范仁凱，胡勤豐

（南京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京210016）

1 引言

永磁同步電機(jī)由于轉(zhuǎn)矩密度高、 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小、 效率高等優(yōu)點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于伺服場(chǎng)合。 但是永磁同步電機(jī)是一個(gè)變參數(shù)、 強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，因此常規(guī)的PID 控制通常不能滿足伺服場(chǎng)合的高性能要求[1-3]。 針對(duì)此問(wèn)題，相關(guān)學(xué)者提出滑模變結(jié)構(gòu)[4]、自適應(yīng)[5]、模糊[6]等具有非線性特征的控制器使系統(tǒng)不但能滿足性能要求，還能對(duì)系統(tǒng)參數(shù)具有一定的自適應(yīng)能力。但是以上非線性控制方法的理論復(fù)雜、 實(shí)現(xiàn)困難，從而限制了其在實(shí)際場(chǎng)合的應(yīng)用。

本文結(jié)合永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和非線性因素，采用反步設(shè)計(jì)方法[7-8]設(shè)計(jì)一個(gè)非線性控制器，該控制器理論清晰、 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、 易于實(shí)現(xiàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該控制器性能突出，具有很好的推廣價(jià)值。

2 永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型

表貼式永磁同步電機(jī)的dq 數(shù)學(xué)模型：

式中:ud，uq分別為定子d，q 電壓；id，iq分別為定子d，q 電流；R 為定子電阻；L 為定子電感；ωr為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；Ψf為永磁磁鏈；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；pn為極對(duì)數(shù)；J 為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B 為粘滯摩擦系數(shù)。

3 反步控制器的設(shè)計(jì)

3．1 反步控制器設(shè)計(jì)步驟

1）將非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化成狀態(tài)方程；

2）選擇子系統(tǒng)，定義狀態(tài)的誤差并將子系統(tǒng)狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換成誤差的狀態(tài)方程，選取合適的輸入構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)使子系統(tǒng)穩(wěn)定；

3）選擇子系統(tǒng)，將前一子系統(tǒng)的輸入作為該子系統(tǒng)的狀態(tài)給定，定義狀態(tài)的誤差并將子系統(tǒng)狀態(tài)方程轉(zhuǎn)換成誤差的狀態(tài)方程，選取合適的輸入構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)使子系統(tǒng)穩(wěn)定；

4）重復(fù)步驟2），3），直到反推出整個(gè)系統(tǒng)的輸入；

5）穩(wěn)定性證明。

3.2 反步控制器設(shè)計(jì)過(guò)程

1）以i*q為輸入，ω*r為狀態(tài)給定，根據(jù)式(1)構(gòu)建子系統(tǒng)為

定義轉(zhuǎn)速誤差e1=ω*r-ωr，求導(dǎo)并代入式(2)可得

代入式(3)得子系統(tǒng)的控制輸入為

式（4）即為轉(zhuǎn)速控制器ASR，它包含了一個(gè)類(lèi)似于P 控制的調(diào)節(jié)項(xiàng)αk1e1、 加速度前饋、 粘滯摩擦轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償和負(fù)載轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償）。 其中，加速度前饋可加快轉(zhuǎn)速的響應(yīng)速度且能減小超調(diào)，粘滯轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償和負(fù)載轉(zhuǎn)矩補(bǔ)償可在沒(méi)有I 控制的條件下使穩(wěn)態(tài)誤差趨于零。

2）以u(píng)*q為輸入，i*q為狀態(tài)給定，根據(jù)式(1)構(gòu)建子系統(tǒng)為

定義q 軸電流誤差e2=i*q-iq，求導(dǎo)并代入式(5)可得：

3）以u(píng)*d為輸入，i*d=0 為 狀態(tài)給定，根據(jù)式(1)構(gòu)建子系統(tǒng)為

定義d 軸電流誤差e3=-id，求導(dǎo)并代入式（8）可得：

帶入式（9）得子系統(tǒng)的控制輸入為

式（7）、式（10）分別為q 軸電流控制器ACR_q和d 軸電流控制器ACR_d。 與轉(zhuǎn)速控制器類(lèi)似，它們由調(diào)節(jié)項(xiàng)、前饋?lái)?xiàng)（ACR_d 的前饋?lái)?xiàng)為零）和補(bǔ)償項(xiàng)組成。 其中，前饋?lái)?xiàng)能加快電流的響應(yīng)速度；補(bǔ)償項(xiàng)能很好地補(bǔ)償dq 軸電樞反應(yīng)和永磁感應(yīng)電勢(shì)的影響。

