馬 輝，能海強(qiáng)，宋溶澤，張 志，聞邦椿

（東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng)110819）

基于變厚度殼單元的旋轉(zhuǎn)葉片固有特性分析

馬 輝，能海強(qiáng)，宋溶澤，張 志，聞邦椿

（東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng)110819）

針對(duì)1個(gè)扭型、變截面旋轉(zhuǎn)葉片，基于A N SY S有限元軟件，采用變厚度殼單元來(lái)模擬真實(shí)葉片的方法建模，并與實(shí)體單元模型對(duì)靜頻和固有振型進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該建模方法的準(zhǔn)確性；在此基礎(chǔ)上分析了科氏力、旋轉(zhuǎn)軟化、離心剛化以及三者耦合對(duì)葉片動(dòng)頻特性的影響規(guī)律；基于殼單元?jiǎng)宇l數(shù)據(jù)，對(duì)現(xiàn)在常用的動(dòng)頻系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式的適用性進(jìn)行了簡(jiǎn)單評(píng)價(jià)。研究結(jié)果表明：2種模型的動(dòng)頻規(guī)律一致，對(duì)系統(tǒng)影響由大到小依次為離心剛化、旋轉(zhuǎn)軟化和科氏力；葉片A 0振型的動(dòng)頻系數(shù)吻合較好，A 1振型的反之。

旋轉(zhuǎn)葉片；固有特性；殼單元；A N SY S；動(dòng)頻

0 引言

旋轉(zhuǎn)葉片的振動(dòng)和疲勞損傷故障是航空發(fā)動(dòng)機(jī)中較為嚴(yán)重的問(wèn)題。一般說(shuō)來(lái)，研究透平機(jī)械葉片的振動(dòng)問(wèn)題首先需研究其固有特性，從而據(jù)此對(duì)葉片進(jìn)行振動(dòng)測(cè)試和故障診斷，旋轉(zhuǎn)葉片的固有特性主要指動(dòng)頻特性和相應(yīng)的模態(tài)振型[1]。葉片高速旋轉(zhuǎn)時(shí)受到離心應(yīng)力和科氏力的作用，產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)軟化和應(yīng)力剛化效應(yīng)，因而在葉片固有特性分析時(shí)必須考慮這些因素。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者針對(duì)葉片固有特性的分析作了大量研究工作。如采用梁?jiǎn)卧獊?lái)模擬葉片進(jìn)行固有頻率和振動(dòng)響應(yīng)分析[2-5]。但由于梁模型忽略了葉片弦向的彎曲變形，順翼展方向的變形并且扭轉(zhuǎn)也涉及得很少，對(duì)于典型的非對(duì)稱(chēng)葉片不能精確計(jì)算葉片局部應(yīng)力和變形，而對(duì)于短葉片的分析精度也達(dá)不到要求[6]。因此一些學(xué)者提出采用板、殼結(jié)構(gòu)來(lái)模擬葉片[7-11]。但由于真實(shí)葉片一般為空間變截面且?guī)в蓄A(yù)扭角的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，將葉片考慮為梁或板殼會(huì)帶來(lái)較大誤差，于是很多學(xué)者采用真實(shí)葉片的實(shí)體有限元模型來(lái)計(jì)算葉片的動(dòng)力學(xué)特性[12-14]。由于梁忽略了弦向變形，故不適合模擬短葉片，采用實(shí)體單元模擬真實(shí)葉片需要耗費(fèi)較大的計(jì)算機(jī)資源；而采用變厚度的殼單元，不僅可以節(jié)省計(jì)算機(jī)資源，還可以分析帶扭型的變截面葉片。

本文以1個(gè)帶扭型的變截面旋轉(zhuǎn)葉片為研究對(duì)象，基于ANSYS有限元軟件，采用變厚度的殼單元建立葉片有限元模型，并與實(shí)體單元模型進(jìn)行對(duì)比，通過(guò)靜頻、固有振型和動(dòng)頻的對(duì)比結(jié)果，驗(yàn)證建模方法的正確性，并分析不同影響因素對(duì)葉片動(dòng)頻的影響。

