張樂蓉，宋 龍，章惠君

(中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽(yáng) 471009)

空空導(dǎo)彈彈道優(yōu)化研究的目的是提高導(dǎo)彈的飛行性能，達(dá)到精確、有效的攔截目標(biāo)。導(dǎo)彈彈道優(yōu)化問題已成為現(xiàn)代導(dǎo)彈技術(shù)的重點(diǎn)發(fā)展方向之一，很多學(xué)者在彈道優(yōu)化方面做了大量研究。文獻(xiàn)［1］利用序列二次規(guī)劃法對(duì)導(dǎo)彈縱向彈道整體進(jìn)行優(yōu)化，文獻(xiàn)［2］通過非線性規(guī)劃的直接方法優(yōu)化得到最優(yōu)的初始彈道等。

但在彈道優(yōu)化問題中大多數(shù)解決方法是數(shù)值優(yōu)化的方法，數(shù)值優(yōu)化本質(zhì)是根據(jù)初始條件，終端約束，指標(biāo)函數(shù)可得到特征彈道，即飛行彈道的基本幾何形狀，故采用一般數(shù)值的方法進(jìn)行優(yōu)化在很大程度上受初始條件的約束和影響，尤其是當(dāng)目標(biāo)有多個(gè)極值點(diǎn)時(shí)［1］。而遺傳算法是一種模擬物種生存進(jìn)化體制的搜索算法，它并不依賴于問題本身，通過對(duì)種群方向性的選擇、交叉和復(fù)制操作來(lái)完成搜索，同時(shí)又具有魯棒性、隱含并行性等的特點(diǎn)，因而該算法成功的運(yùn)用于許多復(fù)雜優(yōu)化問題的求解。針對(duì)空空導(dǎo)彈的數(shù)學(xué)模型，對(duì)給定的模型及氣動(dòng)參數(shù)，將彈道傾角作為控制變量，采用遺傳算法優(yōu)化采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)求得優(yōu)化彈道方案。與比例導(dǎo)引方案彈道相比，在相同時(shí)間和相同射程的情況下，遺傳算法優(yōu)化彈道的末端速度較大，具有一定優(yōu)越性。

1 導(dǎo)彈模型

1.1 導(dǎo)彈模型

不考慮地球自轉(zhuǎn)影響，導(dǎo)彈在鉛錘平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程組為

其中m 為導(dǎo)彈質(zhì)量，P 為發(fā)動(dòng)機(jī)推力，X 為阻力，θ 為彈道傾角，Y 為升力，ms 為導(dǎo)彈質(zhì)量變化率，α 為攻角，V 為導(dǎo)彈速度。

阻力模型:

式(3)中，Cx0為零升阻力系數(shù);Cxi為誘導(dǎo)阻力系數(shù)。

大氣密度模型:

推力模型為:

式(5)中，Tmax為發(fā)動(dòng)機(jī)所能提供的最大推力;k 為常系數(shù)，k∈［0，1］。

1.2 問題描述

本文以末端速度最大值作為性能指標(biāo)

初始投放條件

由上可知目標(biāo)問題為:從已知初始狀態(tài)(x0，y0，v0)，要求轉(zhuǎn)移到末端時(shí)刻t=tf時(shí)，脫靶量r≤25 m，v(tf)達(dá)到最大。

當(dāng)導(dǎo)彈模型以及氣動(dòng)力參數(shù)都給定時(shí)，在給定時(shí)間，給定距離的情況下，假定導(dǎo)彈小攻角飛行，則應(yīng)存在一組優(yōu)化的彈道傾角，使得導(dǎo)彈能以最大末速度擊中目標(biāo)。而本文就通過尋找這一組優(yōu)化的彈道傾角從而得到末端速度最大的優(yōu)化彈道。

2 遺傳算法

彈道優(yōu)化是一種復(fù)雜的非線性的多約束(多為隱性約束)問題，現(xiàn)有的傳統(tǒng)優(yōu)化方法均屬于局部?jī)?yōu)化方法，如果目標(biāo)問題存在多個(gè)極值點(diǎn)，通過傳統(tǒng)方法是很難得到最優(yōu)解，因而采用傳統(tǒng)優(yōu)化方法進(jìn)行彈道優(yōu)化存在一定的局限性。

