馬崇啟，胡傳勝，張振波

（天津工業(yè)大學(xué) 紡織學(xué)部，天津 300387）

基于貝塞爾曲線的機(jī)織物三維模擬方法

馬崇啟，胡傳勝，張振波

（天津工業(yè)大學(xué) 紡織學(xué)部，天津 300387）

通過對(duì)織物中紗線幾何結(jié)構(gòu)的分析，提出一種基于Bezier曲線的紗線軸心曲線計(jì)算方法.該方法將一個(gè)循環(huán)內(nèi)的紗線分為2段，然后根據(jù)織物組織結(jié)構(gòu)特點(diǎn)確定待求紗線軸心線上的特征點(diǎn)，接著通過這些特征點(diǎn)反求出第一段軸心線的Bezier控制點(diǎn)，再根據(jù)Bezier曲線的光滑拼接條件及已知特征點(diǎn)，計(jì)算出第二段軸心線的Bezier控制點(diǎn)，從而建立一個(gè)循環(huán)紗線的軸線曲線方程.在此基礎(chǔ)上，采用放樣建模方法建立機(jī)織物中紗線的三維幾何模型，為機(jī)織物的三維模擬奠定基礎(chǔ).該方法計(jì)算簡便，模擬效果直觀，便于實(shí)時(shí)調(diào)整.

Bezier曲線；紗線軸心線；三維紗線建模；放樣建模

織物模擬一直是紡織CAD研究領(lǐng)域的一個(gè)重要和熱點(diǎn)內(nèi)容，而作為交織成織物的紗線的模擬仿真是模擬逼真織物效果的基礎(chǔ)[1]，尤其是在三維織物模擬中，建立較好的紗線形態(tài)和外觀模型是進(jìn)行織物模擬的第一步.目前有很多織物CAD軟件都能夠?qū)崿F(xiàn)織物外觀的模擬，但絕大多數(shù)都是2D模擬，而且模擬效果并不理想，因此，越來越多的人開始研究3D紗線和織物模擬，以期能夠更加真實(shí)地模擬出織物中紗線的空間形態(tài)和接近真實(shí)視覺效果的織物模擬圖[1].鄭天勇等[1]對(duì)機(jī)織物中三維紗線的建模方法進(jìn)行了研究，其重點(diǎn)討論了使用NURBS曲面來模擬紗線的表面，并使用紋理映射的方法來模擬紗線表面的粗糙度、捻度等外觀效果，模擬效果較好，但并未給出織物中紗線空間屈曲形態(tài)的建模方法.馬凌洲[2]在Peirce紗線模型的基礎(chǔ)上提出了一種由分段函數(shù)表示的數(shù)學(xué)模型，該模型考慮了織物的緊密程度、組織結(jié)構(gòu)、紗線直徑等，建立了紗線屈曲形態(tài)的分段函數(shù)表示式，但對(duì)于紗線截面則采用圓形來處理，有待改進(jìn).祝雙武等[3]探討了采用Bezier曲線和柏林噪聲函數(shù)來模擬紗線二維扭曲形態(tài)和毛羽的方法，該方法僅限于單根紗線形態(tài)模擬，并不適用于模擬織物中紗線的屈曲形態(tài).張瑞云等[4]也對(duì)基于Bezier曲線的紗線建模方法進(jìn)行了討論，但其并未給出具體數(shù)學(xué)模型，而且并未就曲線的光滑拼接作出說明.本文在以上研究基礎(chǔ)上提出了一種簡單有效的模擬方法，即將一個(gè)組織循環(huán)內(nèi)紗線分為2段進(jìn)行研究，用三次Bezier曲線進(jìn)行擬合，通過紗線軸心線上的特征點(diǎn)反求出Bezier控制點(diǎn)，并實(shí)現(xiàn)2段曲線的光滑拼接.本文還介紹了紗線放樣建模方法，并在VC++6.0和openGL編程環(huán)境中進(jìn)行了三維紗線和織物模擬.

1 基于Bezier曲線確定紗線軸心線曲線方程

1.1 Bezier曲線的定義

Bezier曲線是一種樣條線，它的數(shù)學(xué)定義最早由法國雷諾汽車公司工程師Bezier提出[5].Bezier曲線是一種參數(shù)多項(xiàng)式曲線，它是由一組控制點(diǎn)惟一定義的，其參數(shù)方程表示如下：

公式（1）是一個(gè)n次多項(xiàng)式，具有n+1項(xiàng)，n+1是控制點(diǎn)的個(gè)數(shù).因此，控制點(diǎn)越多，該方程的次數(shù)越高.

p（t）是通過計(jì)算得來的曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)（向量）.將這些點(diǎn)連接起來就可以得到平滑的Bezier曲線.其中pk（xk，yk，zk）表示第k個(gè)控制點(diǎn)坐標(biāo)（向量形式）.

