李乃微

（遼寧大學(xué)數(shù)學(xué)院，遼寧沈陽110136）

分圓域Q（ζ24）的冪元整基

李乃微

（遼寧大學(xué)數(shù)學(xué)院，遼寧沈陽110136）

伽羅瓦數(shù)域L稱有一個冪元整基，如果其代數(shù)整數(shù)環(huán)具有形式Z(α),其中α∈L.此時稱α是L的冪元整基生成元.設(shè)α,β是L的兩個冪元整基生成元,若β=m±σ(α),m∈Z,σ∈Gal(L/Q),則稱α與β等價.本文主要研究分圓域Q（ζ24）的冪元整基問題.分圓域Q（ζ24）的代數(shù)整環(huán)是Z[ζ24],所以ζ24是Q（ζ24）的冪元整基生成元.設(shè)α是Q（ζ24）的冪元整基生成元,證明了當(dāng)α+?Z時,Z[α]=Z[ζ24],則α與ζ24等價.從而給出在此條件下分圓域Q（ζ24）的所有冪元整基生成元.

分圓域；冪元整基；生成元；單位

1 基礎(chǔ)知識

先給出本文中涉及到的基礎(chǔ)知識，包括一些定義和定理.并且假設(shè)數(shù)域擴(kuò)張均為伽羅瓦擴(kuò)張.

定義1.1設(shè)L/K為數(shù)域擴(kuò)張,[L:K]=n.σi:L→C(1≤i≤n)是L的n個K-嵌入.對于α∈L定義稱作是元素α∈L對于擴(kuò)張L/K的范.

引理1.2設(shè)α,β∈L，L,K是兩個數(shù)域，[L:K]=n,σi∈Gal (L/K),則NL/K(αβ)=NL/K(α)NL/K(β)和NL/K(αn)=(NL/K(α))n

定義1.3設(shè)L/K是數(shù)域的n次擴(kuò)張，σ1,…,σn是L到C的n個K嵌入.α1,…,αn為L中任意n個元素.定義dL/K(α1,(||表示方陣的行列式),稱作是元素對于擴(kuò)張L/K的判別式.

引理1.4設(shè)L=K(α),[L:K]=n,f(x)是α在K上的極小多項式，α1=α,α2,…,αn為f(x)的n個復(fù)根，則dL/K(1,α,…,αn-1)=

定理1.5(1)[Q(ζn):Q]=φ(n),并且ζn=e2m/n在Q上的極小多項式為叫作分圓多項式),φ(n) =deg(?n(x)).

(2)Q(ζn)/Q為伽羅瓦擴(kuò)張,并且Gal(Q(ζn)/Q)?(Z/nZ)*即對任意σk∈Gal(Q(ζn)/Q)，使得

引理1.6假設(shè)K是一個數(shù)域,Ok是K的整數(shù)環(huán),設(shè)α1, α2,…,αn∈Ok,如果

(1)dK(α1,α2,…,αn)=d(K),或者

(2)dK(α1,α2,…,αn)是無平方因子的非零有理整數(shù),則α1, α2,…,αn是域的一組整基.

(1)OK=Z[ζm],從而是域K的一組整基;

引理1.8設(shè)K為n次數(shù)域，σ1,…σn是K到C中的n個嵌入，u∈OK,則

（a）u∈UK?NK/Q(u)=±1;

（b）u∈WK?|σi(u)|=1(1≤i≤n).

2 主要證明

本文主要研究的是分圓域Q(ζ24)的冪元整基問題，我們知道Z[ζ24]是Q(ζ24)的整數(shù)環(huán).下面證明:當(dāng)α+?Z時,Z[α]=Z [ζ24],當(dāng)且僅當(dāng)α與ζ24等價.下面用ζ表示ζ24.

記Gak(Q(ζ)/Q)={σ1,σ5,σ7,σ11,σ13,σ17,σ19,σ23,}其中σi(ζ)=ζi.

Gal(Q(ζ)/Q)=〈σ-1〉×〈σ5〉×〈σ7〉.從L.Washington我們進(jìn)行一些簡單的研究.

取α∈Z[ζ]，滿足Z[α]=Z[ζ]當(dāng)且僅當(dāng)d[α]=d[ζ]，d[α]，d[ζ]分別是α，ζ的判別式.這等價于

其中f(x)為α在Q上的極小多項式,g(x)=x8-x4+1為ζ在Q上的極小多項式.

