謝煜，張寧

(商丘師范學(xué)院 物理與電氣信息學(xué)院，河南 商丘 476000)

0 引言

電容稱重傳感器可以將載荷質(zhì)量輸入轉(zhuǎn)變?yōu)殡妷盒盘栞敵?，如果預(yù)先測得標(biāo)準(zhǔn)載荷輸入和輸出電壓之間的關(guān)系，即傳感器的特性曲線或傳感器的標(biāo)定，則可以根據(jù)傳感器特性曲線求出某個(gè)電壓輸出所對應(yīng)的載荷質(zhì)量［1］.但是由于多種因素的影響，實(shí)際測得的電容稱重傳感器的特性曲線存在著一定的非線性和遲滯性［2］，如果能夠準(zhǔn)確地對傳感器的特性曲線進(jìn)行描述，同時(shí)采用適當(dāng)?shù)姆蔷€性校正方法及補(bǔ)償方法，將會(huì)使得電容稱重傳感器的稱重結(jié)果的更加接近真實(shí)的載荷質(zhì)量.

目前對傳感器特性曲線擬合較常采用的方法有最小二乘法的多項(xiàng)式擬合、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等［3］［4］，在工程上已經(jīng)獲得了廣泛的應(yīng)用，但即使是用高精度的測量方法獲得的被認(rèn)為是相當(dāng)準(zhǔn)確的標(biāo)定數(shù)據(jù)，在運(yùn)用最小二乘法的多項(xiàng)式擬合時(shí)也可能會(huì)使標(biāo)定點(diǎn)出現(xiàn)明顯誤差，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法最大的缺點(diǎn)就是網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)定，訓(xùn)練時(shí)間較長，且實(shí)現(xiàn)時(shí)較為困難［5］.因此本文研究采用三次樣條函數(shù)來擬合電容稱重傳感器的特性曲線，建立起傳感器的輸出與輸入之間比較準(zhǔn)確的映射關(guān)系，可以為電容稱重傳感器的非線性補(bǔ)償提供理論依據(jù).

1 三次樣條函數(shù)插值原理

傳感器的特性曲線一般是中間段的線性較好，兩端或一端逐漸呈非線性，具有明顯的分段特性，很難用一個(gè)多項(xiàng)式(包括高次多項(xiàng)式)去準(zhǔn)確地逼近它.當(dāng)測量范圍較寬時(shí)，若采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)較少，但要求精度較高時(shí)，采用三次樣條函數(shù)擬合是一種較好的方案.三次樣條函數(shù)不僅光滑性好，而且能夠保證擬合曲線一階、二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，擬合得到的曲線更接近傳感器實(shí)際的特性.

所謂樣條函數(shù)，從數(shù)學(xué)上講，就是按一定的光滑性要求對接起來的分段多項(xiàng)式［6］.設(shè)f(x)是區(qū)間［a，b］上的一個(gè)二次連續(xù)可微函數(shù)，在區(qū)間上給定一組基點(diǎn):a=x1＜x2＜…＜xn+1=b.設(shè)函數(shù):

是二次連續(xù)可微的，Si(x)(i=1，2，…，n)是一個(gè)不高于三次的多項(xiàng)式，且滿足條件:

則稱S(x)為函數(shù)f(x)的三次樣條插值函數(shù)，簡稱三次樣條.

記mi=S″(xi)，f(xi)=fi，hi=xi+1－xi，由三次樣條的定義知，S(x)的二階導(dǎo)數(shù)S″(x)在每一個(gè)子區(qū)間［xi，xi+1］，i=1，2，…，n 上都是線性函數(shù).根據(jù)線性拉格朗日插值，在［xi，xi+1］上S(x)=Si(x)的二階導(dǎo)數(shù)可以表示為

式中，x∈［xi，xi+1］.對S″i(x)連續(xù)積分兩次可得:

其中，Ai和Bi為積分常數(shù).根據(jù)式(5)、式(1)、式(2)可得:

將式(6)、式(7)代入式(4)、式(5)分別可得:

由式(8)和S'i(x)的連續(xù)性，即S'k(xk)=S'k－1(xk)，可得:

式中，i=2，…，n.補(bǔ)加x1和xn+1端點(diǎn)處的2個(gè)邊界約束條件，從而可以獲得三次樣條插值曲線S(x).

