鄧木生，王璽珍，黃 俊

（湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院軌道交通系，株洲 412001）

自耦補償與諧波屏蔽換流變壓器[1]是一種用于直流輸電的新型換流變壓器，其接線方案見文獻[2]。新型換流變壓器一次繞組采用Y形連接，二次繞組采用延邊三角形連接，其延邊繞組端點與換流器連接；濾波裝置不是安裝在換流變壓器一次側(cè)，而是安裝到二次側(cè)延邊三角形耦合繞組中間抽頭處[2]。

新型換流變壓器具有特殊的繞組布置結(jié)構(gòu)與阻抗匹配關(guān)系，其目的是為了實現(xiàn)利用變壓器繞組的安匝平衡作濾波機理的自補濾波方式。由于該種濾波方式較之無源濾波與有源濾波有諸多優(yōu)點，因此特別適合于因非線性負荷的作用而存在大量諧波與無功的直流輸電系統(tǒng)[3～6]。

縱向不對稱故障，即一相或兩相斷開故障[7]，是電力系統(tǒng)中常見的故障。本文主要研究新型換流變壓器縱向不對稱故障的計算方法，這對新型換流變壓器繼電保護參數(shù)整定、實現(xiàn)新型換流變壓器及其濾波系統(tǒng)自動化控制和安全經(jīng)濟運行具有重要的理論意義和實際價值。

傳統(tǒng)的計算電力縱向不對稱故障的方法[8～11]通常需要增加新節(jié)點，但是增加網(wǎng)絡(luò)的階數(shù)會對計算方法產(chǎn)生影響，并且在多重斷相情況下程序編制困難，目前主要采用阻抗模擬法使用高阻抗來模擬縱向故障[12]，但其會帶來數(shù)值處理上的問題[13]。文獻[14]采用稀疏列表法對新型換流變壓器進行了斷線故障計算，但該故障計算方法存在以下不足：①所建稀疏列表方程階數(shù)高，算法組織復(fù)雜，運算量大；②網(wǎng)絡(luò)方程形式不直觀，物理含義不明確；③耦合支路斷線故障計算比較復(fù)雜，但很重要。文獻[14]只給出了文獻[2]中接線方案的電流源支路、濾波支路斷線故障的求解方法，但沒有給出耦合支路斷線故障的方法，從而使該方法的推廣應(yīng)用受到了限制。

添加法是電網(wǎng)絡(luò)分析中很具特色的建立網(wǎng)絡(luò)方程的方法[15]，該方法與文獻[14]建立電網(wǎng)絡(luò)方程的方法相比，算法組織簡單，算法內(nèi)存占用量減少，運算量小，提高了計算效率；該方法建立的網(wǎng)絡(luò)方程形式比較直觀，而且可以確定電網(wǎng)絡(luò)中每條支路對網(wǎng)絡(luò)方程貢獻的大小及其出現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)方程中的位置，物理含義很明確。

本文在文獻[16]采用添加法建立的新型換流變壓器正常狀態(tài)數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)上，根據(jù)添加法建立網(wǎng)絡(luò)方程的原理，通過修改正常狀態(tài)數(shù)學(xué)模型來計算新型換流變壓器的各種縱向不對稱故障（電流源支路、濾波支路、耦合支路縱向不對稱故障），并通過實際算例驗證了該方法的正確性。

1 新型換流變壓器耦合電路及有向圖

新型換流變壓器由3個單相三繞組變壓器連接而成，由其接線[2]可得出表征新型換流變壓器三相繞組具體連接方式的耦合電路，如圖1所示。圖1 中，R1、R2、R3、L1、L2、L3分別表示 A、B、C 各相一次側(cè)繞組、二次側(cè)延邊繞組與公共繞組的電阻和自感；M12、M13、M23分別表示每相中各繞組間的互感；Ii表示各支路電流，i=1，2，…，12，其中 I1=IS1、I2=IS2、I3=IS3分別表示 A、B、C 相激勵電流。

將新型換流變壓器看作含互感支路的電網(wǎng)絡(luò)，由圖1可得文獻[2]中接線方案的有向圖如圖2所示，圖2中的數(shù)字1～15為支路的編號、①～⑨為節(jié)點的編號，0代表接地點。

