易昆南，程勛杰

(中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410075)

1 問題的提出

問題1［1］是這樣提出的:分析附件1中 A、B兩組評(píng)酒員對(duì)27組酒樣的評(píng)價(jià)結(jié)果有無顯著性差異，哪一組結(jié)果更可信?

2 方差分析法

方差分析法解法思路:取A、B兩組評(píng)酒員對(duì)27組酒樣打分的平均值(或打分之和)作單因素方差分析，用檢驗(yàn)結(jié)果來判斷兩組評(píng)酒員對(duì)27組酒樣的評(píng)價(jià)結(jié)果有無顯著性差異。

方差分析［2］(analysis of variance，ANOVA)又稱“變異數(shù)分析”或“F檢驗(yàn)”，是由 R.A.Fisher發(fā)明的，用于對(duì)兩個(gè)及兩個(gè)以上樣本均數(shù)差別的顯著性檢驗(yàn)。對(duì)于給定的顯著性水平α∈ (0 ，1)，若p=P{ F ≥F0}＜α，則拒絕原假設(shè)H0(F0為F統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值)，可以認(rèn)為所考慮的因素對(duì)相應(yīng)變量有顯著性影響;否則，不能拒絕H0，認(rèn)為所考慮的因素對(duì)相應(yīng)變量無顯著性影響。

方差分析的最重要的假定條件為:①各處理?xiàng)l件下的樣本是相互獨(dú)立的，否則可能出現(xiàn)無法解析的輸出結(jié)果;② 各處理?xiàng)l件下的樣本分別來自正態(tài)分布總體，否則使用非參數(shù)分析;③各處理?xiàng)l件下的樣本方差相同，即具有齊效性。

假設(shè)條件①、②容易得到滿足，而假設(shè)條件③恰恰是不滿足的!通過對(duì)題目提供的紅葡萄酒、白葡萄各27種樣本數(shù)據(jù)的計(jì)算，在顯著性水平α=0.05下，兩總體的方差都有顯著性差異(例如對(duì)紅葡萄酒的計(jì)算，在方差是否相等的檢驗(yàn)檢驗(yàn)中，第1組樣本方差=53.91，第2組樣本方差=15.82，F(xiàn)=3.14，p 值為 0.002 6，檢驗(yàn)結(jié)果認(rèn)為兩正態(tài)總體方差不等)。所以直接由上述方法得出的結(jié)論是一種很糟糕的結(jié)果。

另一種處理方法:按每一種酒樣(共27個(gè)酒樣)，對(duì)兩組評(píng)酒員的打分結(jié)果做單因素方差分析，這樣可以得到相應(yīng)的結(jié)果，見表1。

表1 27個(gè)酒樣的兩組評(píng)酒員打分的方差分析結(jié)果(α=0.05)

在27個(gè)酒樣對(duì)應(yīng)的兩組樣本的方差分析中，當(dāng)水平α=0.05時(shí)，仍有3個(gè)不滿足方差齊性的要求(見表1中黑體數(shù)字)。

即使27個(gè)酒樣對(duì)應(yīng)的兩個(gè)總體都滿足方差齊性，分析表1中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)大于顯著性水平的數(shù)值共有19個(gè)，也就是說給定α=0.05，27種紅葡萄酒評(píng)價(jià)結(jié)果中可以認(rèn)為無顯著性差異的結(jié)果所占的比例為，由此可以認(rèn)定在給定α=0.05水平下，以0.704的概率接受，兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果無顯著性差異。

但是當(dāng)改變一下顯著性水平α的值，比如取α=0.06時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)大于0.06的結(jié)果共有11個(gè)，那么無顯著性差異的結(jié)果所占的比例為40.7%，和α=0.05相比，比例直接下降了將近30百分點(diǎn)。對(duì)兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果無顯著性差異越來越缺乏自信。

通過上面的分析可以得出，應(yīng)用上述方差分析的方法(且不說未檢驗(yàn)兩組樣本的方差齊性!)作出判斷的關(guān)鍵變成了α的選取，當(dāng)α取的較小時(shí)(如α≤0.05)，得出的結(jié)果是兩組評(píng)價(jià)結(jié)果之間沒有顯著性差異，當(dāng)α取的稍微有些大時(shí)(如α=0.06)，則得出的結(jié)果就是兩組評(píng)價(jià)結(jié)果之間有顯著性差異!

事實(shí)上，假設(shè)檢驗(yàn)難免要犯錯(cuò)誤，假設(shè)犯第1類錯(cuò)誤［3］的概率為α=0.05，并假設(shè)27次檢驗(yàn)都是獨(dú)立進(jìn)行的，正確接收全部原假設(shè)的概率為(1-α)27=0.9527≈7.45 ×10-36，概率幾乎為 0，錯(cuò)誤的拒絕其中至少一個(gè)假設(shè)的概率為1-(1-0.05)27，幾乎為1。雖然這種方法看似比第1種方法更合乎邏輯，但實(shí)質(zhì)上解法也是錯(cuò)誤的。

用單因素方差分析處理兩組評(píng)酒員對(duì)27組酒樣的評(píng)價(jià)結(jié)果有無顯著性差異的問題，實(shí)質(zhì)上是兩個(gè)正態(tài)總體的方差相等條件下的均值是否相同的檢驗(yàn)問題，方差分析與t檢驗(yàn)的方法等價(jià)。問題的關(guān)鍵在于:27組酒樣有著自身的質(zhì)量排名，A組10人對(duì)每一酒樣打分的平均分所得到的27個(gè)樣本不能看作取自同一總體N(μ1，σ2)的樣本;同樣來自B組的27個(gè)樣本不能看做取自同一總體N(μ2，σ2)的樣本。即使方差齊性滿足，無論使用這兩種方法中的哪一種，樣本中都參雜了27組酒樣的差異，無法保證得到正確的結(jié)論。