2 電容稱重傳感器特性曲線擬合

為了擬合傳感器的特性曲線，首先進(jìn)行稱重實(shí)驗(yàn)，得到一些標(biāo)定數(shù)據(jù).實(shí)驗(yàn)在一輛黑豹牌SM1010 型微型卡車上進(jìn)行，對貨車進(jìn)行加載(正行程)和減載(反行程)，貨車的鋼板彈簧受力變形，引起車軸處安裝的電容傳感器的電容量的變化，通過測試系統(tǒng)記錄結(jié)果.實(shí)驗(yàn)所加載荷的最大值為800 kg，在此范圍內(nèi)取9個(gè)標(biāo)定點(diǎn)，每個(gè)標(biāo)定點(diǎn)記錄3 s的數(shù)據(jù)，并對保存的數(shù)據(jù)計(jì)算算術(shù)平均值作為該標(biāo)定點(diǎn)的最終結(jié)果;正反行程的循環(huán)次數(shù)為5次，并對5次的測量結(jié)果求算術(shù)平均值，結(jié)果記錄在表1 中.

表1 電容稱重傳感器靜態(tài)特性測試數(shù)據(jù)表

根據(jù)前面的分析，利用MATLAB 7.0 對電容稱重傳感器的載荷－電壓曲線(特性曲線)進(jìn)行擬合，借助于MATLAB的庫函數(shù)計(jì)算各標(biāo)定點(diǎn)之間的三次樣條插值函數(shù)，最終得到的電容稱重傳感器特性擬合曲線如圖1所示.從圖中可以看出，擬合曲線十分光滑.對電容稱重傳感器的各個(gè)標(biāo)定點(diǎn)重新進(jìn)行稱重實(shí)驗(yàn)，記錄結(jié)果，并與擬合曲線對比，得到引用誤差曲線如圖2所示.從圖2可以看出誤差曲線按照正行程和反行程分別繪制，最大誤差都在0.25%以內(nèi)，說明擬合曲線與傳感器的實(shí)際特性比較接近.

圖1 電容稱重傳感器特性的擬合曲線

圖2 電容傳感器的引用誤差

3 結(jié) 論

本文提出了一種基于三次樣條函數(shù)擬合傳感器特性曲線的擬合方法，并利用實(shí)際測量的稱重?cái)?shù)據(jù)，對實(shí)際的電容稱重傳感器進(jìn)行了特性曲線的擬合，并給出了特性曲線的繪圖.從應(yīng)用的結(jié)果可以看出，該方法具有誤差小，擬合曲線光滑的特點(diǎn)，利用該方法所得到擬合曲線更加接近傳感器實(shí)際的特性.在實(shí)際應(yīng)用中，即使在標(biāo)定點(diǎn)減少的情況下，也能夠得到高精度的擬合曲線，可以減少傳感器的擬合時(shí)間和計(jì)算量，具有較高的實(shí)用價(jià)值.同時(shí)，可以利用三次樣條函數(shù)擬合的傳感器特性曲線建立傳感器的數(shù)學(xué)模型，并將其應(yīng)用到傳感器的非線性補(bǔ)償中，為相關(guān)的補(bǔ)償模型的建立提供重要的數(shù)據(jù)參考.

［1］謝 煜，楊三序，李曉偉.基于反擬合法的電容稱重傳感器非線性校正［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2007，28(5):923－927.

［2］王化祥，張淑英.傳感器原理及應(yīng)用［M］.天津:天津大學(xué)出版社，2002.26－64.

［3］朱慶保，錢 剛.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與回歸相結(jié)合實(shí)現(xiàn)傳感器特性的線性化［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2001，22(4):422－426.

［4］張廣軍，武曉利.基于RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的紅外二氧化碳傳感器數(shù)學(xué)模型［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2004，25(2):72－74.

［5］樊尚春，張秋利，秦杰.基于樣條曲線插值的壓力傳感器的溫度補(bǔ)償［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，32(6):684－686.

［6］林成森.數(shù)值計(jì)算方法［M］.北京:科學(xué)出版社，1998.152－167.