遲世春，陶警圓，賈宇峰

（大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部 水利工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

0 引 言

阻尼是結(jié)構(gòu)在振動過程中表征能量耗散特征的參數(shù)，對結(jié)構(gòu)動力分析結(jié)果的可靠性和精度有很大影響。實際結(jié)構(gòu)振動時耗能是多方面的，具體型式相當復(fù)雜，而且耗能不像構(gòu)件尺寸、結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度等有明確的、直接的測量手段和相應(yīng)的分析方法，使得阻尼問題難以采用精細的理論分析方法，而是采用宏觀總體表達的方法[1]。

結(jié)構(gòu)振動時耗能的因素較多，但影響程度有所不同。一般認為振動過程中耗能因素有以下幾方面：結(jié)構(gòu)材料的內(nèi)摩擦；連接處的干摩擦；空氣阻尼；地基中波的輻射耗能等。當結(jié)構(gòu)體系進入彈塑性狀態(tài)時，構(gòu)件的塑性耗能將遠大于上述各項耗能。一般分析中不將塑性耗能納入阻尼耗能，而是單獨加以表達。對于松散顆粒集合體構(gòu)成的土石壩而言，筆者認為，其耗能的主要部分是顆粒之間相對運動引起的干摩擦，在大震條件下顆粒破碎也消耗一定能量。其塑性耗能一般則納入阻尼耗能加以考慮，除非采用動力彈塑性模型描述壩料，此時塑性耗能與阻尼耗能區(qū)分表達。

經(jīng)過近100a的研究，已經(jīng)提出了各種各樣的阻尼表達方法，主要分為：黏滯阻尼和滯回阻尼（復(fù)阻尼）。黏滯阻尼假定阻尼力與速度成正比，無論對簡諧振動還是非簡諧振動得到的振動方程均是線性方程，不僅求解簡便，而且能夠方便地表達阻尼對頻率、共振等的影響，是應(yīng)用最為廣泛的阻尼模型。通過將阻尼系數(shù)與結(jié)構(gòu)體系的質(zhì)量、剛度相聯(lián)系，可以方便地構(gòu)造出具體的阻尼系數(shù)，是目前最常用的阻尼表達方法；滯回阻尼則假定應(yīng)力應(yīng)變間存在一相位差，從而振動一周有耗能發(fā)生。已經(jīng)提出了各種各樣的滯回阻尼模型，其特點是得到不隨頻率改變的振型阻尼比。因而一般認為能較好地反映干摩擦為主的耗能機制形成的阻尼，但該模型在理論上只適用于簡諧振動或有限頻段內(nèi)的振動分析。滯回阻尼還將導(dǎo)致復(fù)數(shù)形式的剛度，這對一般時程分析而言，計算復(fù)雜，因而復(fù)阻尼的實際應(yīng)用并不多。

目前，在土石壩動力分析中的阻尼均采用黏滯阻尼模型。黏滯阻尼模型的最大優(yōu)點是運動方程求解方便，缺點是實際計入阻尼與頻率相關(guān)。阻尼的頻率相關(guān)性會導(dǎo)致壩體動力分析中各階振型實際計入的阻尼比不同，進而導(dǎo)致動力分析中某些頻段的動力反應(yīng)被人為抑制或放大，引起壩體計算動力反應(yīng)的失真。

1 土石壩動力反應(yīng)分析中的阻尼問題

在確定瑞利（Rayleigh）阻尼系數(shù)a0、a1時，根據(jù)振型正交條件[2]，有：

給定任意2個振型阻尼比，就能確定2個系數(shù)a0和a1。設(shè)給定的2個振型阻尼比為ζi和ζj，由上式得：

解上式，有：

這樣，通過給定任意2階振型的阻尼比ζi和ζj，由式（3）可以求出瑞利阻尼的2個系數(shù)a0、a1，再由式（1）則確定任意階的振型阻尼比。繪出式（1）表示的阻尼比與頻率的關(guān)系，見圖1。

