黃志圣，葉 霞，詹華稅

(集美大學(xué)理學(xué)院，福建 廈門 361021)

0 引言

考慮如下對稱定常微流邊界層方程

盡管本文的方法是類似于Oleinik的方法，然而，v(y)是y的函數(shù)，這使得相應(yīng)的轉(zhuǎn)換和計算變得更加復(fù)雜，一些限制條件作用在v(y)上使其仍然能夠應(yīng)用Oleinik的線性化方法．此外，如果允許v(y)或其導(dǎo)數(shù)是一個無界函數(shù)，則不能應(yīng)用Oleinik的線性化方法，在這種情況下，得到同樣的結(jié)果看起來非常困難．近年來關(guān)于定常Prandtl系統(tǒng)全局解的存在性方面重要的研究進展可參考文獻 [5-8]，其他相關(guān)工作，可以參考文獻 [9]．

本文的目的是研究系統(tǒng) (1)— (2)解的適定性問題．為此引入Crocco變換ξ=x，η=u(x，y)/U(x)，w(ξ，η)=uy(t，y)/U(x)．經(jīng)過簡單的計算，可得如下w(ξ，η)的方程和邊界條件:

與文獻 [1]相比，方程 (3)增加了非線性項2vηw2wη+vηηw3，邊界條件 (4)增加了非線性項vηw2．在本文的討論中，要利用Oleinik線性化的方法，討論問題 (1)— (2)解的適定性問題．為此，必須增加以下限制性條件:是有界的，vη≤0，vηη=0．則方程 (3)變?yōu)?

定義1稱函數(shù)u(x)，v(x)為問題(1)的解，如果u在內(nèi)連續(xù)，v在D內(nèi)連續(xù)并且在ˉD內(nèi)關(guān)于y連續(xù)，u，v的導(dǎo)數(shù)在D內(nèi)連續(xù);方程 (1)對u，v在D內(nèi)成立，并滿足條件 (2)．

定義2稱函數(shù)w(ξ，η)為問題(4)—(5)的解，如果:w(ξ，η)在內(nèi)連續(xù)，并且在Ω內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)wξ，wη，wηη，其中wηη關(guān)于η在η=0處連續(xù);方程 (5)對w(ξ，η)在Ω內(nèi)成立，并且滿足條件 (4)．

對任意的函數(shù) f(η，ξ)，引進如下的記號 fk=fk(η)=f(kh，η)，h 〉 0 且為常數(shù)，k=0，1，2，…，[X/h]．代替方程 (5)和邊界條件 (4)，將考察下面的常微分方程組:

其中，當k=0時，μk=0;當k≥0時，μk是足夠大的常數(shù)，并且U(x)、r(x)是二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，v0x(x)有界．在以下的論述中，約定Mi，μ，δ為不依賴于h的正常數(shù)．

1 重要引理

引理1 設(shè)wk(η)是常微分方程組 (6)的解，當0≤η≤1時，wk(η)是連續(xù)的;當0≤η〈1時，wk(η)是無窮可微的，vη≤0．wk(η)滿足下面的估計:

這里，kh≤X，h≤h0，h〉0為常數(shù)．

證明 通過構(gòu)造如下的系統(tǒng) (8)的解，取ε→0的極限來獲得方程組 (6)的解．

假設(shè)方程組 (8)有一個解是wk．滿足當η=0時，wk為正．令Vk=M3(1-η)e-αkh，α〉0為常數(shù)，發(fā)現(xiàn)，因為Ukx〉0，0〈h'〈h，并且所以，當η〈1足夠大，M3足夠小時，由假設(shè) vη≤0，有:如果M3足夠小，vη≤0，則令yk=Vk-wk，有:當η〈1時，Lε，k(V)-Lε，k(w)〉 0;當 η =0 時，λε，k(V)- λε，k(w)〉 0 ．

由以上不等式可以推出 yk≤0．事實上，考慮 Sk=yke-βkh．當 η〈1，?h″，0〈h″〈h時，由Lε，k(V)-Lε，k(w)〉 0 ，λε，k(V)- λε，k(w)〉 0 ，有