2 新型換流變壓器縱向不對稱故障計算

2.1 添加法基本原理

對于一個節(jié)點數(shù)為n，支路數(shù)為b的電力網(wǎng)絡(luò)來說，設(shè)節(jié)點導(dǎo)納矩陣為Yn、支路導(dǎo)納矩陣為Yb、電壓源列向量為US、電流源列向量為IS、節(jié)點電流列向量為In。如果運用關(guān)聯(lián)矩陣法建立節(jié)點導(dǎo)納方程，在求得節(jié)點導(dǎo)納矩陣Yn及節(jié)點電流列向量In中需要做矩陣運算

圖1 新型換流變壓器耦合電路Fig.1 Coupled circuit of the new converter transformer

圖2 新型換流變壓器電網(wǎng)絡(luò)有向圖Fig.2 Directed digraph of electric network of the new transformer

事實上，由于關(guān)聯(lián)矩陣A所含元素僅為0、+1、-1，所以與A或AT的乘法運算實質(zhì)上僅是某些元素的加減運算，因此進行乘法運算是無謂的，低效的。而且，從上面的矩陣運算公式可以看出，在利用計算機編程計算中，要建立方程至少需存放關(guān)聯(lián)矩陣A，支路矩陣Yb及節(jié)點電流列向量In。存放最終得到的網(wǎng)絡(luò)方程僅需n2+n個單元，但存放矩陣A卻需要n×b個單元，存放矩陣Yb需b×b個單元，顯然矩陣A及Yb的存放占據(jù)了很多的單元。

因為節(jié)點導(dǎo)納方程實質(zhì)上是n個節(jié)點的KCL方程，方程左邊以流出節(jié)點電流為正，方程右邊則以流入節(jié)點的電流為正，因此可以列出電網(wǎng)絡(luò)中某條支路的KCL方程，就可以確定該條支路對網(wǎng)絡(luò)方程貢獻的大小及其出現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)方程中的位置。添加法正是基于此思路來建立電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點導(dǎo)納網(wǎng)絡(luò)方程，具體實現(xiàn)過程如下：建立方程的開始，節(jié)點導(dǎo)納矩陣及右端節(jié)點電流列向量里面的元素全為零，掃描一個支路就將它對方程的貢獻填到合適的位置，這樣逐次掃描，逐次添加，直至網(wǎng)絡(luò)中每一個支路均被掃描，網(wǎng)絡(luò)方程便被建立起來，添加法實質(zhì)上是支路在網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻逐個添加的方法[15]。由于沒有借助于關(guān)聯(lián)矩陣，因此無需存放關(guān)聯(lián)矩陣和支路矩陣，并且省掉了與關(guān)聯(lián)矩陣A相關(guān)的矩陣運算，從而大大節(jié)省了算法占用的計算機內(nèi)存，并提高了運算的效率。

采用添加法的關(guān)鍵在于確定每一類支路對方程的貢獻，下面以簡單的電阻支路和電流源支路為例來說明確定支路對方程貢獻的方法：

設(shè)定支路電壓和電流取關(guān)聯(lián)方向，假設(shè)電阻R接在節(jié)點i與j之間，支路電流方向從i到j(luò)，若i與j都不是參考節(jié)點，該電流對節(jié)點i的貢獻為：流出電流（Vi-Vj）/R，對節(jié)點j的貢獻為：流入電流（Vi-Vj）/R。電阻支路對網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻在節(jié)點導(dǎo)納矩陣Yn，其具體位置及數(shù)值為

如果節(jié)點i或j為參考節(jié)點，則應(yīng)劃去i或j行及列的相應(yīng)貢獻。

假設(shè)電流源IS接在節(jié)點i與j之間，支路電流方向從i到j(luò)，則對節(jié)點i的貢獻為：流出電流IS，對節(jié)點j的貢獻為：流入電流IS。電流源支路對網(wǎng)絡(luò)方程貢獻在節(jié)點電流列向量In，其具體位置及數(shù)值為

2.2 新型換流變壓器縱向不對稱故障計算

根據(jù)圖1，可將圖2的支路分為3類：耦合支路 4～12；濾波支路 13～15；電流源支路 1～3。3 種類型的支路對網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻各有特點，支路1～3對網(wǎng)絡(luò)方程貢獻的位置處于節(jié)點電流列向量；支路4～15對網(wǎng)絡(luò)方程貢獻的位置處于節(jié)點導(dǎo)納矩陣，重點是確定耦合支路對網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻。