4）證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

由于V2有界，根據(jù)Barbalat 引理[9]可得

根據(jù)以上設(shè)計(jì)的反步控制器，得出永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖，如圖1所示。

圖1 永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 The control block diagram of PMSM speed control system

圖1中ASR，ACR_q 和ACR_d 分別為轉(zhuǎn)速控制器、q 軸電流控制器和d 軸電流控制器，他們的內(nèi)部算法分別由式（4）、式（7）和式（10）決定。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù)圖1所示的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖搭建永磁同步電機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。 平臺(tái)以TI 公司的DSP TMS320F2812 為控制核心，功率器件采用三菱公司的高集成度、高可靠性的IPM，用多摩川的旋轉(zhuǎn)變壓器作為位置傳感器，使用Magtrol 測(cè)功平臺(tái)，電機(jī)采用表貼式永磁同步電機(jī)，具體參數(shù)為：額定轉(zhuǎn)速nn=600 r/mim，額定轉(zhuǎn)矩Tn=5 N·m，極對(duì)數(shù)pn=8，相電阻R=1.5 Ω，相電感L=2.65 mH，粘滯摩擦系數(shù)B=7.2e-4（N·m）/（rad·s-1），轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=1.4e-3 kg·m2，永磁磁鏈Ψf=0.1 Wb。

其中，相電阻R 和相電感L 是通過(guò)Agilent數(shù)字電橋E4980A 直接測(cè)得； 粘滯摩擦系數(shù)B和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J 是通過(guò)自由加減速法[10-11]實(shí)驗(yàn)測(cè)得；永磁磁鏈Ψf則是通過(guò)測(cè)出某一轉(zhuǎn)速下電機(jī)的反電勢(shì)再利用下式計(jì)算得出：

Magtrol 測(cè)功平臺(tái)上的扭矩傳感器TM306 可實(shí)時(shí)地輸出與負(fù)載轉(zhuǎn)矩成正比的電壓信號(hào)，該信號(hào)經(jīng)AD 采樣后即可得到負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2～圖5所示。 從圖2和圖3可以看出，系統(tǒng)在啟動(dòng)和加載時(shí)刻q 軸電流均能很好地跟蹤給定； 圖4中電機(jī)轉(zhuǎn)速能很好地跟蹤給定轉(zhuǎn)速，超調(diào)約為7%； 圖5顯示在系統(tǒng)加載時(shí)轉(zhuǎn)速幾乎沒(méi)有跌落。 因此，基于反步控制器的永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)具有較好的轉(zhuǎn)速、電流跟蹤效果，并且具有較小的轉(zhuǎn)速超調(diào)和極好的抗干擾性能。

圖2 啟動(dòng)時(shí)電流波形 (1.5 A/V) Fig.2 Current waveforms of starting (1.5 A/V)

圖3 加載時(shí)電流波形(1.5A/V)Fig.3 Current waveforms of load-on (1.5A/V)

圖4 啟動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)速 (100 r·min-1/V) Fig.4 Speed waveforms of starting (100 r·min-1/V)

圖5 系統(tǒng)啟動(dòng)與加載（n=100 r·min-1/V，iq=1.5 A/V）Fig.5 System starting and load-on（n=100 r·min-1/V，iq=1.5 A/V）

5 結(jié)論

文中針對(duì)永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)的性能要求和結(jié)構(gòu)非線性特點(diǎn)，利用反步方法設(shè)計(jì)出具有非線性特性的反步控制器。 相對(duì)于其它非線性控制器，該控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)。 實(shí)驗(yàn)證明，基于反步控制器的永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)具有優(yōu)異的轉(zhuǎn)速、 電流跟蹤性能和抗干擾性能。 因此，反步設(shè)計(jì)方法在永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)中具有較高的研究?jī)r(jià)值和實(shí)用價(jià)值。

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