遺傳算法是一種模擬生物種群進(jìn)化過程的搜索方法，通過基因編碼和種群進(jìn)化講復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，在遺傳進(jìn)化過程中尋找到最優(yōu)解。遺傳算法優(yōu)化的重點(diǎn)在于基因的編碼方式與適應(yīng)度函數(shù)的選取，對(duì)優(yōu)化問題的具體細(xì)節(jié)要求并不高，因而具有很強(qiáng)的魯棒性。其尋優(yōu)是有指導(dǎo)而非盲目的進(jìn)行搜索，迭代產(chǎn)生的新一代個(gè)體總是優(yōu)越于上一代個(gè)體，全局搜索的同時(shí)隱含并行性，多點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行搜索，使得尋優(yōu)效率更高。這些優(yōu)點(diǎn)使得遺傳算法對(duì)導(dǎo)彈的彈道優(yōu)化這個(gè)復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題具有一定的優(yōu)越性。

3 優(yōu)化算法設(shè)計(jì)

3.1 遺傳算法方案

3.1.1 編碼方案

按照遺傳算法優(yōu)化的設(shè)計(jì)思想，建立目標(biāo)優(yōu)化問題和基因結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系式遺傳算法的關(guān)鍵，即確定算法的編碼方式以及解碼運(yùn)算。常用的編碼方式有兩種:二進(jìn)制編碼與浮點(diǎn)數(shù)編碼。二進(jìn)制編碼采用固定長(zhǎng)度的二進(jìn)制符號(hào)串來(lái)表示群體中的個(gè)體，其等位基因由{0，1}構(gòu)成;而所謂浮點(diǎn)數(shù)編碼則是指?jìng)€(gè)體的每個(gè)基因用某一范圍內(nèi)的一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)來(lái)表示，這種編碼方式直接使用變量的真實(shí)值，故不需要解碼操作［6］。文中優(yōu)化的變量為彈道傾角，范圍為［0，pi/2］，因而采用二進(jìn)制編碼方式即可滿足需求。

3.1.2 基本遺傳操作

在遺傳算法的進(jìn)化過程中，起到最關(guān)鍵作用的是選擇、交叉和變異操作。因而產(chǎn)生了3 個(gè)最基本的遺傳操作算子:選擇算子、交叉算子和變異算子。通過這3 個(gè)算子對(duì)進(jìn)化過程隨即性的操作，使得群體在進(jìn)行n 代后更接近最優(yōu)解，其接近程度與3 種算子采取的操作形式緊密相關(guān)。

1)選擇算子。選擇算子，也叫做復(fù)制算子，它以適應(yīng)度作為評(píng)價(jià)的基準(zhǔn)，將上一代優(yōu)秀的個(gè)體基因復(fù)制遺傳到下一代，產(chǎn)生新的群體，使得個(gè)體向最優(yōu)解逐漸靠攏。選擇算子是遺傳進(jìn)化過程中的重要環(huán)節(jié)，其好壞直接影響到算法的優(yōu)劣。

目前現(xiàn)有的選擇算子主要有輪盤賭選擇、隨機(jī)競(jìng)爭(zhēng)選擇、最佳保留選擇、確定性選擇和無(wú)回放隨機(jī)選擇等。

本文采用了最佳保留選擇，利用“排名”的思想，從種群眾隨機(jī)的選取K 個(gè)個(gè)體，然后將這K 個(gè)個(gè)體按照適應(yīng)度值得大小進(jìn)行排序，找出K 個(gè)個(gè)體中的最優(yōu)個(gè)體，遺傳到下一代。

2)交叉算子。在優(yōu)化過程中，種群是通過基因的交叉操作產(chǎn)生新的個(gè)體，從而保證種群的多樣性，擴(kuò)大優(yōu)化進(jìn)程尋優(yōu)的范圍。交叉算子直接決定了算法是否收斂，是遺傳優(yōu)化算法的核心操作。

常用的交叉算子有單點(diǎn)交叉、兩點(diǎn)交叉、均勻交叉以及算術(shù)交叉等。文中采用了兩點(diǎn)交叉，使得遺傳算法的尋優(yōu)范圍更廣搜索能力更強(qiáng)。