BENk，n（t）是Bernstein基函數(shù)，其函數(shù)式如下：

式中：k=0，1，2，…，n，且當(dāng)k=0，t=0時(shí)，tk=1，k!=1.

參數(shù)t在[0，1]區(qū)間取值，t每取一個(gè)值，便可由公式（1）、（2）計(jì)算得到一個(gè)點(diǎn)p（t），即曲線上的一個(gè)節(jié)點(diǎn).當(dāng)t取0時(shí)，p（t）等于一個(gè)控制點(diǎn)P0，當(dāng)t取1時(shí)，p（t）等于最后一個(gè)控制點(diǎn)Pn.曲線上的點(diǎn)p（t）與t的取值一一對(duì)應(yīng)，因此，t取值個(gè)數(shù)的多少?zèng)Q定得到的節(jié)點(diǎn)p（t）的個(gè)數(shù)，也就決定著曲線的平滑度.t的取值越多，曲線也就越平滑.Bezier曲線示意圖如圖1所示.

圖1 Bezier曲線示意圖Fig.1 Bezier curve schematic diagram

由以上定義不難看出，Bezier曲線上每個(gè)點(diǎn)均可由控制點(diǎn)坐標(biāo)加權(quán)計(jì)算而來，加權(quán)值由 t值和Bernstein基函數(shù)確定.

1.2 建立紗線軸心線模型

理論上，可以用任意數(shù)目的控制點(diǎn)逼近出一條Bezier曲線，但是高次Bezier曲線計(jì)算比較復(fù)雜，而且還有許多問題有待于理論上解決.因此，實(shí)際應(yīng)用中往往使用三次Bezier曲線拼接的方法來定義曲線[5].

本文亦采用2段三次Beizer曲線拼接的方法來描述織物中一個(gè)組織循環(huán)內(nèi)紗線的軸心曲線.需要注意的是，為了使曲線在拼接處光滑，必須滿足2個(gè)條件[5]：①前一段Bezier曲線的末點(diǎn)必須和后一段Bezier曲線的起點(diǎn)重合（即拼接點(diǎn)）；②拼接點(diǎn)必須與其兩側(cè)相鄰的控制點(diǎn)滿足三點(diǎn)共線.

考慮到以上條件，確立計(jì)算過程如下：根據(jù)織物中組織點(diǎn)上下交錯(cuò)規(guī)律將一個(gè)組織循環(huán)的紗線分為2段進(jìn)行研究，根據(jù)紗線的幾何結(jié)構(gòu)關(guān)系，確定紗線軸心線上幾個(gè)特征點(diǎn)，然后由這些特征點(diǎn)反算出Bezier控制點(diǎn)，從而得到第一段Bezier曲線.然后，根據(jù)曲線光滑拼接的條件，計(jì)算出第二段Bezier曲線的控制點(diǎn).這樣就能得到2段軸心線的方程，并且實(shí)現(xiàn)2段軸心線的光滑拼接.模型示意圖如圖2所示.

圖2 織物經(jīng)向截面示意圖（一個(gè)組織循環(huán)）Fig.2 Fabric warp yarn direction cross diagram

本文以3/1斜紋組織織物為例進(jìn)行分析，圖2中屈曲的為經(jīng)紗.X軸和左起第一根緯紗截面橫軸重合，X軸與經(jīng)紗軸心曲線交于點(diǎn)S0、S2、S4，令S0為坐標(biāo)原點(diǎn)，并以點(diǎn)S2為分界點(diǎn)將經(jīng)紗分為2段進(jìn)行分析，同時(shí)假設(shè)2段紗線屈曲形態(tài)為軸對(duì)稱，其對(duì)稱軸與經(jīng)紗軸心曲線的交點(diǎn)分別為S1、S3.

1.2.1 經(jīng)紗軸心線上特征點(diǎn)的確定

圖2中，L表示一個(gè)組織循環(huán)內(nèi)的經(jīng)紗在水平方向的長度；Rw表示一個(gè)組織循環(huán)緯紗數(shù)，本例為4；Pw表示緯密（根/10 cm）.因此L=（100/Pw）×Rw.由于計(jì)算中用到的經(jīng)密Pj、緯密Pw是考慮織造縮率后的實(shí)際經(jīng)緯密度值，所以計(jì)算結(jié)果更加接近真實(shí)情況.