1 旋轉(zhuǎn)葉片振動(dòng)的有限元?jiǎng)恿W(xué)方程

旋轉(zhuǎn)葉片振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

令C1=C+G，K1=K+S-Kspin，則旋轉(zhuǎn)葉片的自由振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程可化為

當(dāng)葉片轉(zhuǎn)速不為0時(shí)，由式（2）可知，由于旋轉(zhuǎn)葉片自由振動(dòng)方程中存在不對(duì)稱(chēng)的科氏力矩陣，導(dǎo)致方程不能通過(guò)經(jīng)典的振型分解法解耦，利用復(fù)模態(tài)理論求解系統(tǒng)特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。

令u=Φξ，Φ為與M矩陣正交的特征向量矩陣，ξ為模態(tài)坐標(biāo)向量。將其代入式（2）可得

式中：Λ2為包含前i階特征值ωi的對(duì)角陣；ΦTKunsymΦ為不對(duì)稱(chēng)模態(tài)剛度矩陣。

通過(guò)引入2i維狀態(tài)向量的方法，式（3）可寫(xiě)為

通過(guò)QR算法和逆迭代法可計(jì)算復(fù)模態(tài)子空間特征值，而原系統(tǒng)的復(fù)特征向量為

2 基于變厚度殼單元葉片有限元模型

由于真實(shí)葉片為變截面扭形葉片，基于ANSYS有限元軟件，通過(guò)抽取葉片中面數(shù)據(jù)，根據(jù)葉片型線數(shù)據(jù)，將葉片的厚度δ擬合為隨空間位置變化的變量，進(jìn)而將葉片簡(jiǎn)化為變厚度的殼單元。采用Shell181殼單元來(lái)模擬變厚度扭形葉片，此單元具有4個(gè)結(jié)點(diǎn)，分別有6個(gè)自由度，即沿χ、y、z方向的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，適合分析薄及中等厚度的板殼結(jié)構(gòu)零件，并支持線性、大扭轉(zhuǎn)和大應(yīng)變、變厚度、非線性等分析。將δ擬合為

式中系數(shù)見(jiàn)表1。

表1 葉片厚度表達(dá)式系數(shù)

3 實(shí)體單元和殼單元的靜動(dòng)頻特性對(duì)比分析

3.1 靜頻特性對(duì)比

為驗(yàn)證變厚度殼模型的準(zhǔn)確性，本文通過(guò)實(shí)體單元和殼單元進(jìn)行靜、動(dòng)頻特性對(duì)比。采用9個(gè)截面型線數(shù)據(jù)來(lái)繪制變截面扭形實(shí)體葉片，如圖1（a）所示，根據(jù)實(shí)際葉片數(shù)據(jù)抽取葉片沿厚度方向的中截面數(shù)據(jù)，選取7個(gè)中截面型線數(shù)據(jù)，如圖1（b）所示。對(duì)于實(shí)體葉片的建模采用20節(jié)點(diǎn)3維實(shí)體單元Soild186，殼葉片的建模采用4節(jié)點(diǎn)殼單元Shell181，劃分的有限元網(wǎng)格如圖2所示。約束形式采用葉身根部全固支。本文所選用的葉片數(shù)據(jù)如下：葉片彈性模量 E=1.25×1011Pa，密度ρ=4370 kg/m3，泊松比υ=0.3，圓盤(pán)半徑R=216.52 mm， 葉片工作轉(zhuǎn)速Ω=15000 r/min。

圖1 葉片幾何模型

不考慮轉(zhuǎn)速的影響，分別計(jì)算實(shí)體單元和殼單元模型的固有頻率，見(jiàn)表2。從表2中可見(jiàn)，采用變厚度殼單元和實(shí)體單元計(jì)算的葉片靜頻具有很好的一致性，前6階固有頻率的誤差均小于1%，且振型完全一致。限于篇幅本文只給出了前3階的固有振型，如圖3、4所示。通過(guò)對(duì)比可知2種建模所描述的振型完全一致，這也證明了在計(jì)算葉片靜頻時(shí)，采用變厚度殼單元完全可行。下文考慮轉(zhuǎn)速的影響，再對(duì)比二者的動(dòng)頻特性。