引理2.1設(shè)α∈Z[ζ],H={1,5,7,11,13,17,19,23},則下面幾個結(jié)論等價:

(i)Z[α]=Z[ζ];

(ii)NQ(α)/Q(α-σi(α))=±NQ(ζ)/Q(ζ-ζi),i∈H;

則我們可以得到

設(shè)τ5=1-γ5,π1=1-ζ6,由引理2.1知γ5和均為單位.因為γ5和是單位,所以存在r,s∈Z,使得

綜上,我們證明了引理2.2.

引理2.3假設(shè)σ5∈Gal(Q(ζ)/ζ)和α∈Z[ζ].如果Z[α]=Z [ζ],并且

則α=n±ζ,n∈Z.

證明假定Z[α]=Z[ζ]并且等式

成立.我們首先證明g只能等于5.

設(shè)π1=1-ζ6,將等式兩邊都模π1,因為1(modπ1),所以我們有1(modπ1).從而6| (g-5),也就是說g∈{5,7,13,19}

方程組無解.故g≠7.

同理,我們可以得到g≠13和g≠19.

聯(lián)立等式(3)和(4)整理可得

并且μ由σ5所確定.因為σ5是Gal(Q(ζ)/ζ)的生成元,也就是說μ由整個伽羅瓦群所確定并且μ∈Q.由引理2.1可知μ為單位,則可得μ=±1.

因為σ5(μ)=μ,所以(3)等價為σ5(α-μζ)=α-μζ.因此α-μζ也被Gal(Q(ζ)/ζ)所確定,并且α-μζ∈Z.因為μ=±1,我們可以得到α=n±ζ,n∈Z.

綜上,證明了引理2.3.

則我們可以得到

設(shè)τ7=1-γ7,π2=1-ζ8,由引理2.1知γ7和均為單位.所以存在m,n∈Z,使得γ7=ζmγ7，τ7=ζnτ7.由于解得

綜上,我們證明了引理2.4.

引理2.5假設(shè)σ7∈Gal(Q(ζ)/ζ)和α∈Z[ζ].如果Z[α]=Z [ζ],并且

則α=n±ζ,n∈Z.

證明假定Z[α]=Z[ζ]并且等式

成立.我們首先證明h只能等于7.

設(shè)π2=1-ζ8,將等式兩邊都模π2,因為1(modπ2),所以我們有1(modπ2).從而8| (h-7),也就是說h∈{7,9,17}.

方程組無解.故h≠9.

同理,我們可以得到h≠17.

聯(lián)立等式(6)和(7)整理可得

并且v由σ7所確定.因為σ7是Gal(Q(ζ)/ζ)的生成元,也就是說v由整個伽羅瓦群所確定并且v∈Q.由引理2.1可知v為單位,則可得v=±1.

因為σ7(v)=v,所以(6)等價為σ7(α-vζ)=α-vζ.因此α-vζ也被Gal(Q(ζ)/ζ)所確定,并且α-vζ∈Z.因為v=±1,我們可以得到α=n±ζ,n∈Z.

綜上,證明了引理2.5.

由上面的引理,我們將證明本文主要的結(jié)論.

(1)由已知可知Z[α]=Z[ζ24],設(shè)并且可由引理2.2可知使得

設(shè)σ-1(α)=α^,所以

則由引理2.5可得α^=n±ζ24,n∈Z.所以α與ζ24等價.

充分性.若α與ζ24等價,顯然有Z[α]=Z[ζ24].

〔1〕Bremner A.On power bases in cyclotom ic number fields [J].Number theory,1988,28(3):288-298.

〔2〕Robertson L.Power bases for cyclotom ic integer rings[J]. Number Theory,1998,69(1):98-118.

〔3〕W ashington L J.Introduction to cyclotom ic fields(2nd) [M].New York:Springer Verlag,1997.

〔4〕馮克勤.代數(shù)數(shù)論[M].上海:科學(xué)出版社,2001.

〔5〕Xia jianguo,Wang shaozu.Power bases for the cyclotomic field[J].Sichuan Normal University(Natural Science), 2005,28(6),664-666.

O156.2

A

1673-260X（2013）09-0005-03