因為Ux〉0，當η=0時，wk，Vk為正的．由最大值原理，從式 (9)可得Sk≤0．具體來說，Sk在[0，1]的內(nèi)部取不到正的最大，因為當β〉0足夠大、h足夠小和M3足夠小時，有:這和式 (9)矛盾．在η=0這點，因為Skη(0)≤0和式 (10)相互矛盾，所以Sk也不可能有正極大值．因此，有Sk≤0，yk=Vk-wk≤0．由此可得，當 kh≤X時，有wk(η)≥ M3(1- η)e-αkh．

選擇任意一個正常數(shù) M4，有下列不等式成立:2/M4．假設(shè)ψ(w)是(-∞，+∞)上的充分光滑函數(shù)，使其滿足當w≥M4時，ψ(w)=w;當w≤M4/4時，ψ(w)=M4/2;當M4/4≤w≤M4時，0≤ψ'(w)≤1．

考慮由方程組 (8)及以下的邊界條件 (11)組成的系統(tǒng)

當ε〉0時，方程 (8)和條件 (11)解的存在性的證明由Leray-Schander定理的證明方法給出．

Leray-Schauder定理 在Banach空間X中，考慮一族映射y=T(x，k)，這里x，y∈X;k是實參數(shù)，a≤k≤b．設(shè):1)T(x，k)定義在x∈X，a≤k≤b;2)對任意固定的k，T(x，k)在X上連續(xù)，即?ε〉0，x0∈X，?δ〉0，如果在X上的有界子集關(guān)于k一致連續(xù)，即?ε〉0和任意有界集合X0?X，?δ〉0，當時，有是緊集;5)對x-T(x，k)=0的任意解x，有在X內(nèi)有唯一解．

現(xiàn)在，做方程 (6)解的存在性證明．考慮下面含參量γ的微分方程系統(tǒng):

邊界條件

當γ=0時，問題 (12)— (13)為線性的;當γ=1時，則該問題轉(zhuǎn)化為方程 (8)和邊界條件(11)的問題．

對于這個系統(tǒng)，證明Leray-Schauder定理．考慮T(θ，γ)=w，它把C2([0，1])中的任意矢量函數(shù)θ映射到w≡(w1，…，wm)，m=[X/m]，其中w是下面的線性微分方程系統(tǒng)的解:

邊界條件

當γ=0時，問題 (14)— (15)有唯一的解．因為該問題是線性的，當h足夠小時，在問題(14)中wk的系數(shù)是非正的，并且φ(x)≤0，Ukx〉0．

非線性問題 (12)— (13)的解wk關(guān)于γ一致有界，并且它的二階導(dǎo)數(shù)也是一致有界的．首先，對wk做下界的估計．令 V0=M5(1-η)e-αkh．當 M5足夠小時，可得因為M5與γ，h，ε無關(guān)．當0〈η≤1時，V0代入式 (14)，則式 (14)的等式左邊大于零．因此，對于yk=Vk0-wk，可得，當γ，kh≤X，0≤η≤1，0〈ε≤1時，有yk≤0，wk≥Vk0．

下面對問題(12)—(13)的解wk做上界的估計．為此把它轉(zhuǎn)化為另一個未知函數(shù)的形式wk=(M6-eβη)eκkhˉwk，其中κ，β是正常數(shù)．選擇適當大的M6，β，κ，可以得到以下的方程其中〉0，以及邊界條件

由式 (12)中關(guān)于wkη的一階方程和邊界條件 (13)中在η=0點wkη的估計得到wkη關(guān)于γ的一致估計．由相同的方法，可以得出問題 (14)— (15)的解wk(η)和它到三階導(dǎo)數(shù)關(guān)于γ的一致估計．在這些估計中的常數(shù)依賴于算子 T(θ，η)是 由在 C2([0，1])中函數(shù)θ的有界集映射到w的緊集．因此，在C2([0，1])中關(guān)于方程 (8)— (11)的問題在ε〉0時解的存在性，即Leray-Schauder定理的結(jié)論．

前面已經(jīng)證明了問題 (8)的解wk(η)的下界關(guān)于 ε，h的一致估計，即，wk(η)≥ M3(1-η)e-αkh．下面，證明其解的上界的一致估計，即其中，M8，μ是正常數(shù)且與ε，h無關(guān)．取μ〈1并且當0≤η〈1時，σ〉1．當0≤η≤1，M8足夠大時，可以得到Lε，k(V1)〈0．

