黃 莉，劉丁酉

(1.武漢商業(yè)服務(wù)學(xué)院信息工程系，湖北武漢 430056;2.武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖北武漢 430072)

自文獻(xiàn)［1－2］于1982年提出線性方程組AX=B的反問題以來，使得人們對反問題的研究日益關(guān)注，而近年來，隨著四元數(shù)和四元數(shù)矩陣在數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的應(yīng)用日益廣泛，四元數(shù)矩陣方程及其反問題的研究也就成為一個重要的課題，文獻(xiàn)［3－4］都對四元數(shù)矩陣方程作了詳盡討論，而對四元數(shù)矩陣方程反問題的研究也做出了些很好的結(jié)果［5］.本文主要討論四元數(shù)矩陣方程AX=B的反問題具有亞正定陣解的充要條件，以及此解存在的一般形式.

定義 1［4］設(shè) A∈Qn×n，若對于任何 0≠x∈Qn×1，都有 Re(xHAx)＞0，則記 A∈P，稱 A 為四元數(shù)體上的實(shí)

In部正定陣或亞正定陣.

定義2［6］設(shè)A∈Qn×n，若AAH=AHA，則稱A為四元數(shù)體上的正規(guī)矩陣.

注:特別地，①AH=A時，正規(guī)矩陣A為Q上的自共軛陣;②AAH=AHA=In時，正規(guī)矩陣A為Q上的酉矩陣.

所謂四元數(shù)矩陣方程AX=B的反問題，就是指對于四元數(shù)矩陣方程AX=B，給定了X和B，求滿足一定條件的四元數(shù)矩陣 A，使得 AX=B，其中 A∈Qn×n，X，B∈Qn×m.

1 亞正定矩陣反問題

2 主要結(jié)果

［1］李森林.幾類直接控制系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的充要條件［J］.科學(xué)通報，1982(10):581－582.

［2］李文亮.四元數(shù)矩陣［M］.長沙:國防科技大學(xué)出版社，2002:97.

［3］王卿文.關(guān)于體上矩陣方程AX=B的解［J］.數(shù)學(xué)研究與評論，1995，15(2):249－252.

［4］王宜舉.矩陣方程AX=B的實(shí)部正定解［J］.數(shù)學(xué)研究與評論，1998，18(2):315－316.

［5］王開民，劉永輝.四元數(shù)酉矩陣的反問題［J］.山東師范大學(xué)學(xué)報，2004(2):19－22.

［6］劉丁酉，黃莉.四元數(shù)矩陣與域上矩陣的幾點(diǎn)差異［J］.湖北民族學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版，2007，25(2):121－124.