基于圖1所示新型換流變壓器的耦合電路，結(jié)合圖2所示的新型換流變壓器有向圖，并以實際新型換流變壓器參數(shù)為依據(jù)，分別添加支路1～13對網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻，便可以得到基于添加法的新型換流變壓器正常狀態(tài)數(shù)學(xué)模型[16]為

式（4）從左到右分別為節(jié)點導(dǎo)納矩陣、節(jié)點電壓列向量、節(jié)點電流列向量。

基于式（4）所示的新型換流變壓器正常狀態(tài)數(shù)學(xué)模型，本文采用添加法計算新型換流變壓器各種縱向不對稱故障，其思路是根據(jù)縱向不對稱故障的類型，通過修改支路對網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻來建立新型換流變壓器縱向不對稱故障數(shù)學(xué)模型，并對該模型進行求解。

當支路上發(fā)生縱向不對稱故障的時候，通常的做法是將故障節(jié)點作為新的節(jié)點，網(wǎng)絡(luò)方程增加階數(shù)，從而將支路故障轉(zhuǎn)換成節(jié)點故障處理[17～18]。因此本文只考慮新型換流變壓器節(jié)點處發(fā)生的縱向不對稱故障，而沒有對非節(jié)點處發(fā)生的縱向不對稱故障做進一步的說明。

為了便于描述，把新型換流變壓器的一次繞組端口節(jié)點A1、B1、C1看作節(jié)點H的三相、二次延邊繞組端口節(jié)點a2、b2、c2為節(jié)點J的三相、二次公共繞組端口節(jié)點a3、b3、c3為節(jié)點K的三相。

2.2.1 新型換流變壓器簡單縱向不對稱故障

1）節(jié)點單相斷線故障

設(shè)新型換流變壓器節(jié)點H發(fā)生A相斷線故障，即圖3的支路1與節(jié)點①斷開，支路1對網(wǎng)絡(luò)方程不再有貢獻，因此需要消去支路1對原網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻。在斷線故障發(fā)生前，根據(jù)圖3，該支路接在節(jié)點①和參考節(jié)點之間，支路1的電流從參考節(jié)點出發(fā)，流入節(jié)點①。支路1是電流源支路，它對網(wǎng)絡(luò)方程貢獻的位置處于節(jié)點電流列向量。設(shè)I（i，1）b表示電流源支路b對節(jié)點電流列向量的貢獻，該貢獻位置處于節(jié)點電流列向量I的i行1列。因此支路1對節(jié)點①的貢獻為I（1，1）1=IS1。消去支路1對節(jié)點①的貢獻，則I（1，1）=0。由于支路2～15對網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻不變，因此將I（1，1）=0代入原網(wǎng)絡(luò)方程式（4）即可得到新型換流變壓器節(jié)點H發(fā)生A相斷線故障的數(shù)學(xué)模型。

2）節(jié)點兩相斷線故障

設(shè)新型換流變壓器節(jié)點H發(fā)生B、C相斷線故障，即圖3的支路2與節(jié)點②、支路3與節(jié)點③同時斷開。支路2、3對網(wǎng)絡(luò)方程不再有貢獻，因此需要消去支路2、3對原網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻。在斷線故障發(fā)生前，根據(jù)圖3，支路2、3的電流均從參考節(jié)點出發(fā)，分別流入節(jié)點②、③。支路2、3是電流源支路，因此支路2、3對節(jié)點②、③的貢獻分別為：I（2，1）2=IS2；I（3，1）3=IS3。消去支路2、3對網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻，則 I（2，1）=0；I（3，1）=0。由于其余支路對網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻不變，因此將I（2，1）=0、I（3，1）=0 代入原網(wǎng)絡(luò)方程式（4）即可得到新型換流變壓器節(jié)點H發(fā)生B、C相斷線故障的數(shù)學(xué)模型。

2.2.2 新型換流變壓器復(fù)雜縱向不對稱故障

1）節(jié)點單相斷線后的斷線點與另外一相節(jié)點短路

設(shè)新型換流變壓器節(jié)點K發(fā)生C相斷線故障，斷線點與節(jié)點K的B相節(jié)點相連，即圖3的支路15先與節(jié)點⑨斷開，然后支路15的斷線點與節(jié)點⑧短路。