表2 實(shí)體單元和殼單元靜頻對(duì)比

圖3 葉片靜止工況下振型(Solid186)

圖4 葉片靜止工況下振型(Solid181)

3.2 動(dòng)頻特性對(duì)比

對(duì)模型施加轉(zhuǎn)速ω=0～20000 r/min(每間隔1000 r/min為1個(gè)計(jì)算點(diǎn))，考慮離心剛化效應(yīng)、旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)、科氏力影響以及三者耦合影響下，分析實(shí)體單元和殼單元的前6階動(dòng)頻特性（f1～f6），如圖5所示。圖中：A表示僅考慮離心剛化的影響，B表示考慮離心剛化、旋轉(zhuǎn)軟化和科氏力耦合影響，C表示僅考慮科氏力影響，D表示僅考慮旋轉(zhuǎn)軟化影響；下標(biāo)1、2分別表示實(shí)體單元和殼單元。從圖中可見(jiàn)，對(duì)于實(shí)體單元和殼單元而言，第1～4和6階所顯示的動(dòng)頻特性趨勢(shì)完全相同，科氏力對(duì)動(dòng)頻幾乎沒(méi)有影響；旋轉(zhuǎn)軟化均使動(dòng)頻減小，且主要影響第1階動(dòng)頻；離心剛化對(duì)系統(tǒng)動(dòng)頻影響最大，且主要影響彎曲固有頻率；考慮耦合影響的葉片動(dòng)頻略小于離心剛化影響下的動(dòng)頻。第5階實(shí)體單元的規(guī)律基本與其余5階的規(guī)律一致，但殼單元卻出現(xiàn)了不一致：殼單元模型在離心剛化作用下，出現(xiàn)了頻率降低現(xiàn)象。雖然隨轉(zhuǎn)速變化動(dòng)頻變化規(guī)律不同，但二者實(shí)際差值并不大，之所以出現(xiàn)動(dòng)頻規(guī)律差異，主要因?yàn)榇穗A振型為彎扭耦合振型，而在計(jì)算精度上殼單元要略差于實(shí)體單元所致。

圖5 考慮離心剛化、旋轉(zhuǎn)軟化、科氏力以及三者耦合影響下實(shí)體單元和殼單元?jiǎng)宇l對(duì)比

從以上分析可知，除較為復(fù)雜的彎曲耦合振型外，采用變厚度殼單元可以很好地模擬真實(shí)葉片的動(dòng)頻特性，靜頻的前6階固有頻率與實(shí)體單元計(jì)算誤差都小于1%，證明了變厚度殼單元的精度很高。而且由于殼單元模型的單元數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)要比實(shí)體單元少很多，所以殼單元模型能節(jié)省很多計(jì)算時(shí)間，因此在高效性上，殼單元要優(yōu)于實(shí)體單元。當(dāng)然在考慮某些因素對(duì)動(dòng)頻的影響時(shí)，實(shí)體單元和殼單元還存在一些微小差異，如：考慮旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)時(shí)，對(duì)比第1階固有頻率，對(duì)實(shí)體單元的影響更為明顯。

4 常用動(dòng)頻系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式適用性分析

文獻(xiàn)[15-16]給出動(dòng)頻fd和靜頻fs之間的關(guān)系式

式中：B為葉片動(dòng)頻系數(shù)；fr為轉(zhuǎn)動(dòng)頻率。

對(duì)于葉片的A0型(1階彎曲)振動(dòng)的動(dòng)頻系數(shù)常用公式有[15-16]式中：Dm為葉片的平均直徑；l為葉片長(zhǎng)度其中 β0、β1分別為葉根、葉頂振動(dòng)平面與葉輪平面的夾角。

文獻(xiàn)[17]根據(jù)試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果，給出了葉根剛性固定的變截面葉片A0型動(dòng)頻率系數(shù)

對(duì)于高頻彎曲振動(dòng)，由于振動(dòng)頻率較高，振幅較小，所以離心力對(duì)振動(dòng)頻率影響不大。高階彎曲振動(dòng)的動(dòng)頻系數(shù)計(jì)算公式較少，僅文獻(xiàn)[18]給出了葉片的A1型振動(dòng)（2階彎曲）的動(dòng)頻系數(shù)公式