3 配對(duì)t檢驗(yàn)

兩獨(dú)立樣本 t檢驗(yàn)［4，6］就是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對(duì)兩個(gè)配對(duì)樣本來自的兩總體的均值是否有顯著性差異進(jìn)行推斷。

兩配對(duì)樣本t檢驗(yàn)的前提條件:① 需要克服試驗(yàn)因素帶來的干擾，否則無法區(qū)分結(jié)果的差異究竟是兩總體均值的差異還是試驗(yàn)因素帶來的差異;②樣本來自的兩個(gè)總體應(yīng)該服從正態(tài)分布，或配對(duì)數(shù)據(jù)之差服從正態(tài)分布。

以白葡萄酒為例，設(shè)來自A組28個(gè)樣本與B組28個(gè)樣本的配對(duì)數(shù)據(jù)之差為取自“兩組對(duì)白葡萄酒評(píng)價(jià)的差異”這一總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，假設(shè)這個(gè)總體服從正態(tài)分布 N(μ，σ2)，μ，σ2均未知，檢驗(yàn)假設(shè)H0:μ=0，若拒絕原假設(shè)，則認(rèn)為兩組對(duì)白葡萄酒評(píng)價(jià)有顯著性差異。注意:不要設(shè)“A組對(duì)白葡萄酒的評(píng)分”為一正態(tài)總體N(μ1，σ2)，A組28個(gè)樣本為取自該總體的樣本，前面已經(jīng)提及，這種提法本身是有問題的。

用配對(duì)t檢驗(yàn)方法步驟:① 檢驗(yàn)配對(duì)數(shù)據(jù)之差服從正態(tài)分布;② 進(jìn)行兩正態(tài)總體均值是否相同的配對(duì)t檢驗(yàn)。

具體檢驗(yàn)如下(以白葡萄酒為例)。

首先通過計(jì)算兩組白葡萄酒配對(duì)樣本的差值，繼而計(jì)算對(duì)應(yīng)的均值、方差，做正態(tài)分布的擬合檢驗(yàn)。整個(gè)計(jì)算可通過 SPSS 19.0來完成［5］。檢驗(yàn)結(jié)果見表2。

表2 擬合檢驗(yàn)結(jié)果

檢驗(yàn)結(jié)果符合正態(tài)性假設(shè)。配對(duì)數(shù)據(jù)之差的P-P圖見圖1。

圖1 配對(duì)數(shù)據(jù)之差的P-P圖

從圖1中可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)據(jù)分布在直線附近。P-P圖同時(shí)也是對(duì)上述結(jié)論的佐證，因此可以用配對(duì)t檢驗(yàn)進(jìn)行求解。得到的結(jié)果見表3。

從表3中可以看到概率p值等于0.038，小于0.05，故認(rèn)為兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果有顯著性差異。對(duì)紅葡萄酒進(jìn)行類似的分析，得到的結(jié)果見表4。

表4中概率 p值為0.021，也小于0.05。

表3 白葡萄酒配對(duì)t檢驗(yàn)結(jié)果

表4 紅葡萄酒配對(duì)t檢驗(yàn)結(jié)果

兩次檢驗(yàn)結(jié)果都表明:兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果之間存在顯著性的差異，所以有理由相信兩組評(píng)酒員的評(píng)價(jià)結(jié)果是存在顯著性差異的。

4 結(jié)束語

在討論哪一組結(jié)果更可信時(shí)，有的參賽隊(duì)以哪一組評(píng)酒打分方差最小來簡(jiǎn)單選擇哪一組結(jié)果更可信，其實(shí)方差小只能說明該組對(duì)問題的看法比較一致，只能從一個(gè)側(cè)面說明問題，但該組打分可能存在系統(tǒng)的偏差(即該組打分與真實(shí)排名的差距)，這可能是更重要、更要命的問題，處理的常見方法有字典序法［7-9］等。

統(tǒng)計(jì)分析方法繁多，只有充分認(rèn)識(shí)問題是否滿足該統(tǒng)計(jì)分析方法的條件時(shí)，才能正確地使用該統(tǒng)計(jì)分析方法，這是在前期的數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)中特別要注意的。

［1］2012年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽試題［EB/OL］.http：//ishare.iask.sina.com.cn/f/33790432.html.

［2］何曉群，劉文卿.應(yīng)用回歸分析［M］.北京：人民大學(xué)出版社，2007.

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［4］膝龍.包其郁.配對(duì)t檢驗(yàn)誤區(qū)與率轉(zhuǎn)化配對(duì)t檢驗(yàn)方法介紹及各自應(yīng)用范圍［J］.醫(yī)學(xué)研究通訊，2003，32(7)：21-23.

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［6］陳佩珍，陸守曾.關(guān)于配對(duì)t檢驗(yàn)效能的研究［J］.中國(guó)衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)，1996，13(6)：19-22.

［7］司守奎，孫璽菁.數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用［M］.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2011.

［8］明日科技 .Visual C++從入門到精通［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2012.

［9］龔純，王正林.MATLAB語言常用算法程序集［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2008.