顏 博，田宏亮，許國(guó)棟

(中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽(yáng) 471009)

隨著防空反導(dǎo)技術(shù)的不斷發(fā)展，直接碰撞殺傷的精確制導(dǎo)成為各國(guó)研究的重點(diǎn)。期望導(dǎo)彈在擊中目標(biāo)時(shí)，有一定的命中角度，達(dá)到最佳毀傷效果。隨著作戰(zhàn)高度和距離的不斷增加，傳統(tǒng)氣動(dòng)舵提供的機(jī)動(dòng)能力無(wú)法滿足需求，采用脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)的直接側(cè)向力控制，成為提高導(dǎo)彈制導(dǎo)精度的必然趨勢(shì)。脈沖推力在一個(gè)制導(dǎo)控制周期內(nèi)響應(yīng)一次制導(dǎo)指令，其工作形式是離散的，因此研究離散條件下的精確制導(dǎo)問(wèn)題具有重要的工程意義［1］。文獻(xiàn)［2］最早應(yīng)用滑模理論設(shè)計(jì)了空空導(dǎo)彈制導(dǎo)律，由于表現(xiàn)出對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)的魯棒性，使滑模理論成為制導(dǎo)律設(shè)計(jì)的熱點(diǎn)［2-5］;為了進(jìn)一步提高導(dǎo)彈命中精度，文獻(xiàn)［6］提出了帶有角度約束的變比例系數(shù)制導(dǎo)律，文獻(xiàn)［7］設(shè)計(jì)了約束角限制的滑模制導(dǎo)律，文獻(xiàn)［8］設(shè)計(jì)了帶約束角的全程滑模導(dǎo)引律，提高了系統(tǒng)響應(yīng)的時(shí)間;但這些研究都是假設(shè)導(dǎo)引頭能連續(xù)探測(cè)目標(biāo)信息，在實(shí)際工程中，導(dǎo)引頭信息是離散的。文獻(xiàn)［9-10］針對(duì)固定目標(biāo)對(duì)離散制導(dǎo)律進(jìn)行了研究，且沒(méi)有考慮約束條件。在此應(yīng)用離散滑模理論，設(shè)計(jì)了一種帶有角度約束的離散滑模制導(dǎo)律。

1 導(dǎo)彈制導(dǎo)問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

通?？湛諏?dǎo)彈在飛行過(guò)程中，要控制導(dǎo)不做滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，滾動(dòng)角保持為零，因此彈體運(yùn)動(dòng)可解耦為俯仰和偏航兩個(gè)面的運(yùn)動(dòng)。在建模過(guò)程中，可以做如下假設(shè):導(dǎo)彈的速度大于目標(biāo)的速度;導(dǎo)彈機(jī)動(dòng)能力大于目標(biāo)的機(jī)動(dòng)能力;自動(dòng)駕駛儀響應(yīng)探測(cè)指令的時(shí)間忽略不計(jì)。

以縱向平面為例，導(dǎo)彈——目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈目標(biāo)運(yùn)動(dòng)關(guān)系

由圖1 可以導(dǎo)出如下方程［4］

式(1)、(2)中:M 為導(dǎo)彈當(dāng)前時(shí)刻位置，T 為目標(biāo)當(dāng)前時(shí)刻位置;R 為導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的相對(duì)距離，˙R 為R 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，表示導(dǎo)彈與目標(biāo)之間的相對(duì)速度;Vm和Vt分別為導(dǎo)彈速率和目標(biāo)速率;φm和φt分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度方向角;q 為視線角為q 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，表示視線角速率。

將式(1)和式(2)兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，整理得

式(4)中:wR和uR分別為目標(biāo)加速度和導(dǎo)彈加速度在視線方向上的分量;wq和uq分別為目標(biāo)加速度和導(dǎo)彈加速度在視線法向上的分量。

取狀態(tài)變量x1=q，x2=，由式(4)可得狀態(tài)方程:

末制導(dǎo)問(wèn)題中，設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的關(guān)鍵在于通過(guò)uq控制視線角速率，令其趨近于零，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)平行接近［3］。

2 離散制導(dǎo)律設(shè)計(jì)方法

2.1 滑模面的設(shè)計(jì)

防空或反導(dǎo)導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)的采樣周期一般在10 ～15 ms之間的小量［12］，根據(jù)離散定義將連續(xù)狀態(tài)方程(5)離散化得:

式(6)中:T 為采樣周期，uq(k)為控制量，wq(k)為干擾量，ΔR(k)為一個(gè)采樣周期內(nèi)，導(dǎo)引頭測(cè)得彈目距離的變化量。

根據(jù)經(jīng)典制導(dǎo)武器末制導(dǎo)平行接近原理，控制視線角速率為零，即=0，并且希望擊中目標(biāo)時(shí)保持一定的期望角度，即q =q*，q*為確定的常值。為了實(shí)現(xiàn)這一控制目標(biāo)，根據(jù)滑模變結(jié)構(gòu)控制的特點(diǎn)，選取切換函數(shù)

其中:c 為待設(shè)計(jì)的滑模面參數(shù)，滑模參數(shù)c 越大，滑模運(yùn)動(dòng)段響應(yīng)越快，但控制量的輸出也越大，系統(tǒng)將有較大的抖振;c 越小，設(shè)計(jì)的控制量輸出小，抖振小，但系統(tǒng)滑模段響應(yīng)慢，動(dòng)態(tài)性能變差。

2.2 離散趨近律和控制器的設(shè)計(jì)

趨近律方法是滑模變結(jié)構(gòu)控制的一種典型控制策略，這種控制方法不僅可以對(duì)系統(tǒng)在切換面附近或沿切換面的滑模運(yùn)動(dòng)段進(jìn)行分析，而且可以有效地對(duì)系統(tǒng)趨近段的動(dòng)態(tài)過(guò)程進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，從而保證系統(tǒng)在整個(gè)狀態(tài)空間內(nèi)具有良好的運(yùn)動(dòng)品質(zhì)。采用如下的離散趨近律

其中，δ 為趨近速度函數(shù)數(shù)，σ 為符號(hào)函數(shù)增益函數(shù)，且滿足δ ＞0，σ ＞0。

趨近速度參數(shù)σ 主要影響切換函數(shù)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，適當(dāng)?shù)恼{(diào)整該參數(shù)可改變系統(tǒng)向滑模面的趨近速度，改善動(dòng)態(tài)品質(zhì)。增益參數(shù)ε 是保證系統(tǒng)對(duì)外界擾動(dòng)和參數(shù)攝動(dòng)魯棒性的主要參數(shù)，ε 越大抗干擾能力就越強(qiáng)，但會(huì)使系統(tǒng)的抖振變大，需要折中考慮。取

這樣設(shè)計(jì)的意義在于R(k)較大時(shí)，適當(dāng)放慢趨近滑模面的速率，R(k)趨向于零時(shí)，使趨近速率迅速增加，確保系統(tǒng)不發(fā)散，并且具有較大的抖振，對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)有較強(qiáng)的魯棒性。根據(jù)離散滑模變結(jié)構(gòu)理論［11］，為保證制導(dǎo)系統(tǒng)以任一初始狀態(tài)首先趨近切換面，且不發(fā)生穿越，然后轉(zhuǎn)換為準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)，設(shè)計(jì)的趨近律必須滿足

結(jié)合式(9)得

將式(7)、式(9)帶入式(8)，并考慮狀態(tài)方程式(6)，整理可得到縱向平面的控制律

2.3 穩(wěn)定性與可達(dá)性分析

連續(xù)系統(tǒng)滑模的到達(dá)條件為s˙s ＜0，推廣到離散系統(tǒng)，得到可達(dá)性條件

到達(dá)條件式(13)對(duì)于準(zhǔn)滑模運(yùn)動(dòng)的存在是必要條件，而不是充分條件，并不能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定件。

因此，以李雅普諾夫穩(wěn)定性定理為基礎(chǔ)，選擇李雅普諾夫函數(shù)

當(dāng)滿足時(shí)，系統(tǒng)可以從任意初態(tài)漸進(jìn)趨向滑模面，可知離散滑模區(qū)存在和到達(dá)條件

采樣時(shí)間T 很小時(shí)，離散滑模的存在和到達(dá)性條件等價(jià)［11］:

根據(jù)設(shè)計(jì)的切換函數(shù)式(7)與趨近律式(8)帶入式(17)得:

因此，只要滿足就能保證穩(wěn)定性與可達(dá)性。

根據(jù)式(9)、式(11)與式(20)，滿足離散滑?？刂频膮?shù)條件

在實(shí)際制導(dǎo)過(guò)程中，導(dǎo)引頭測(cè)量數(shù)據(jù)的采樣周期T 為極小值且彈目相對(duì)速度較大，因此彈目距離R(k)相對(duì)于T 為快變量，整個(gè)制導(dǎo)過(guò)程中，即便是末制導(dǎo)過(guò)程中導(dǎo)引頭關(guān)機(jī)時(shí)刻，R(k)/T 仍為較大值，所以λ、ε 有足夠大的選擇空間滿足條件。