L1、L2分別為點(diǎn)S0S2、S2S4之間的水平距離，并將其值做近似處理，分別令L1=（Rj1/Rj）×L，L2=（Rj2/Rj）×L.其中：Rj表示一個(gè)組織循環(huán)經(jīng)紗數(shù)；Rj1表示一個(gè)組織循環(huán)中的緯組織點(diǎn)數(shù)；Rj2表示一個(gè)組織循環(huán)的經(jīng)組織點(diǎn)數(shù).對(duì)于本例，Rj=4，Rj1=1，Rj2=3.

點(diǎn)S1、S3的坐標(biāo)計(jì)算式如下：

式中：Dhj、Dhw分別表示經(jīng)緯紗截面高度（計(jì)算方法見下文1.2.4）；hj表示經(jīng)紗屈曲波高.

通過對(duì)織物中紗線的幾何結(jié)構(gòu)分析，經(jīng)紗軸心線上的特征點(diǎn)便可確定，接下來便可根據(jù)這些點(diǎn)反算出Beizer曲線的控制點(diǎn).

1.2.2 計(jì)算第一段經(jīng)紗軸心線的控制點(diǎn)

第一段Bezier曲線的控制點(diǎn)為P0、P1、P2、P3，由Bezier曲線的性質(zhì)可知，P0、P3必然與第一段曲線的起始點(diǎn)S0、終點(diǎn)S2重合.并且由公式（1）可知，當(dāng)t分別取t0=0，t1=0.5，t2=1時(shí)，計(jì)算得到得點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)為S0、S1、S2.根據(jù)文獻(xiàn)[6]，采用最小二乘法擬合即可反求出另外2個(gè)控制點(diǎn)P1、P2.

計(jì)算公式為：

式（4）分別對(duì)P1、P2求導(dǎo)，并滿足

0，即可求的點(diǎn)P1和P2.

1.2.3 計(jì)算第二段經(jīng)紗的軸心線的控制點(diǎn)

第二段軸心曲線的控制點(diǎn)分別為T0、T1、T2、T3，由Bezier曲線光滑拼接條件①可知，第二段曲線的第一個(gè)控制點(diǎn)T0=P3.另外，它的最后一個(gè)控制點(diǎn)T3與曲線終點(diǎn)S4重合.因此，求出T1、T2即可，如圖3所示.

圖3 經(jīng)紗軸心線控制點(diǎn)示意圖Fig.3 Bezier control points of warp yarn axis curve diagram

根據(jù)Bezier曲線光滑拼接條件②，前后2段曲線的控制點(diǎn)P2、P3（T0）、T1必須共線，為此，令T1=T0+G×R，R值待求.對(duì)于第二段Bezier曲線，t0= 0，t1=0.5，t2=1分別對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)S2、S3、S4.同上所述方法，得到公式（5）：

式（5）分別對(duì)R、T2求導(dǎo)，并令可求得R、T2，由T1=T0+G×R可求出T1.

至此，便分別得到了2段紗線軸心線的控制點(diǎn)，并且由這些控制點(diǎn)定義的2段曲線能夠光滑的拼接成一個(gè)循環(huán)的紗線軸心線.同時(shí)由于曲線的對(duì)稱性，所以多個(gè)循環(huán)之間的拼接亦是光滑的.

1.2.4 織物中紗線截面形態(tài)的確定

因?yàn)榭椢镏屑喚€的交織和擠壓，紗線截面處于一種被壓扁的狀態(tài).根據(jù)改進(jìn)的Peirce織物模型，本文選取橢圓形截面進(jìn)行模擬，壓扁示意圖如圖4所示.

圖4 織物中紗線的壓扁示意圖Fig.4 Yarn flattening schematic diagram

壓扁后的紗線截面高度Dh=D×η（紗線壓扁系數(shù)），Dw=D×δ（紗線延寬系數(shù)）.η和δ分別由實(shí)驗(yàn)測定或根據(jù)經(jīng)驗(yàn)值給出.

2 建立三維紗線模型

確定了紗線的軸心曲線和紗線截面形態(tài)以后，便可建立紗線的三維模型.本文采用放樣建模方法.它是一種基于路徑和截面的建模方法，即截面沿著路徑移動(dòng)并重復(fù)繪制便可形成一個(gè)三維圖形[6].

根據(jù)放樣建模思路，在進(jìn)行紗線計(jì)算機(jī)模擬時(shí)，需要計(jì)算軸心線上點(diǎn)的切向量，并將切向量歸一化后指定為該點(diǎn)處紗線截面的法向量.基于該法向量，將紗線截面進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，平移、復(fù)制到該點(diǎn)處.紗線截面的旋轉(zhuǎn)、平移涉及坐標(biāo)矩陣的計(jì)算，此處不做詳細(xì)說明.重復(fù)以上步驟即可得到一些列沿紗線軸心線排列的截面，最后將各截面依次連接起來便形成了完整的三維紗線外觀.建模過程如圖5所示.

