姜 軍， 卓 嘎， 王朝霞， 涅濤遠(yuǎn)， 馮建尚

（1.西藏大學(xué) 工學(xué)院，西藏 拉薩 850000；2.西藏大學(xué) 學(xué)工處，西藏 拉薩 850000）

圖像修復(fù)[1]最早是在藝術(shù)領(lǐng)域產(chǎn)生的，后來隨著科技的發(fā)展，人們逐步將手工修復(fù)過度到了數(shù)字模擬修復(fù)，即在PC機(jī)上，利用圖像處理軟件建立一定的數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上根據(jù)圖像中的已知區(qū)域的相關(guān)信息，恢復(fù)圖像缺失區(qū)域中的信息。數(shù)字模擬修復(fù)技術(shù)在藝術(shù)字畫和舊照片中破損區(qū)域的補(bǔ)全恢復(fù)或目標(biāo)物的移除和取代有很好的修復(fù)效果。

在眾多的修復(fù)模型中，偏微分模型是比較熱門的修復(fù)算法之一。該模型主要有BSCB，TV，CDD這3種主要的修復(fù)算子。BSCB算法[2]的主要思想是利用待修補(bǔ)區(qū)域上的殘存邊緣像素的信息，首先估計(jì)邊緣等照度線[3]（isophote）的方向，然后將領(lǐng)域中的像素通過一定的方式將這些有用信息沿著估計(jì)出來的等照度方向傳播到破損的區(qū)域中去，直到修復(fù)完成。由Rudin等人提出的全變分（Total Variation，TV）圖像修復(fù)算法[4]則是BSCB算法微觀到宏觀的轉(zhuǎn)變，即通過計(jì)算破損圖像的能量方程最小化來達(dá)到圖像修復(fù)的目的。CDD算子則是在TV算子的基礎(chǔ)上增加懲罰值，避免了TV算子修復(fù)圖像的邊緣不連貫性。

文中主要研究偏微分方程修復(fù)模型中的一種模型：整體變分法（TV）修復(fù)算子，該模型適用于對劃痕、污漬和文字等小目標(biāo)區(qū)域的修復(fù)。

1 圖像退化類型與評價(jià)函數(shù)

1.1 圖像退化類型

圖像修補(bǔ)屬于圖像復(fù)原[5-8]，而圖像復(fù)原處理是建立在圖像退化的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上的。獲取的圖像，不僅包含圖像自身的退化因素而且存在圖像獲取時(shí)的人為污染（曝光，角度等）。面對諸多復(fù)雜的退化因素，如果逐個(gè)建立模型，在實(shí)施修復(fù)的時(shí)候效率比較低下，但是綜合分析退化類型，發(fā)現(xiàn)這些退化類型都可以看作是圖像線性退化中的一部分，通過統(tǒng)一規(guī)劃的思想，建立一個(gè)合適的系統(tǒng)退化模型來近似的模擬說明圖像的退化模型。

在圖像修復(fù)中，最初的圖像污染并不是源自圖像本身，而是在圖像獲取過程中，本身受到外界一些因素的影響，使得圖像失真。因此，為了方便修復(fù)，筆者在圖像修復(fù)之前，首先建立以下的圖像退化模型。

圖1 圖像破損示意圖Fig.1 Image damage schematic diagram

I0捕獲的原始圖像，A為待修復(fù)區(qū)域，Ω為整個(gè)圖像區(qū)域，A/Ω持完整即沒有丟失信息的區(qū)域，I代表退化圖像，N表示外部破壞（如噪聲抖動等），H為退化函數(shù)。（2）式中，符號*表示二維卷積運(yùn)算，f（x，y）為缺失或污染函數(shù)。

1.2 評價(jià)函數(shù)

只有在知道更多H與N的情況下：均方誤差（MSE）和峰值信噪比（PSNR）才能最優(yōu)化。

其中N，M分別是X方向、Y方向圖像像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)，fij和fIJ分別是原始像和重構(gòu)圖像在點(diǎn)（i，j）上的取值，L是圖像中灰度取值的范圍，所取范圍不同L的值也不同。峰值信噪比（PSNR）越大說明圖像修復(fù)效果越好。

綜上所述，可以看出，在修補(bǔ)算子不變的情況下，當(dāng)提取的MASK足夠合適的時(shí)候，要想得到最佳效果，必須建立一定的圖像模型，這也就是圖像修補(bǔ)與圖像恢復(fù)（去噪，清晰化）的最大差別。

2 TV模型介紹

用偏微分方程進(jìn)行圖像修復(fù)的基本思想是利用偏微分方程對圖像建模，然后求解該方程，方程的解就是所期望的結(jié)果，修復(fù)算法的核心思想是利用物理學(xué)中的熱擴(kuò)散方程將待修補(bǔ)區(qū)域周圍的信息傳播到待修補(bǔ)區(qū)域中。TV模型最早是由Ruin提出的一種圖像去噪模型，他在TV的去噪模型的基礎(chǔ)上，提出了基于TV模型的圖像修復(fù)方法，能在有噪聲的情況下有效地對圖像進(jìn)行修復(fù)，并且得到較好的效果。TV模型修復(fù)算法主要利用偏微分方程求能量最小化泛函，再利用Lagrange乘子轉(zhuǎn)換成無約束條件的極值問題，然后求解滿足Euler-Lagrange的方程，方程的解就是圖像的修復(fù)結(jié)果[9]。