另外，對于μ〈e-1/2，如果M8足夠大，υη≤0，則可以得到λε，k(V1)〈0．由上面的不等式可以得到 Lε，k(V1)-Lε，k(w)〈 0 ，λε，k(V1)- λε，k(w)〈 0 ．當0 〈 η 〈1，0≤kh≤X 時，設(shè) Sk=Vk1-wk滿足不等式:因為，當η 〈1時，所以當0〈η〈1，kh≤X，h足夠小時，由以上的不等式容易推出Sk≥0，Vk1≥wk．

當η=0時，由方程組 (8)結(jié)合wk兩邊的估計，可以得到在0≤η≤1-δ上，wkη，wkηη關(guān)于 ε 的一致估計成立．對方程 (8)關(guān)于η微分，可以證明wk的導(dǎo)數(shù)到給定的階數(shù)在0≤η≤1-δ上關(guān)于ε一致有界．因此，問題 (8)的一族解wk依賴于ε，0〈ε≤1，可以抽取一個序列wk，例如wk和它們?nèi)我饨o定階數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當ε→0時，其在0≤η≤1-δ上一致收斂．因為V≤wk≤V1，則這個有限函數(shù)在0≤η≤1-δ上連續(xù);當η〈1時，有限函數(shù)滿足方程組 (6);當η=1時，它不存在．顯然，有限函數(shù)wk對于式 (7)的估計式成立．存在性證畢．

對方程(8)—(11)系統(tǒng)的任意解?wk，下證?wk≥Vk．令?yk=Vk-?wk，選擇適當小的M3，有當η〈1時，有

為了得到wk(η)有更好的估計，下面證明引理2．

引理2 設(shè)wk(η)是問題 (6)的解，有下列的估計成立:當0≤η≤1，0≤kh≤X時，

當0≤η≤1時，

當1-δ≤η≤1時，

證明 首先，建立估計式 (18)．令Φk=M12(1-η)σe-αkh，則當α〉0足夠大，M12足夠小和μ〈e-1/2，有其中另外，如果 M12足夠小，則當0≤η〈1，kh≤X時，設(shè) Sk=Φk-wk，因為 Lk(Φk)-Lk(wk)〉0，λk(Φk)-λk(wk)〉0，則有不等式:

當β〉0為常數(shù)并且其足夠大時，把式(21)、式(22)轉(zhuǎn)化為新函數(shù)由以上類似的證明可以看出，上面的不等式中不可能取正值．因此，Sk=Φk-wk≤0，式(18)估計成立．用相似的方法證明式 (19)．令 φ =K0(1- η)σ ，則 L0(φ)= υK20(1- η)2σ2[-K0/(2σ(1- η))-K0/(4σ3(1- η))]-(1- η)(1+ η)Ux(0)K0(- σ +1/(2σ))+2υηK30(1- η)2σ2(- σ +1/(2σ))．因為υK20=4Ux(0)，υη≤0，所以當0≤η〈1時，L0(φ)〈0．另外，如果σ(0)足夠大，即σ(0)〉M11，其中M11的取值只與問題 (4)— (5)的數(shù)值有關(guān)，可得當0≤η〈1時，函數(shù)S=φ-w0滿足不等式因為φη〈0，φηη〈0和S(1)=0，υη≤0，所以S的系數(shù)不可能為正．可以推出當0≤η≤1時，S≥0．因此，不等式 (19)成立．

顯然，如果M10〉0且適當大，M10〈σ，而且1-M10/σ≥d〉0，則L0(Q)〉0．取δ〉0，有1-M10/(σ(1-δ))=d．則當1-δ≤η〈1時，1-M10/σ≥d，M10〈σ．由此可得，當1-δ≤η〈1時，L0(Q)〉0，并且根據(jù)式 (20)和所選擇的d，有并且Q(1)=w0(1)=0．對于S=Q-w0，當1-δ≤η〈1時，得 υ(w0)2Sηη+A0Sη+Qηηυ(w0+Q)S+2υη(w0)2Sη+2υηQη(w0+Q)S 〉 0 ，S(1- δ)≤0 ，S(1)=0．

因為Qηη〈0，當M10適當大時，Qη〉0．由這些不等式可以推出S≤0，Q≤w0．因此不等式 (20)成立．

引理3 當k=0時，設(shè)w0是問題 (6)的解，則它的導(dǎo)數(shù)w0η滿足估計:當0≤η〈1時，-M13σ≤w0η≤M14．

證明 由引理1和引理2，可以得到:

令Hk=wk-M2(1-η)σ≤0．當η≤1時，Hk≤0，Hk(1)=0;并且當η〈1時，Hk(η)是可微的．因此，當n→∞，ηkn→1時，Hkη(ηkn)≥0．由此可得

如果考慮 M9(1-η)σ -wk，當 n→∞，?ηkn→1時，有

當0≤η〈1時，函數(shù)z0≡w0η滿足方程

對w0η做下界的估計．令θ=-M20σ-M21，M20，M21=const〉0．然后，應(yīng)用式 (19)，如果M21足夠大，當0≤η 〈1時，由假設(shè) υη≤0，有L0(θ)≥-(1-η)2(U2x+2υηK20)M20σ +M21[(1- η)(1+η)U0x-2υηK20(1-η)2]〉0．因此，當0≤η〈1時，有L0(θ-z0)〉0．如果M20〉M15，則在η=η0n上θ-z0〈0．因此容易得，當0≤η〈1時，有θ-z0〈0．則當0≤η〈1時，有w0η=z0≥θ=-M20σ-M21≥-M13σ ．

證明 不等式 (27)— (28)用歸納法證明．當k=0時，式 (27)已經(jīng)在上面的引理中證明過．下面要證明如果kh≤X1，當k-1對于所選擇的常數(shù)M22、M23、M24成立時，則k也成立．令wkη=zk，h-1(wk-wk-1)=rk，做出zk，rk，k≥1的方程．對方程 (6)關(guān)于η求導(dǎo)，得

在η=0對于方程 (6)的邊界條件，有

而后，把方程 (6)中wk減去wk-1的差除以h，得:)

類似地，從方程 (6)的邊界條件可以得到

考慮函數(shù)φk±rk=qk±，當0≤η〈1時，如果kh≤x1，有:

如果kh≤x2，還可以得到

因為在式 (34)中，當kh≤x1時，qk±的系數(shù)是非正的，由式 (34)— (35)可得，當0≤η≤1時，qk±≥0;并且kh≤min(x1，x2)=x3，則有

在式(28)中令M27等于M28．因為有歸納假設(shè)qk±-1≥0，所以式(34)成立．

下面對zk做估計．令F=-M29σ，計算Pk(F)．由wk的估計式 (18)和式 (7)，如果M29適當大，當 kh≤x3時，有:選擇的M29與k，h無關(guān)，當η=ηkn時，F(xiàn)k-zk≤0;當η=0時，F(xiàn)k-zk≤0，其中ηkn對于不等式 (24)成立．

當0≤η〈1時，對于差分Fk-zk=Sk，有不等式

并且有:在式 (37)中Sk的系數(shù)等于Bk+Akη+2υηwkFkη+4υη(Fk+zk)．顯然，如果M29足夠大，則其系數(shù)是負的．用上面的形式取M22等于M29，則Sk-1≤0．因為在式 (37)— (38)中Sk不可能取正值，所取Sk≤0．當kh≤x3時，有wkη=zk≥-M22σ，其中M22依賴于問題 (4)— (5)的數(shù)值．可以假設(shè)M22≥M13．

下面，對zk做上界的估計．令Ψ=-M30e-αη，如果kh≤x4≤x3，當M30足夠小，α足夠大時，不妨設(shè)x4足夠小，所以可以推出 Bkη=-Uk，設(shè) wk-rk〈0，由以上的假設(shè)，有 Pk(Ψ)(α 〉0):如果 M30足夠小，kh≤x5，x5=const〉 0，可得當0≤η 〈1時，對于 Sk1=Ψk-zk，有不等式:

為了證明 Sk1≥0，做新函數(shù) Sk2=Sk1e-βkh，易得如果β〉0足夠大，則當M30足夠小時，S2k的系數(shù)在第一個不等式中是正的．因為如果設(shè)S02≥0，當0≤η≤1，kh≤x6時，其中x6=min(x4，x5)，則S2k不可能取負值．因此，當kh≤x6時，有S2k≥0，zk≤-M30e-αη．