圖5 三維紗線放樣建模示意圖Fig.5 3D yarn modeling diagram

紗線表面平滑度取決于截面的多少，截面越多，紗線外觀越平滑，但是計(jì)算量也會(huì)越大.所以，編寫OpenGL繪圖程序時(shí)應(yīng)選取適當(dāng)?shù)闹?

3 紗線及織物模擬效果圖

根據(jù)上述分析，本文對(duì)一種規(guī)格的牛仔面料進(jìn)行了模擬，模擬過程及效果圖如圖6~圖8所示.

圖6 一個(gè)循環(huán)的經(jīng)線軸心線及其控制點(diǎn)Fig.6 One repeat of yarn and it′s control points

圖7 經(jīng)紗模型Fig.7 Warp yarn medel

圖8 三維織物模擬圖Fig.8 3D fabric simulation

牛仔面料規(guī)格為：383 g純棉牛仔面料，經(jīng)緯紗細(xì)度均為84 tex，經(jīng)緯密度分別為283根/10 cm，173根/ 10 cm，幅寬為147~152 cm，3/1右斜紋，藍(lán)色.

4 結(jié)束語

本文對(duì)織物中紗線的幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析和計(jì)算，給出了紗線軸心線上幾個(gè)特征點(diǎn).根據(jù)這些特征點(diǎn)并基于Bezier曲線先后計(jì)算得出2段紗線的軸心線控制點(diǎn)，然后將2段曲線拼接成一個(gè)完整循環(huán)的紗線軸心曲線.由于計(jì)算時(shí)考慮了Bezier曲線光滑拼接的條件，并且假設(shè)紗線具有對(duì)稱性，所以保證了紗線軸心曲線的光滑性.最后經(jīng)實(shí)例模擬可見，模擬效果基本上能夠反映紗線在織物中的屈曲形態(tài)，取得了預(yù)期效果.

該方法在模擬一些單層的、具有簡單組織結(jié)構(gòu)的織物時(shí)較為可行，但是對(duì)于復(fù)雜織物還有待完善，比如多層織物，浮長線比較長的織物.另外，本文只探討了織物中紗線因組織點(diǎn)變化而產(chǎn)生的上下屈曲形態(tài)，并未考慮由于同系統(tǒng)紗線之間的相互擠壓及與另一系統(tǒng)紗線的作用而導(dǎo)致紗線側(cè)向扭曲，對(duì)紗線表面粗糙度、捻度、毛羽的模擬也暫未涉及，在后續(xù)研究中將會(huì)進(jìn)一步完善.

[1] 鄭天勇，黃故.機(jī)織物中紗線3D模型的建立[J].紡織學(xué)報(bào)，2002，23（2）：93-95.

[2] 馬凌洲.計(jì)算機(jī)輔助織物創(chuàng)新設(shè)計(jì)與制作系統(tǒng)的研究與實(shí)現(xiàn)[D].杭州：浙江大學(xué)，2005：62-69.

[3] 祝雙武，韓惠民，任亮.基于貝塞爾曲線及柏林噪聲模型的紗線外觀仿真[J].西安工程大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，23（1）：23-25.

[4] 張瑞云，黃新林，李汝勤.機(jī)織物的計(jì)算機(jī)三維模擬[J].紡織學(xué)報(bào)，2005，26（1）：62-63.

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[6]亓鑫輝.ds Max火星課堂[M].北京：人民郵電出版社，2011：18.

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3D weave fabric simulation method based on Bezier curve

MA Chong-qi，HU Chuan-sheng，ZHANG Zhen-bo
（School of Textiles，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

A yarn axis curve calculation method based on the Bezier curve is put forward according to yarn geometrical structure in the weave.This method divides one repeat of the yarn into two sections,and then works out the feature points in the yarn axis.Afterwards,figures out the Bezier control points of the first section axis,then according to the Bezier curve smooth splicing conditions and the feature points,calculates the second section axis Bezier control points.At last,one repeat of the yarn axis curve is established.On the basis of the yarn axis curve, using lofting modeling method to simulate 3D yarn in the weave fabric,which sets the foundation for 3D weave fabric simulation.This method is simple and the simulation effect is visualized,so it′s convenient for real-time adjustment.

Bezier curve；yarn axis；3D yarn modeling；lofting modeling

TS106.4

：A

：1671-024X（2013）01-0018-04

2012-09-28

馬崇啟（1964—），男，教授，碩士生導(dǎo)師.E-mail：tjmcq@tjpu.edu.cn