圖2 圖像修補(bǔ)示意圖Fig.2 Image repair plan

記D為待修復(fù)區(qū)域，E為待修復(fù)區(qū)域的外鄰域，E為D擴(kuò)展后區(qū)域的面積，u為修復(fù)后E∪D區(qū)域內(nèi)的圖像值。假設(shè)原圖像被高斯白噪聲所污染，白噪聲方差為δ。r是非負(fù)實(shí)函數(shù)，要求函數(shù)的輸入是非負(fù)數(shù)，定義等價(jià)函數(shù)：

并且滿足以下噪聲約束條件：

基于TV模型的圖像修復(fù)的基本思想是尋找最小的能量泛函[10]?？梢园研枰迯?fù)的圖像看作是一幅離散的三維函數(shù)圖，既把所用圖像的每一像素的灰度值看作是二維圖像陣元（ij）所對應(yīng)的函數(shù)值。離散后圖像褶皺的多少就代表了圖像的能量，皺褶越多，能量越大，要想找到最小的能量泛函，就需要圖像平滑函數(shù)使圖像盡量光滑。TV模型的能量函數(shù)[11]不僅可以通過最小化來達(dá)到抑制噪聲的目的，而且還會對圖像起一種平滑作用，這樣不但使得跳變的邊緣得到優(yōu)化和保護(hù)，而且可以快速找到最小的能量泛函，完成修復(fù)。

在無噪聲的情況下，TV模型可以表示為以下形式：

在有噪聲的情況下，TV模型可以表示為如下形式：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

很多西藏壁畫由于年代比較久遠(yuǎn)，表面有不同程度的脫落裂痕和人為污染，可以通過數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)模擬修復(fù)。由于在RGB圖像上面直接修復(fù)比較麻煩，而且修復(fù)效果不太好，可以利用分解思想，將一幅RGB圖像分解為R，G，B 3個(gè)通道，然后逐個(gè)修復(fù)各個(gè)通道，最后再將3個(gè)通道組合起來，完成修復(fù)。

3.1 缺失圖像修復(fù)

圖像缺損即圖像信息丟失，通過儀器掃描拍攝以后，在數(shù)字圖像上進(jìn)行修復(fù)填補(bǔ)就可以完成模擬修復(fù)。當(dāng)一個(gè)地方有缺失的時(shí)候，首先確定被修復(fù)圖像的大小，再利用邏輯運(yùn)算提取掩模，人為選擇閾值。在得到MASK后，找到最小能量泛函，控制迭代次數(shù)，然后開始更新修復(fù)區(qū)域內(nèi)每一個(gè)點(diǎn)的值，利用周圍信息的相似性，通過擴(kuò)散蔓延，將缺失的部分填補(bǔ)，最后通過濾波將修復(fù)后的毛刺平滑，將各個(gè)通道組合，完成修復(fù)。

通過檢測函數(shù)，可以得到表1結(jié)果。

3.2 污染圖像修復(fù)

圖像污染主要是像素增加，即在原圖像的表面產(chǎn)生比較明顯的像素差別，一般采用提取MASK，并利用周圍像素點(diǎn)的擴(kuò)散性，先將污染部分淡化，再將MASK填補(bǔ)，再通過濾波淡化噪聲，完成修復(fù)。對于有噪聲污染的圖像，TV模型具有比較好的修復(fù)效果。

圖3 以缺失圖像為例（夏魯寺人為破壞壁畫）Fig.3 With missing image as an example （Shalu monastery human broken in fresco）

表1 迭代次數(shù)與PSNRTab.1 Iteration times and PSNR

圖4 以污染圖像為例（色拉寺文革期間被污染圖像）Fig.4 Pollution image as an example（Sera during the cultural revolution was pollution image）

通過圖5我們可以直觀的看出，TV模型在處理有噪圖像的時(shí)候較其他模型有修復(fù)效率高，修復(fù)效果好的優(yōu)點(diǎn)，而且隨著修復(fù)次數(shù)的增加，修復(fù)的效果也明顯增加。因此得出TV模型在有噪圖像處理的優(yōu)越性。

4 結(jié)束語

圖5 有噪圖像不同模型下的處理結(jié)果Fig.5 Noise image processing results of different model

隨著計(jì)算機(jī)時(shí)代的來臨，數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)，特別是基于變分PDE方法的圖像修補(bǔ)技術(shù)已經(jīng)慢慢地成為了圖像修復(fù)的主流，應(yīng)用于文物模擬修復(fù)具有很廣闊的前景。目前的數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)在理論與實(shí)際應(yīng)用中已取得了一定的成果，但它還存在著一些不足，有待進(jìn)一步的改進(jìn)?；谧兎諴DE圖像修補(bǔ)技術(shù)對處理照片中的劃痕等小尺度損傷有較好的復(fù)原效果，但當(dāng)圖像受損面積擴(kuò)大或者受損程度復(fù)雜以后，修復(fù)效果就會下降。由于該算法的修復(fù)靈魂是擴(kuò)散，也就是將破損區(qū)域周邊的的信息擴(kuò)散到破損區(qū)域中，進(jìn)而達(dá)到修復(fù)的目的。當(dāng)遇到破損區(qū)域較寬或存在豐富紋理，完成修復(fù)后的圖像就會變得模糊不清。而且此項(xiàng)技術(shù)的自動化比較差，不能自動尋找需要修復(fù)的破損區(qū)域。所以，無論是修復(fù)效果還是自動化程度都將是以后研究和突破的主要方向。期望通過自己的努力使得數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)在西藏壁畫數(shù)字文物保護(hù)中得到廣泛的應(yīng)用。

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