圖1 Rayleigh阻尼比與頻率的關(guān)系Fig.1 Relationship between Rayleigh damping ratio and frequency

工程計算中，一般取ωi＝ω1，即結(jié)構(gòu)基頻，而ωj則在對動力反應(yīng)有顯著貢獻的高階振型中選取。這樣能夠保證對應(yīng)的這兩個振型可以得到所需要的阻尼比，而在這兩個指定頻率之間的頻率所對應(yīng)的振型具有較低的阻尼比，相反頻率＞ωj的振型阻尼比＞ζj，并隨著頻率增加振型阻尼比單調(diào)遞增。這種情況將導(dǎo)致具有很高頻率的振型反應(yīng)因其高阻尼比而被有效地消除。因此，瑞利阻尼突出了給定振型和附近振型對結(jié)構(gòu)反應(yīng)的影響，對高階振型的削減較為有效。當然，也有對兩個采用頻率之間的振型反應(yīng)被人為放大的風險。

一般來講，結(jié)構(gòu)不同振型的阻尼比會有所不同，這是因為在結(jié)構(gòu)的阻尼耗能主要為摩擦耗能的情況下，摩擦耗能取決于結(jié)構(gòu)材料之間的相對位移，不同振型所表達的結(jié)構(gòu)材料之間的相對位移并不同，因此每個振型的阻尼比也會有所不同。但在結(jié)構(gòu)工程領(lǐng)域，目前公認的結(jié)論是，以上部結(jié)構(gòu)為主的結(jié)構(gòu)體系具有在相當寬的頻率范圍內(nèi)振型阻尼比不變的特征。即認為ζi＝ζj＝ζ，則式（3）變?yōu)椋?/p>

然而，在當前土石壩地震反應(yīng)分析的阻尼計算中，沒有區(qū)分不同頻率的差別，統(tǒng)一取計算頻率ω，即：

這樣，計算頻率的選取則成為問題的關(guān)鍵，目前大多取壩體基頻作為計算頻率。

日本學(xué)者曾對若干堆石壩實測第一周期，提出了堆石壩第一周期與壩高的關(guān)系[3]，岡本舜三提出的公式為：T＝（0.35～0.65）H／100；河上房義提出的公式為：，H為壩高。根據(jù)上述公式，壩高50m堆石壩的基本周期為0.175～0.325s。隨著現(xiàn)代碾壓技術(shù)的提高，堆石料被壓實的更為緊密，堆石壩的基本周期還會減少。

地震的卓越周期是另一個影響壩體地震反應(yīng)的重要因素。我國 《水工建筑物抗震設(shè)計規(guī)范》規(guī)定了設(shè)計反應(yīng)譜及譜峰值對應(yīng)的周期為 [0.1，Tg][4]，一、二、三、四類場地的Tg分別為0.2、0.3、0.4、0.65s。因此，對一般場地，壩高＜50m的低壩，其基本周期與地震卓越周期基本吻合。此時壩體第一振型的反應(yīng)占優(yōu)，壩體動力反應(yīng)主要受第一振型以及附近的幾階低階振型控制。此時，在瑞利阻尼計算中采用壩體第一周期對應(yīng)的基頻是合適的。

但對壩高達到300m級的高土石壩，情況則較為復(fù)雜。圖2為300m高心墻堆石壩自振頻率與基巖設(shè)計反應(yīng)譜的對比?？梢钥闯觯瑝误w基本周期為1.712s，對應(yīng)的譜值較小為0.32；而第7、8、9階周期在0.1～0.2s之間，對應(yīng)著反應(yīng)譜的峰值。此時，地震作用壩體第一振型放大較小，而6～12階振型放大較大。若再采用基頻作為計算阻尼的唯一頻率，顯然6～12階振型阻尼會被高估，進而低估高階振型反應(yīng)，得到的土石壩地震反應(yīng)偏小，應(yīng)用于設(shè)計則偏不安全。