在η=1這點附近，可以做進一步的估計．令F1=-M31σ并且計算Pk(F1)．如果kh≤x7，0〈1-η 〈δ1，M31和 δ1足夠小時，不妨設(shè) wk-rk〈0，有:Pk1(F)=- υ(wk)2M31[1/(2σ(1- η)2)-1/(4σ3(1- η)2)]+M31(1- η2)Ukx/(2σ(1- η))-BkM31σ +2υwkM231/(2(1- η))-2ηUxM31σ +Bkηwk-Ukrk- υη(wk)2M31/(σ(1- η))+4υηwkM231σ2≤M31[σ(- υM29/2-Bk+ υM2M31-2ηUxM31σ - υη(1-η)M29+4υηwkM31σ)+(υM29/(4σ)+(1+ η)Ukx/(2σ))]+Bkηwk-Ukrk〈 0 ．其中為常數(shù)．

考慮差分Sk=Fk1-zk．當1-δ1≤η〈1，kh≤x7時，函數(shù)Sk滿足不等式

如果M31適當小，由式 (25)和zk≤M30e-αη，當kh≤x6時，有

因此，選擇的M31只由問題 (4)— (5)的數(shù)值決定．令M23=min{M31，M30e-α(ln(μδ1))-1/2}．設(shè)M23〈M14，則Sk-1≥0．由式(39)、式(40)可得Sk≥0．當k≥1時，代入新函數(shù)ˉSk=Ske-βkh，可得:如果 β(h)〉 0 足夠大由此可得，當1-δ1≤η 〈1時，有

不等式 (29)由式 (27)、(28)得來．由方程 (6)可得 υwkwkηη=(ηUk+ μkh)rk/wk-Akzk/wk-Bk-2υηwkzk．因為Bk≤N3kh，當kh足夠小時，有:

2 解的存在唯一性

證明 當kh〈ξ≤(k+1)時，把wk(η)=w(kh，η)當作問題 (6)的解，可以得到一族wh(ξ，η)，wh(kh(1- λ)+(k+1)hλ，η)=wk(η)(1- λ)+wk+1(η)λ，0 ≤ λ ≤1，k=0，1，2，… ．

根據(jù)引理1—引理4，wh(ξ，η)關(guān)于ξ滿足Lipschitz條件，并且當0〈ξ〈X，0〈η〈1-ε，0〈ε〈1時，wh(ξ，η)在η上關(guān)于h一階一致有界．由Arzela定理知，存在序列hi→0，使得子序列whi(ξ，η)在矩形區(qū)域上一致收斂于某一函數(shù)wh(ξ，η)．因為M9(1-η)σ≤wh≤M2(1-η)σ，whi可以在Ω內(nèi)一致收斂到w．

由式 (27)—式 (28)可得w(ξ，η)存在有界的弱導(dǎo)數(shù) wξ，wη，wηη，并且 wwηη在 Ω 內(nèi)有界．不妨設(shè)序列whi(ξ，η)滿足在區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)在 L2(Ωε)的意義下收斂于 wξ，wη，wηη．

記wkh=wh(ξ，η)=w(kh，η)．由式 (6)的方程可得:

假設(shè)φ(ξ，η)是光滑函數(shù)，且使得suppφ??Ω．令φk(η)=φ(kh，η)，在式 (41)兩邊同乘以hφk，將所得的方程關(guān)于η從0到1積分，同時對k從1到m(h)求和，有

記

為了證明式 (5)中w及其導(dǎo)數(shù)在Ω的子區(qū)域內(nèi)滿足H?lder條件，考慮下面的方程

下證邊界條件 (4)也是滿足的．由式 (4)的第一個條件知，wh是一致連續(xù)的，并且當η=1時，問題(6)的條件成立．令因為當η〈1-δ時，在h上一致有界，并且滿足式 (6)的第二個邊界條件，則:

當hi→0時，在L2(Ω)的意義下 zh?z=υwwη+υηw2-v0w+c．因此，由式 (47)可得即邊界條件 (4)也滿足．

定理2問題(4)—(5)存在唯一的解ω，有如下的性質(zhì):w在ˉΩ內(nèi)連續(xù)，它的導(dǎo)數(shù)wξ，wη，wηη在Ω內(nèi)連續(xù);在Ω內(nèi)wηη≤0，w≥0;當η=0時w〉0;wη關(guān)于η在η=0處連續(xù)．