3)變異算子。變異操作是模仿生物遺傳進(jìn)化過程中出現(xiàn)的基因突變現(xiàn)象，某些基因位發(fā)生突變，產(chǎn)生新的個(gè)體，引進(jìn)變異操作的目的是為了保證種群的多樣性，同時(shí)使得遺傳算法也有了一定的隨機(jī)搜索能力，防止算法出現(xiàn)早熟收斂。

常見的變異算子有基本位變異、有效基因突變、概率自調(diào)整突變、均勻突變以及非均勻突變等。文中采用的是均勻突變，即每一個(gè)基因位都以相同概率變動(dòng)。

3.1.3 適應(yīng)度函數(shù)的選取

適應(yīng)度是遺傳算法用來(lái)衡量個(gè)體好壞的標(biāo)準(zhǔn)，是尋優(yōu)過程的評(píng)價(jià)機(jī)制。在每次迭代產(chǎn)生的群體中，適應(yīng)度高的個(gè)體更容易進(jìn)入下一代，而適應(yīng)度低的個(gè)體進(jìn)入下一代的幾率則相對(duì)較低。描述適應(yīng)度大小的函數(shù)則成為適應(yīng)度函數(shù)，指導(dǎo)著遺傳優(yōu)化過程的方向。

文中討論的導(dǎo)彈最優(yōu)控制問題以最大末端速度為性能指標(biāo)，因此這里以末端速度值作為適應(yīng)度函數(shù)。

3.2 算法流程

選用上面介紹的二進(jìn)制編碼方案，選擇、交叉和變異算子以及適應(yīng)度函數(shù)構(gòu)成求解導(dǎo)彈最優(yōu)化問題的遺傳算法，算法流程如圖1 所示。

圖1 遺傳算法設(shè)計(jì)流程

4 優(yōu)化算例

給定導(dǎo)彈初始高度為5 000 m，初始速度為300 m/s，目標(biāo)初始位置為(30 000，5 000)，并以100 m/s 的速度水平向右運(yùn)動(dòng)。性能指標(biāo)是末端速度最大。其他仿真參數(shù)如下:

遺傳算法種群大小取100，精英個(gè)體數(shù)目為20，最大迭代次數(shù)為100，種群個(gè)體范圍為［-1.57，1.57］。

利用如上參數(shù)采用比例導(dǎo)引仿真得到的彈道，彈道射程為40 km，其末端速度為698.2 m/s，飛行時(shí)間為97 s，脫靶量為0。按照根據(jù)圖1 所示算法，選取20 組采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)作為優(yōu)化變量，利用遺傳算法進(jìn)行計(jì)算，在進(jìn)化100 代后得到了相同飛行時(shí)間、射程下的末速度最大彈道，優(yōu)化得到的彈道的末端速度為730.95 m/s，脫靶量為0.024 0，相比比例導(dǎo)引末端速度是它的1.05 倍。兩種方案均用97 s 的飛行時(shí)間在(40 000，5 000)點(diǎn)處擊中目標(biāo)，其彈道傾角隨時(shí)間變化曲線、速度隨時(shí)間變化曲線以及彈道曲線如圖2 ～4 所示。

圖2 導(dǎo)彈速度隨時(shí)間變化曲線

圖3 彈道傾角隨時(shí)間變化曲線

圖4 導(dǎo)彈軌跡曲線

5 結(jié)束語(yǔ)

遺傳算法優(yōu)化飛行方案先斜向上飛行，然后在下滑段減小導(dǎo)彈軌跡與重力方向的夾角，利用重力和推力的作用來(lái)增加優(yōu)化彈道末段速度，這種飛行方案在同等飛行時(shí)間、同等射程情況下，得到的末端速度遠(yuǎn)大于比例導(dǎo)引飛行方案得到的末端速度。通過比較比例導(dǎo)引方案與遺傳優(yōu)化方案的仿真結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)基于遺傳算法的優(yōu)化飛行方案在彈道優(yōu)化方面有一定優(yōu)越性，為空空導(dǎo)彈標(biāo)準(zhǔn)彈道的設(shè)計(jì)提供了一種參考。

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