圖2 基巖設(shè)計反應(yīng)譜及300m堆石壩自振周期[5]Fig.2 Design response spectrum on bedrock and natural periods of 300mrockfill dam

同濟大學(xué)樓夢麟教授提出了采用轉(zhuǎn)換頻率計算土石壩阻尼[6]。轉(zhuǎn)換頻率ωc是通過對多條地震波作用下地基土層的時域反應(yīng)分析，并與頻域結(jié)果比較，求取土層頂部絕對加速度最大值誤差隨阻尼系數(shù)轉(zhuǎn)換頻率變化曲線，以誤差為零的頻率為最佳擬合頻率，對最佳擬合頻率回歸分析，得到阻尼系數(shù)轉(zhuǎn)換頻率的經(jīng)驗公式[7]，由轉(zhuǎn)換頻率代替基頻進行阻尼計算。該方法綜合考慮了地震波的頻譜特性和地基土層的特性，但由于是針對地基土層，是否適合土石壩不得而知。

Idriss等提出了一種采用2個頻率來確定阻尼系數(shù)的新方法[8]，即ωi＝ω1，ωj＝nω1。ω1為基頻，n為＞ωe／ω1的奇數(shù)，其中ωe為地震波的主頻。也可直接取ωj為地震的卓越頻率ωp，或?qū)ⅵ豭取為輸入地震波Fourier譜的重心處頻率ωg，以作為阻尼計算的改進。

2 不同阻尼模型的土石壩地震反應(yīng)

本文采用瑞利阻尼模型，但其計算頻率取以下5種情況，見表1。分別進行了壩高為50，100，150，200，250，300m的6種心墻堆石壩的地震反應(yīng)分析計算。壩體的上、下游壩坡均取1∶2.0，心墻上、下游面坡度均為1∶0.2。為簡化計算，壩體僅考慮堆石料和心墻料兩種壩料。靜力計算采用鄧肯E-B模型，計算參數(shù)見表2。

表1 確定Rayleigh阻尼系數(shù)的5種方法Table1 Five methods to determine the Rayleigh damping parameters

表2 鄧肯E-B模型參數(shù)Table2 Parameters of Duncan E-B model

土石壩動力計算，最大動剪模量采用：

式中C，n分別為最大動剪模量系數(shù)和指數(shù)；Pa為大氣壓力。

堆石料C＝2455、n＝0.6，心墻料C＝1688，n＝0.464。

壩料模量衰減和阻尼增長曲線按照筆者等統(tǒng)計的國內(nèi)外筑壩土石料試驗曲線的擬合公式[9]：

式中b為動剪模量比衰減曲線在動剪應(yīng)變幅γ在10－6～10－1之間時的最小值；x0為曲線拐點值，調(diào)整曲線在應(yīng)變軸上的位置；m為指數(shù)；A1、A2為阻尼比增長曲線在動剪應(yīng)變幅γ在10－6～10－1之間時的最小值和最大值；α為系數(shù)，調(diào)整曲線在應(yīng)變軸上的位置；n為指數(shù)。

堆石料和心墻料的上述參數(shù)見表3。

采用規(guī)范譜人工地震波輸入，擬合設(shè)計反應(yīng)譜參數(shù)為βmax＝2.0，Tg＝0.3s，峰值加速度Amax＝0.2g，地震持時為24s。人工地震波加速度時程曲線及其Fourier譜見圖3。

表3 動模量與阻尼曲線參數(shù)Table3 Parameters of dynamic modulus and damping

圖3 人工地震波加速度時程曲線及其Fourier譜Fig.3 Acceleration time history and Fourier spectrum of artificial seismic wave

表4列出了各阻尼模型下不同壩高的壩頂最大加速度。由表4可見，與頻域解比較采用傳統(tǒng)阻尼模型1時壩高＞100m則壩頂加速度均被低估，且低估程度也隨著壩高的增加而增大。

