鄭利凱

(內(nèi)蒙古民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古通遼 028000)

我們知道實分析中有完整的微分中值定理，包括羅爾定理，拉格朗日定理，柯西中值定理等.但是實分析中的微分中值定理不能簡單地推廣到復(fù)變函數(shù)上來［1－3］.例如:

但如果中值點不限制在區(qū)間上，而是限制在一個圓形鄰域內(nèi)，實分析中的微分中值定理就可以推廣到復(fù)變函數(shù)上來.主要的結(jié)論有:

文獻［4］中得到以下結(jié)果:

文獻［5］中得到以下結(jié)果:

因為常見的函數(shù)大都是整函數(shù)，下面將這些解析函數(shù)中值定理的結(jié)論應(yīng)用到整函數(shù)上，得到整函數(shù)的微分中值定理.

1 整函數(shù)的微分中值定理

根據(jù)上面的結(jié)論，可以推得以下定理:

2 一個新的復(fù)變函數(shù)微分中值定理

故F(z)，G(z)在點a的某鄰域U(a)內(nèi)解析，所以F(z)，G(z)在U(a)內(nèi)存在任意階導(dǎo)數(shù).

又 F(a)=F'(a)=F″(a)= … =F(n)(a)=0，G(a)=G'(a)=G″(a)= … =G(n－1)(a)=0，G(n)(a)=n!.對F(z)，G(z)連續(xù)運用定理5，總共n次，得到:

3 復(fù)變函數(shù)微分中值定理的應(yīng)用

復(fù)變函數(shù)的微分中值定理有著廣泛而靈活的應(yīng)用，下面就定理證明和計算復(fù)函數(shù)不定式極限兩個方面加以論述.

3.1 定理的證明

解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)理論中一個及其重要的定理，一般著作都以積分不等式估計積分模的上限加以證明，下面用復(fù)變函數(shù)的微分中值定理來證明.

解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)定理(柯西積分公式的推廣)［6］設(shè)函數(shù)f(z)在簡單閉曲線C所圍成的閉區(qū)域D內(nèi)解析，而在=D∪C上連續(xù)，則f(z)的各階導(dǎo)函數(shù)均在D內(nèi)解析，對D內(nèi)任一點z，有:

證明考慮n=1的情形.根據(jù)柯西積分公式有:

現(xiàn)假設(shè)n=k時命題成立，下面來推證n=k+1時命題也成立.

3.2 計算不定式極限

運用新得到的兩個復(fù)變函數(shù)微分中值定理，即定理5，定理6，可以方便快捷地計算復(fù)變函數(shù)不定式的極限.

［1］李穎.復(fù)變函數(shù)的中值定理(英文)［J］.湘潭大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報，1999(4):125－129.

［2］曾韌英.關(guān)于復(fù)變函數(shù)的中值定理［J］.重慶師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，1998，S1:46－47.

［3］李曉玲.微分中值定理在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣［J］.佳木斯大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2009(5):791－792.

［4］蔣潤榮.Grace定理的推廣［J］.數(shù)學(xué)雜志，1991(1):61－63.

［5］蘇子安.復(fù)函數(shù)的微分中值公式［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認識，1992(4):90－92.

［6］鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論［M］.3版.北京:高等教育出版社，2004:132－147.