岳轉(zhuǎn)林，閆學(xué)群

(天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300387)

耗散系統(tǒng)中原子與場熵交換的條件

岳轉(zhuǎn)林，閆學(xué)群

(天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300387)

研究了耗散場腔中，二能級原子與單模輻射場在相互作用過程中熵的關(guān)聯(lián)情況.結(jié)果表明：原子與耗散場之間存在熵交換現(xiàn)象，更重要的是證明了它們之間的熵交換需要滿足一定的條件.

耗散系統(tǒng)；耗散腔；原子與場；熵交換

熵交換可以說明量子系統(tǒng)由純態(tài)變?yōu)榛旌蠎B(tài)時損失的有效信息.Jaynes-Cummings（J-C）模型是一種描述原子與場相互作用的理想量子動力學(xué)模型[1-3].因而，該模型中原子與場相關(guān)聯(lián)的熵演化現(xiàn)象已經(jīng)成為量子信息學(xué)的研究熱點(diǎn)[4-8].Phoenix等[9]研究了純態(tài)下原子與場相關(guān)聯(lián)的熵演化現(xiàn)象，并證明原子與場兩子系統(tǒng)的約化熵在演化過程中始終相等.之后，很多科學(xué)家對原子與場處于混合態(tài)時的狀況進(jìn)行了深入研究.Boukobza等[10]發(fā)現(xiàn)原子與場的初態(tài)均處于混合態(tài)時，它們的約化熵不一定相等，并在一定條件下發(fā)生熵交換，兩者之間出現(xiàn)反相關(guān)聯(lián)的現(xiàn)象[10].文獻(xiàn)[11]研究了非線性強(qiáng)度相關(guān)耦合的J-C模型中的熵關(guān)聯(lián)現(xiàn)象，結(jié)果發(fā)現(xiàn)熵交換只與原子和場的初始態(tài)選擇有關(guān)，與場的非線性量和非線性耦合系數(shù)均無關(guān).然而這些研究忽略了場腔的耗散對子系統(tǒng)熵交換的影響[12].在實(shí)際情況中，原子與場相互作用系統(tǒng)的熵在演化過程中總會隨著場的能量損耗而改變.因此，研究耗散腔中原子與場的熵交換更有實(shí)際意義[13-15].本文考慮了場腔耗散的影響，利用解線性微分方程組的方法，對共振情況下的二能級原子和耗散場相互作用體系的劉維方程進(jìn)行精確求解，計(jì)算原子與耗散場約化熵，并利用數(shù)值結(jié)果討論原子與耗散場的熵交換條件.

1 理論計(jì)算

量子系統(tǒng)的熵定義為：

為了研究原子與場之間的熵關(guān)聯(lián)，必須計(jì)算出原子和場的約化熵.以下標(biāo)記兩個子系統(tǒng)為a和f，兩個子系統(tǒng)總的密度算符為，子系統(tǒng)的密度算符為和子系統(tǒng)的密度算符由下式給出：

因此兩個子系統(tǒng)的熵分別為：

式中：γ為耗散系數(shù).將方程（5）、（8）代入方程（9）中，可以計(jì)算得到系統(tǒng)的密度算符的表達(dá)式（為簡單起見而又不失一般性，令ω-ω0=0）：

其中λ1（t），λ2（t），λf（t）是原子和場的密度算符的本征值.由（10）、（11）、（12）、（13）、（14）式即可求得原子和場密度算符的本征值分別為：

2 數(shù)值分析

通過以上理論計(jì)算，分析現(xiàn)有模型中原子和場的熵變換的數(shù)值結(jié)果，進(jìn)而證明在一定條件下，原子與場的熵交換是反相關(guān)聯(lián)的.圖1所示為當(dāng)κ/γ=20時部分熵ΔS隨時間比的變化趨勢.

圖1 當(dāng)κ/γ=20時部分熵ΔS隨時間變化的趨勢Fig.1 Change of partial entropy ΔS with time for κ/γ=20

圖1（a）所述為當(dāng)場的初始態(tài)為弱激發(fā)熱態(tài)m= 0.2、原子的初始態(tài)為混合態(tài)Pe=0.9時原子與場的熵變化ΔS（t）隨時間γt變化的趨勢.可以看出，隨時間γt的增加，原子與場的熵變化趨勢逐漸不同，這與孤立系統(tǒng)中原子與場的熵變化是同時上升或者是同時下降的變化趨勢有所不同.這是由于耗散場要向外界不斷地輻射光子，致使場的熵增加得快一些.這與熱力學(xué)中的熵增加原理完全相符.圖1（b）中Pe=0.2，m=0.3，可以清楚看到原子與場的熵變化呈現(xiàn)相反的變化趨勢，ΔSa+ΔSf也呈振蕩變化.當(dāng)Pe和m取合適的值時，ΔSa+ΔSf的圖像是一條光滑的曲線，變化方向與場約化熵的變化方向相同.

選擇原子與場的熵交換呈現(xiàn)反相關(guān)聯(lián)時對應(yīng)的Pe和m的值，將這些值擬合成一條曲線，如圖2所示.