采用模型2計算的壩頂加速度略偏低，但較模型1有改進。模型3和模型5計算的壩頂加速度反應(yīng)明顯偏大，這說明Idriss方法確定的頻率或以Fourier譜重心頻率作為阻尼計算頻率ωj偏大，使得ωi和ωj之間的較多階振型的振型阻尼比被低估，總體加速度反應(yīng)明顯偏大；由模型4的計算結(jié)果可見，采用地震波卓越頻率和壩體基頻來進行計算時，加速度反應(yīng)略微偏大。

表4 不同阻尼模型下壩頂最大加速度Table4 Peak acceleration at dam crest under different damping models

由上述分析可見，當壩高較低時，僅考慮結(jié)構(gòu)的自振頻率計算阻尼是可行的，但當壩高較高時，各阻尼模型計算的壩體反應(yīng)偏大或只在少數(shù)壩高處與頻域解接近。

3 地震輸入對阻尼計算頻率的影響

在目前的土石壩動力計算中，阻尼模型一般采用式（5）計算阻尼。選用的計算頻率不同，動力分析的結(jié)果也不同。因為在計算頻率（即壩基頻）處，對應(yīng)著材料的實際試驗阻尼，在阻尼頻率曲線上卻為最小值，見圖4。這樣，在其它高階振型的頻率處壩體實際計入的阻尼會高于壩料的實際阻尼。如果計算頻率附近的振型反應(yīng)占壩體結(jié)構(gòu)反應(yīng)的絕大部分，則動力反應(yīng)分析成果是可以接受的。因為占絕大部分的壩體反應(yīng)采用了合適的阻尼。

因為壩體反應(yīng)與輸入地震的頻譜特性有關(guān)，為此需要研究輸入地震的頻譜特性與阻尼計算頻率的關(guān)系。根據(jù) 《水工建筑物抗震設(shè)計規(guī)范（DL5073-2000）》的設(shè)計反應(yīng)譜及4類場地的特征周期Tg＝0.2，0.3，0.4，0.65s，擬合了4條規(guī)范譜人工地震波，見圖5。4條地震波的最大峰值加速度Amax＝0.2g，βmax＝2.0，地震持時均為24s。

圖4 阻尼比與頻率關(guān)系曲線示意圖Fig.4 Schematic diagram of damping ratio vs.frequency

圖5 不同特征周期的規(guī)范譜人工地震波Fig.5 Acceleration time history of artificial seismic wave with different characteristic period

采用阻尼公式（5），計算了不同特征周期規(guī)范譜人工波作用下6種壩高心墻堆石壩的動力反應(yīng)，繪制了壩頂最大加速度反應(yīng)與阻尼計算頻率的關(guān)系曲線，見圖6。

由圖6可見，阻尼計算頻率、壩高及反應(yīng)譜特征周期對壩體反應(yīng)的影響均較大。輸入地震波的目標反應(yīng)譜分別采用4種特征周期，6種壩高的壩頂最大加速度反應(yīng)與阻尼計算頻率曲線的差別也較大。顯然，確定阻尼計算頻率需考慮壩高和地震輸入兩個因素，也就是應(yīng)當考慮壩體的自振特性及輸入地震波頻譜特征的共同影響。

以300m高心墻堆石壩為例，分析輸入地震波目標譜特征周期對壩體最大加速度反應(yīng)的影響。圖6（a）中當阻尼計算頻率＞7rad／s后，壩頂最大反應(yīng)對計算頻率并不敏感，說明對位于近震基巖場地上300m級的高土石壩，阻尼計算頻率可取大于壩體2階頻率7.45rad／s的任何數(shù)值，對壩體反應(yīng)的影響均不大；而圖6（b）、圖6（c）、圖6（d）中壩高300m時的曲線顯示，壩體反應(yīng)受計算頻率影響大，因此對遠震深厚覆蓋層上的壩，阻尼計算頻率對壩體反應(yīng)的影響較大，需要研究壩高及地震頻譜特性的影響后再行確定較為妥當。