首先：將支路15與節(jié)點⑨斷開。需消去支路15對原網(wǎng)絡(luò)方程中作的貢獻。支路15對網(wǎng)絡(luò)方程貢獻的位置處于節(jié)點導(dǎo)納矩陣。設(shè)Yp3（i，j）b表示支路b對原節(jié)點導(dǎo)納矩陣的一個貢獻，該貢獻的具體位置處于節(jié)點導(dǎo)納矩陣Yp3的i行j列。在斷線故障發(fā)生前，根據(jù)圖3，支路15接在節(jié)點⑨和參考節(jié)點之間，支路15的電流從節(jié)點⑨出發(fā)，流入?yún)⒖脊?jié)點。設(shè)每相濾波支路在基頻下的阻抗為zK，則支路15對節(jié)點⑨的貢獻為：Yp3（9，9）15=1/zK。消去支路15對節(jié)點⑨的貢獻，相應(yīng)的節(jié)點導(dǎo)納矩陣變?yōu)閅p4，則有Yp4（9，9）=Yp3（9，9）-Yp3（9，9）15，Yp4其余元素與Yp3一致。

然后：斷線支路與節(jié)點⑧連接。設(shè)該支路編號仍為15，支路電流由節(jié)點⑧流出，流入?yún)⒖脊?jié)點，因此需要添加支路15對節(jié)點⑧的貢獻，相應(yīng)的節(jié)點導(dǎo)納矩陣變?yōu)閅p5。支路15對節(jié)點⑧的貢獻為Yp5（8，8）15=1/zK，則Yp5（8，8）=Yp4（8，8）+Yp5（8，8）15，Yp5其余元素與Yp4一致。這樣便確定了最終節(jié)點導(dǎo)納矩陣Yp5的全部元素，因此，新型換流變壓器故障模型可以求得

2）變壓器不同側(cè)的節(jié)點同時發(fā)生斷線故障

設(shè)新型換流變壓器節(jié)點H發(fā)生C相斷線故障，同時節(jié)點K發(fā)生A相斷線故障，即圖3的支路3與節(jié)點③、支路13與節(jié)點⑦斷開。發(fā)生斷線故障后，支路3和13從電網(wǎng)絡(luò)中被移除，因此需要消去這兩個支路對原網(wǎng)絡(luò)方程作的貢獻。在斷線故障發(fā)生前，根據(jù)圖3，支路3的電流從參考節(jié)點出發(fā)，流入節(jié)點③，支路3是電流源支路，因此支路3對節(jié)點③的貢獻為：I（3，1）3=IS3。消去支路 3 對網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻，則 I（3，1）=0；支路 13 接在節(jié)點⑦和參考節(jié)點之間，支路13的電流從節(jié)點⑦出發(fā)，流入?yún)⒖脊?jié)點，則支路13對節(jié)點⑦的貢獻為：Yp3（7，7）13=1/zK。消去支路13對節(jié)點⑦的貢獻，相應(yīng)的節(jié)點導(dǎo)納矩陣變?yōu)閅p6，則有Yp6（7，7）=Yp3（7，7）-Yp3（7，7）13，Yp6其余元素與Yp3一致。因此可得到新型換流變壓器不同側(cè)的節(jié)點同時發(fā)生斷線故障的數(shù)學(xué)模型為

式（6）的電流源列向量 I（3，1）=0。

3）耦合支路端點斷線故障

設(shè)新型換流變壓器耦合支路6從節(jié)點⑦處斷開，發(fā)生該故障后，支路6從電網(wǎng)絡(luò)中被移除，因此需要消去該支路對原網(wǎng)絡(luò)方程作的貢獻。