3 仿真與分析

以某導(dǎo)彈攔截目標(biāo)為例，設(shè)導(dǎo)彈初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)( 0，0，0)，初速度為Vm=640 m/s，彈道傾角θm( 0)=2.74°，彈道偏角φvm( 0)=4. 6°，目標(biāo)相對(duì)導(dǎo)彈的初始位置坐標(biāo)(30 000，5 000，5 000)，初 速 度Vt= 360 m/s，彈 道 傾 角θt( 0)=2.5°，彈道偏角φvt( 0)=180°;目標(biāo)在法向上的加速度為aty=2gsin(0.2t)m2/s，atz=2gcos(0.2t)m2/s，的螺旋機(jī)動(dòng)。導(dǎo)彈最大法向過(guò)載3g，忽略執(zhí)行機(jī)構(gòu)延時(shí)及導(dǎo)引頭噪聲影響，導(dǎo)引頭數(shù)據(jù)采樣周期10 ms，制導(dǎo)盲區(qū)R(∞)=1 m，進(jìn)入盲區(qū)后，導(dǎo)彈?？兀瑧T性飛行。離散導(dǎo)引律中取c =1，λ=1，ε=20，期望角度q*=90°;帶約束角的離散比例導(dǎo)引律比例系數(shù)k=4。在離散比例制導(dǎo)律和離散滑模制導(dǎo)律作用下，仿真結(jié)果見(jiàn)圖2 ～圖4。圖2 為目標(biāo)螺旋機(jī)動(dòng)時(shí)，采用帶角度約束的離散滑模制導(dǎo)和離散比例制導(dǎo)的彈道曲線。對(duì)比彈道軌跡可以看出，2 種制導(dǎo)律都能較好的跟蹤目標(biāo)，采用離散滑模制導(dǎo)的彈道軌跡更優(yōu)。

圖2 導(dǎo)彈目標(biāo)運(yùn)動(dòng)軌跡

圖3 視線角隨時(shí)間變化曲線

圖4 視線角速率隨時(shí)間變化曲線

由圖3 對(duì)比2 種制導(dǎo)律下視線角的變化可知，采用離散滑模制導(dǎo)時(shí)，最終視線角約為90°，達(dá)到了期望角度。采用離散比例制導(dǎo)時(shí)，最終落腳約為65°，說(shuō)明比例制導(dǎo)對(duì)視線角有所校正，但并沒(méi)有到達(dá)期望值。

由圖4 可以看出采用帶約束角的離散滑模制導(dǎo)律和帶約束角的離散比例制導(dǎo)律都能夠很快的保證視線角的變化率接近零，從而實(shí)現(xiàn)平行接近，命中目標(biāo)。采用離散滑模制導(dǎo)在制導(dǎo)末端，視線角速率的發(fā)散程度要比采用離散比例制導(dǎo)的發(fā)散程度小，因此具有更高的制導(dǎo)精度。

改變目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)形式，對(duì)目標(biāo)加有界隨機(jī)機(jī)動(dòng)，導(dǎo)彈采用相同的制導(dǎo)參數(shù)，采用蒙特卡洛法，進(jìn)行200 次仿真，進(jìn)行脫靶量的比較，仿真結(jié)果見(jiàn)圖5、圖6。

圖5 比例制導(dǎo)的脫靶量

圖6 滑模制導(dǎo)的脫靶量

由仿真數(shù)據(jù)可得，設(shè)計(jì)的離散滑模制導(dǎo)律，平均脫靶量為約0.07 m，離散比例制導(dǎo)律約為0.82 m。在目標(biāo)做有界隨機(jī)機(jī)動(dòng)時(shí)，設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律能夠命中目標(biāo)，且比離散比例制導(dǎo)律具有更小的脫靶量。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)連續(xù)制導(dǎo)系統(tǒng)，推導(dǎo)了離散狀態(tài)方程，提出了一種帶有角度約束的離散滑模制導(dǎo)律。結(jié)合離散滑模理論，采用李雅普諾夫理論分析了制導(dǎo)律參數(shù)的穩(wěn)定條件。仿真結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律比帶有角度約束的比例制導(dǎo)律具有更小的脫靶量和更理想的命中角度。采用蒙特卡洛仿真驗(yàn)證了對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)的魯棒性，實(shí)用于工程應(yīng)用。

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