圖2 場的熵變化量大于原子的熵變化量Fig.2 Field entropy change is larger than that atomic

圖2中，固定Pe的值不變，減小m的值，場熵是負(fù)值，原子熵是正值，即這些點(diǎn)落到A區(qū)域，ΔSf＜0，ΔSa＞0；增大m的值，這些點(diǎn)落到B區(qū)域，ΔSf＞0，ΔSa＜0.圖2曲線與無耗散項(xiàng)曲線上的點(diǎn)都代表原子與場的熵交換時對應(yīng)的Pe和m的值，但這些點(diǎn)代表的物理意義有所不同.無耗散項(xiàng)曲線上的點(diǎn)表示原子與場熵變化量之和是相等的，即

而本文討論的有耗散項(xiàng)曲線上的點(diǎn)代表的是原子的熵變化量小于場的熵變化量.因?yàn)?，本文的量子系統(tǒng)是開放系統(tǒng)，隨著時間t的變化，腔中有光子向外輻射，場熵的增加要比原子熵的增加快一些，即

證明：為不失一般性，選擇一點(diǎn)Pe=0.36，對應(yīng)圖2中曲線上的m值，m值介于1.28和1.29之間.當(dāng)κ/ γ=20，Pe=0.36時原子與場的熵交換呈反相關(guān)聯(lián)的趨勢，如圖3所示.圖3（a）中當(dāng)m=1.28時，場熵變化是負(fù)值（ΔSf＜0），原子的熵變化為正值（ΔSa＞0）.圖3（b）中當(dāng)m=1.29時，原子和場發(fā)生了熵交換，場的熵變化是正值（ΔSf＞0）），原子的熵變化是負(fù)值（ΔSa＜0）.同時可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)場的熵變化是正值時，ΔSa+ΔSf＞0，當(dāng)場的熵變化是負(fù)值時，ΔSa+ΔSf＜0.也就是說，當(dāng)Pe和m取不同的適當(dāng)?shù)闹禃r，都會存在場熵變化量的絕對值總是大于原子熵變化量的絕對值.故而可以證明場熵的增加要比原子的熵增加快一些，即

用本文理論計(jì)算結(jié)果作圖時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Pe的值一定時，改變m的值，總會出現(xiàn)原子與場熵交換現(xiàn)象，但是當(dāng)Pe值大于0.45時，原子與場熵的圖像相交錯亂.改變m值，很難出現(xiàn)原子與場的熵交換的情況.因此，可以得出這樣一個結(jié)論：在耗散腔中，存在原子與場發(fā)生完全熵交換的條件為0＜Pe＜0.45，0＜m＜5.耗散系數(shù)的大小不會影響原子和場的熵交換，只會增強(qiáng)原子與場熵的振蕩頻率，如圖4所示.

圖3 當(dāng)κ/γ=20時原子和場的熵變化Fig.3 Partial entropy change for κ/γ=20

圖4 κ/γ=1 000時，Pe=0.36，m=1.29原子與場的熵變化Fig.4 Partial entropy change for atom in a mixed state(Pe= 0.36)and field in state m=1.29,with κ/γ=1 000

3 結(jié)論

利用J-C模型，研究了含有耗散項(xiàng)的二能級原子和單模場的熵變換，發(fā)現(xiàn)兩者的熵變化存在正相關(guān)聯(lián)和反相關(guān)聯(lián).這與無耗散項(xiàng)的二能級原子和單模場的熵關(guān)聯(lián)是一致的，只是在含有耗散項(xiàng)模型的演化過程中，原子與場的熵變化的幅度逐漸減小.當(dāng)原子與場的熵交換時，無耗散項(xiàng)的原子與場的熵變化的總和是不變的；而在耗散腔的模型中，由于耗散腔不斷向外輻射光子，由熵增加原理可知，場的熵變化要比原子的熵變化快一些.通過數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)原子與場的熵交換的條件為：0＜Pe＜0.45，0＜m＜5，在這個范圍內(nèi)，只要選擇適當(dāng)原子初態(tài)和場的平均光子數(shù)，就可以使得原子的熵和場的熵交換，即兩者呈反相關(guān)的關(guān)系.最后還說明了耗散系數(shù)不會影響原子與場的熵交換的條件，只會增加熵變化的振蕩頻率.

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Condition for entropy exchange between atom and field in damped system

YUE Zhuan-lin，YAN Xue-qun
（School of Science，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China）

The entropy exchange between a tow-level atom and a single-mode radiation field is studies in a damped system. The results show that there is an entropy exchange phenomenon between atom and field.Especially，it is prove that there is a condition for entropy exchange between atom and damped field.

damped system；damped field；atom and filed；entropy exchange

O413.1

A

1671－024X（2013）06－0081－04

2012-05-20

國家自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目（51108314）

岳轉(zhuǎn)林（1986—），女，碩士研究生.

閆學(xué)群（1963—），男，博士，教授，碩士生導(dǎo)師.E-mail：xqyan867@tom.com