由圖2可見，4～6為耦合支路，耦合支路的電流均流入同名端，互相耦合支路的自阻抗分別為

互阻抗分別為

設(shè)Zt表示互相耦合支路阻抗矩陣，則有

耦合支路4～6的約束方程可以表示為

由式（14），耦合支路電流用支路電壓表達為

式中，Yt表示耦合支路的導(dǎo)納矩陣，且有

根據(jù)圖3所示的有向圖，將式（16）改寫為

設(shè)Yt（i，j）為矩陣Yt的i行j列的元素，將式（17）展開，耦合支路4～6的電流可寫為

由式（18），根據(jù)圖2所示的有向圖，可確定支路6對原節(jié)點導(dǎo)納矩陣的貢獻。

在斷線故障發(fā)生前，支路6的電流從節(jié)點⑦流出，流入節(jié)點⑧，支路6對節(jié)點⑦的貢獻為

支路6對節(jié)點⑧的貢獻為

設(shè)消去支路6對原節(jié)點導(dǎo)納矩陣貢獻后的節(jié)點導(dǎo)納矩陣為Yp7，則有

Yp7其余元素與Yp3一致。這樣便確定了最終節(jié)點導(dǎo)納矩陣Yp7的全部元素，因此，新型換流變壓器耦合支路端點斷線故障的模型可以求得

3 算例

現(xiàn)結(jié)合具體算例來驗證本文所設(shè)計的新型換流變壓器縱向不對稱故障計算方法的正確性。新型換流變壓器（原理變壓器）部分設(shè)計數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 新型換流變壓器（單相）部分參數(shù)值Tab.1 Partial parameter data of the new converter transformer（single-phase）

本文根據(jù)文獻[2]中新型換流變壓器的接線方案和表1所示的單相設(shè)計參數(shù)值，采Matlab/Simulink中的電力系統(tǒng)仿真模塊（PSB）建立了圖3所示的含新型換流變壓器的電力系統(tǒng)仿真模型，該仿真模型可以用來對實際算例進行仿真，參照圖3所示的新型換流變壓器有向圖，其仿真結(jié)果與采用本文方法編程計算的程序運行結(jié)果相比較。

3.1 新型換流變壓器簡單縱向不對稱故障計算算例

（1）設(shè)新型換流變壓器節(jié)點H發(fā)生A相斷線故障，仿真結(jié)果與計算結(jié)果對比如表2所示。

（2）設(shè)新型換流變壓器節(jié)點H發(fā)生B、C相斷線故障，仿真結(jié)果與計算結(jié)果對比如表3所示。

3.2 新型換流變壓器復(fù)雜縱向不對稱故障計算算例

設(shè)新型換流變壓器節(jié)點H發(fā)生C相斷線故障，同時節(jié)點K發(fā)生A相斷線故障，仿真結(jié)果與計算結(jié)果對比如表4所示。

表2 節(jié)點電壓結(jié)果對比（Ⅰ）Tab.2 Results comparison of the nodal voltage（Ⅰ）

表3 節(jié)點電壓結(jié)果對比（Ⅱ）Tab.3 Results comparison of the nodal voltage（Ⅱ）

表4 節(jié)點電壓結(jié)果對比（Ⅲ）Tab.4 Results comparison of the nodal voltage（Ⅲ）

由上面的算例可以看出，用本文方法編寫的程序計算結(jié)果和用Matlab/Simulink的仿真結(jié)果十分吻合，從而驗證了本文設(shè)計的新型換流變壓器縱向不對稱故障計算方法的正確性。

4 結(jié)語

基于新型換流變壓器正常狀態(tài)數(shù)學(xué)模型，本文采用添加法計算新型換流變壓器各種縱向不對稱故障，其故障計算的思路是根據(jù)新型換流變壓器縱向不對稱故障的類型，通過修改故障支路對正常狀態(tài)網(wǎng)絡(luò)方程的貢獻來建立新型換流變壓器的縱向不對稱故障數(shù)學(xué)模型，并對修改后的數(shù)學(xué)模型進行求解。

本文不僅給出了電流源支路、濾波支路端點處端點處發(fā)生斷線故障的計算方法，還詳細給出了耦合支路端點處發(fā)生斷線故障的計算方法，是對文獻[15-16]的后續(xù)有益補充，對新型換流變壓器繼電保護參數(shù)整定、實現(xiàn)新型換流變壓器及其濾波系統(tǒng)自動化控制和安全經(jīng)濟運行具有重要的理論意義和實際價值；也拓寬了添加法的應(yīng)用范圍。

本文設(shè)計的新型換流變壓器縱向不對稱故障計算的方法簡單，修改模型方便，計算量少；其故障建模過程可以清晰展現(xiàn)故障支路對網(wǎng)絡(luò)方程貢獻的大小及其出現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)方程中的位置的變化，物理含義很明確。

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