證明 假設(shè)問題(4)—(5)在Ω內(nèi)的兩個解w1，w2有如上的性質(zhì)．令則可以得到，如果α〉0且α足夠大，當η=0時，w1〉0，w2〉0．因此，當η≤1時，既沒有正的最大值也沒有負的最小值，即≡0，w1≡w2，唯一性得證．

定理1和定理2作為推論，在下面的證明中得到定常對稱微流邊界層系統(tǒng) (1)— (2)解的存在唯一性．

定理3問題(1)—(2)在D中的解滿足以下的性質(zhì):u/U，uy/U在中連續(xù)有界;當x〉0，y〉0時，u〉0;當y→∞時，u→U，u(x，0)=u(0，y)=0;當y≥0時，uy/U〉0;當y→∞時，uy/U→0，uyy，ux，uy關(guān)于y在中連續(xù)有界;v關(guān)于有界的y是有界的;υ(y)在D內(nèi)有直到三階的有界導(dǎo)數(shù);uyyy在ˉD中有界;uxy關(guān)于有界的y在D內(nèi)有界;uxy，uyyy在內(nèi)連續(xù);uyy/uy關(guān)于y在內(nèi)連續(xù)．此外，

證明 如果w(ξ，η)是問題 (4)— (5)的解，并且有定理1中的性質(zhì)，可以利用Crocco變換，把問題 (4)— (5)的解轉(zhuǎn)換成問題 (1)— (2)的解的形式．根據(jù)Crocco變換，可以得到

由w及其導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)知，弱導(dǎo)數(shù)ux，uyy，uyyy在D內(nèi)有界．uxy對有界的y有界;由w，wξ，wη，wwηη的性質(zhì)，知式 (48)成立．且由式 (51)知ux，uyy關(guān)于y連續(xù)．

按如下的方式定義函數(shù)v(x，y)

關(guān)于y微分式 (52)，可得vyuy+vuyy+uyux+uuxy-υuyyy-2υyuyy-υyyuy=0，即

函數(shù)w(ξ，η)=uy/U滿足方程 (5)，在方程 (5)中用u的導(dǎo)數(shù)代替w的導(dǎo)數(shù)，可得

把式 (54)乘以U后與式 (53)作和，可得uyvy+uyux+ruxuy/r=0，即

式 (52)和式 (55)就組成了所考慮的系統(tǒng) (1)．由式 (4)知，

定理4 令 u，v是問題 (1)— (2)的解，其導(dǎo)數(shù) ux，uy，vy，uyy，uyyy，uxy在 D中連續(xù)，u/U，uy/U在中連續(xù);當y≥0，x〉0時，uy〉0;當y=0時，uy/U〉0;當y→∞時，uy/U→0;uyy/uy，ux關(guān)于y在y=0點連續(xù);(uyyyuy-u2y)/u2>y≤0，則u，v是問題 (1)— (2)的唯一解．證明 此定理的證明與文獻[1]中定理3.1.8的方法一樣，這里不再敘述．

[1]OLEINIK O A，SAMKHIN V N.Mathematical models in boundary layer theorem [M].Boca Raton:Chapman and Hall/CRC，1999.

[2]ANDERSON I，TOFTEN H.Numerical solutions of the laminar boundary layer equations for power-law fluids[J].Non-Newton，F(xiàn)luid Mech，1989，32:175-195.

[3]SCHLICHING H，GERSTEN K，KRAUSE E.Boundary layer theory[M].8th ed.New York:Springer，2004.

[4]LI L，ZHAN H S.The study of micro-fluid boundary layer theory [J].WSEAS Transaction on Mathematics，2009，8(12):699-711.

[5]GILBARG D，TRUDINGER N S.Elliptic partial differential equations of second order[M].New York:Springer-Verlag，1977.

[6]ZHANG J W，ZHAO J N.On the global existence and uniqueness of solutions to non-stationary boundary layer system[J].Science in China，2006，36:870-900.

[7]E W N.Blow up of solutions of the unsteadly Prandtl's equations[J].Comm Pure Appl Math，1997(1):1287-1293.

[8]XIN Z，ZHANG L.On the global existence of solutions to the Prandtl's system [J].Adv in Math，2004，191:88-133.

[9]ZHAN H S.On a quasilinear degenerate parabolic equation [J].Chinese Annals of Math，2006，27A:731-740.