根據(jù)圖6，查出壩頂最大加速度曲線取得極值時的阻尼計算頻率，見表5，并將該頻率對應(yīng)的壩體自振頻率階數(shù)范圍也列入表中。由表5可見，壩高為50m時，壩頂最大反應(yīng)對應(yīng)的阻尼計算頻率較一致，且與該土石壩的基頻接近。而壩高100m及其以上的壩體，隨著輸入地震動的頻譜特性的不同，壩頂最大加速度曲線的極值頻率及其對應(yīng)的階數(shù)有較大差異。若以最大加速度反應(yīng)為預(yù)測目標，則特征周期較長時，宜應(yīng)采用相對較小的頻率；反之則采用較大的頻率計算阻尼。

表5 壩頂加速度最大值時的阻尼計算頻率及其對應(yīng)的壩體自振頻率階數(shù)Table5 Control frequency in damping calculation and corresponding model number for free vibration of dam when acceleration of dam crest gets maximal value ／rad·s－1

因此，地震頻譜特性對壩體的動力響應(yīng)有較大影響，在選擇阻尼模型和確定阻尼系數(shù)時，如果不充分考慮到這一點，很可能會低估或高估阻尼的作用，從而導(dǎo)致計算得到的動力響應(yīng)不合理。

4 高階自振頻率阻尼模型

瑞利阻尼模型采用式（4）的兩個控制頻率計算，但ωi與ωj也可均取高階自振頻率，具體取法見表6，進行壩體動力有限元分析，得到壩頂最大加速度反應(yīng)列入表7。

表6 高階自振頻率阻尼模型Table6 Damping model for high model frequencies of free vibration

表7 高階頻率阻尼模型與頻域解的壩頂最大加速度Table7 Dam crest accelerations under new damping model

由表7可見，壩頂最大加速度反應(yīng)與頻域解接近，較前面討論的幾種阻尼方法有所改進，隨著壩高的增加，壩體的加速度反應(yīng)并不會被低估。因此，阻尼模型計算頻率均取高階振型頻率也是不錯的選擇。

5 結(jié) 論

目前土石壩地震動力反應(yīng)分析一般采用瑞利阻尼模型，其計算頻率取壩體基頻。但瑞利阻尼模型實際計入結(jié)構(gòu)動力分析的振型阻尼比與計算頻率有關(guān)，其特點如下：在計算頻率附近實際計入的振型阻尼比等于材料的試驗阻尼比；在2個計算頻率之間則小于材料阻尼；在2個計算頻率以外則高于材料阻尼。通常只采用基頻計算瑞利阻尼系數(shù)，則除基頻點外實際計入的阻尼均高于實際材料阻尼。

對壩高相對較低的土石壩而言，只采用基頻的阻尼模型其計算精度是可接受的。這是因為50m左右的土石壩基頻與基巖上地震卓越頻率相近，基頻附近的振型在動力反應(yīng)中占優(yōu)，而高階頻率成分的反應(yīng)很小，即使高階振型阻尼稍高對壩體動力反應(yīng)的影響也非常有限。但對高土石壩則不然，300 m級高壩的基頻很低，周期較長，動力反應(yīng)中占優(yōu)的振型在6～12階左右，若再采用基頻作為計算阻尼的唯一頻率顯然會高估動力反應(yīng)中主要振型的阻尼比進而地震得到的壩體反應(yīng)偏小，應(yīng)用于設(shè)計則偏不安全。

解決問題的思路是采用2個頻率控制的瑞利阻尼模型。阻尼計算頻率的選擇要考慮壩體自振特性和輸入地震波的頻譜特性影響。但對近震基巖場地上的300m級高土石壩，阻尼計算頻率可?。?階頻率即可，其它場地或壩高時，計算頻率的選取需進行相關(guān)研究后確定。

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