本文葉片的幾何參數(shù)為：Dm=521.64mm，l=88.6 mm，β=36°，R0=216.52 mm，A1=77.72 mm2，A0=263.33 mm2。將葉片參數(shù)代入式（9）～（11）可獲得葉片動(dòng)頻率系數(shù)分別為4.417、5.148和31.319。

通過(guò)對(duì)殼單元僅考慮離心剛化條件下計(jì)算的第1階（A0型振動(dòng)：1階彎曲振動(dòng)）和第3階（A1型振動(dòng)：2階彎曲振動(dòng)）仿真數(shù)據(jù)，利用公式計(jì)算動(dòng)頻系數(shù)，如圖6所示。從圖中可見(jiàn)，計(jì)算結(jié)果為2條直線，即第1、2階彎曲振動(dòng)的動(dòng)頻系數(shù)為一定值，直線斜率即為動(dòng)頻系數(shù)，從而確定前2階動(dòng)頻系數(shù)分 別 為 B1=5.755 和B2=17.491。

圖6 動(dòng)靜頻和轉(zhuǎn)頻關(guān)系曲線

對(duì)比仿真結(jié)果和經(jīng)驗(yàn)公式可知，對(duì)于A0型動(dòng)頻系數(shù)，二者吻合較好；而對(duì)于A1型動(dòng)頻系數(shù)，二者差別很大。因而還需要仔細(xì)確認(rèn)其適用范圍和適用條件。

5 結(jié)論

本文主要基于ANSYS有限元軟件，提出了采用變厚度殼單元來(lái)模擬真實(shí)變截面、帶扭型的葉片建模方法，得到以下主要結(jié)論。

（1）本文所建模型與實(shí)體單元模型通過(guò)對(duì)靜頻和固有振型進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證了本建模方法的正確性。

（2）分析了科氏力、旋轉(zhuǎn)軟化、離心剛化以及三者耦合對(duì)實(shí)體建模和殼建模葉片動(dòng)頻特性的影響規(guī)律，結(jié)果表明，2種模型的動(dòng)頻規(guī)律一致，離心剛化對(duì)系統(tǒng)的影響最大，其次為旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)，而科氏力對(duì)動(dòng)頻的影響最小，在計(jì)算時(shí)可忽略。

（3）基于殼單元離心剛化的動(dòng)頻數(shù)據(jù)，與常用的動(dòng)頻系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行了簡(jiǎn)單對(duì)比，A0型的動(dòng)頻系數(shù)吻合較好，而A1型的動(dòng)頻系數(shù)吻合較差。對(duì)其適用范圍和適用條件還需進(jìn)一步探討。

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Natural Characteristic Analysis of Rotating Blade Based on Variable Thickness Shell Element

MA Hui,NAI Hai-qiang,SONG Rong-ze,ZHANG Zhi,WEN Bang-chun
（School of Mechanical Engineering&Automation,Northeastern University,Shenyang 110819,China）

Taking a rotating variable cross-section twisted blade as the research object,the finite element model of the blade was established using variable thickness shell element based on ANSYS software.The comparison between static frequencies and their model shapes was conducted to validate the accuracy of modeling method.Then the influences law of Coriolis force,spin softening,centrifugal stiffening and coupling of them on dynamic frequencies of the blade were analyzed based on the model.Finally,the common empirical formulas of dynamic frequency coefficients were evaluated based on the dynamic frequency data of the shell element model.The study shows that the law of dynamic frequencies

from the shell element model is in good agreement with that from a solid element model.The effects are listed from large to small as follows:centrifugal stiffening,spin softening and Coriolis force.In addition,dynamic frequency coefficients of the A0 vibration mode are in good agreement with the results from other references,whereas the result of A1 vibration mode is just the reverse of that of A0.

rotating blade;natural characteristics;shell element;ANSYS;dynamic frequency

馬輝（1978），男，副教授，主要研究方向?yàn)楣收显\斷、非線性振動(dòng)和轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)。

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)基金（N100403008）、教育部新世紀(jì)人才支撐計(jì)劃（NCET-11-0078）資助

2012-12-28