681=229×982789，z12=1311738121=29×1549×29201，z13=7645370045=5×53×197×146449，z14=44560482149，z15=259717522849=61×1301×3272609，z16=1513744654945=5×5741×52734529，z17=8822750406821=132×29×1800193921，z18=51422757785981=593×78737×1101341，z19=299713796309065=5×389×33461×4605197，z20=1746860020068409，z21＞1×1016.

因?yàn)?z3，z4，z7，z8，z9，z10，z11，z12，z13，z15，z16，z17，z18，z19均為合數(shù)，所以當(dāng) n=2 時(shí)，方程(1)滿足 p＜1×1016的正整數(shù)解僅有6組，即式(3).定理2得證.

綜上，若素?cái)?shù) p＜6×106，則方程(1)共有 370 組正整數(shù)解(x，p，n)，推廣了文獻(xiàn)［1］中的結(jié)論.

［1］Cohen E L.On the sum of the squares of two consecutive integers［J］.Math Comp，1967，21:460－465.

［2］陳重穆.關(guān)于有限單群的階［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1987，30(5):605－613.

［3］李中.兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)平方和中的素?cái)?shù)方冪［J］.吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2000，21(1):30－31.

［4］管訓(xùn)貴.關(guān)于丟番圖方程 x2+(x+p)2=z2［J］.湛江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，30(6):46－49.

［5］管訓(xùn)貴.關(guān)于丟番圖方程x(x+1)(x+2)=2pyn［J］.湖北民族學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，31(4):404－408.