尹小恰 任順清 陶子英

（哈爾濱工業(yè)大學空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱150001）

用水平儀測量豎直軸線鉛垂度的誤差分析

尹小恰 任順清 陶子英

（哈爾濱工業(yè)大學空間控制與慣性技術研究中心，哈爾濱150001）

針對用水平儀測量豎直軸線對水平面的垂直度的方法，建立一系列坐標系，用方向余弦陣進行傳遞推導了與水平儀固聯(lián)坐標系相對于地理坐標系的姿態(tài)關系，從而得出水平儀讀數(shù)與垂直度誤差、傾角回轉誤差和角位置等的關系，由此采用最小二乘法計算了非整周回轉軸系的回轉軸線的鉛直度誤差。然后，對于不同的誤差源，包括回轉誤差、水平儀誤差、角位置誤差，以及測試數(shù)據(jù)量、軸系回轉范圍等因素進行了相應的誤差分析。

垂直度；水平儀；最小二乘法；誤差分析

0 引言

利用水平儀測量整周回轉豎直軸系的傾角回轉誤差，調(diào)整其豎直軸線的鉛垂度是一種非常成熟的方法［1］，但有的設備，比如六自由度的交會對接仿真測試設備，它上面的三軸轉臺都是非整周360°的回轉，有的回轉范圍僅有±25°，而且要求其豎直的外環(huán)軸軸線與豎直移動導軌平行。文獻［2］論述了用經(jīng)緯儀測量豎直導軌對水平面的垂直度方法，如果用水平儀測量三軸轉臺的外環(huán)軸軸線對水平面的垂直度，則可以測量它們之間的平行度誤差。本文對如何測量旋轉軸的垂直度提出了一種新的非整周測量方法，使水平儀可以測量非整周回轉軸系的軸線鉛垂度，并對非整周測量方法的誤差源和測量精度進行了研究。

1 測試原理與數(shù)據(jù)處理方法

1.1 測試原理

以立式單軸轉臺為例，闡述水平儀測試豎直軸線鉛垂度的基本原理，建立如下坐標系：

地理坐標系 o0x0y0z0是固聯(lián)在地基上的坐標系，如圖1所示，o0x0在水平面內(nèi)，o0z0向上與重力加速度矢量平行，o0y0水平并由右手定則確定。

軸套坐標系 o1x1y1z1是固聯(lián)在軸套上的坐標系，如圖1所示，o1z1與主軸的回轉軸線一致。主軸回轉軸線對水平面的垂直度為Δθ0，它可認為是在地理坐標系o0x0y0z0的基礎上繞o0x0軸旋轉Δθx0，再繞o0y0軸旋轉Δθy0形成。軸套坐標系相對地理坐標系的姿態(tài)矩陣為

圖1 基準坐標系與軸套坐標系

注：Rot（i，θ）表示繞i軸旋轉θ角形成的新的坐標系相對于原坐標系的方向余弦陣。

主軸坐標系 o2x2y2z2是固聯(lián)在主軸上的旋轉坐標系，如圖2所示，它的o2z2軸與主軸軸線一致，它的初始位置與o1x1y1z1一致，該坐標系是在考慮主軸的傾角回轉誤差Δθx1（γ）、Δθy1（γ）的基礎上繞o1z1軸旋轉γ角形成的。主軸坐標系相對軸套坐標系的姿態(tài)矩陣為

安裝基面坐標系 o3x3y3z3也是固聯(lián)在主軸上的坐標系，如圖3所示，它是考慮水平儀安裝基面相對于軸系軸線的垂直度Δαx2、Δαy2形成的。安裝基面坐標系相對主軸坐標系的姿態(tài)矩陣為

圖2 主軸坐標系

圖3 安裝基面坐標系

利用坐標系之間姿態(tài)的傳遞關系和式（1）～（3），安裝基面坐標系相對于地理坐標系的姿態(tài)矩陣為

目前的機械加工水平，其回轉誤差小于1″或者更低，可以忽略回轉誤差項Δθx1（γ）、Δθy1（γ），式（5）、（6）可以簡化為

根據(jù)式（7）或（8），可以只用一個水平儀使其置于x或y方向便可測試出二維鉛垂度Δθx0、Δθy0。Δαx2、Δαy2包含了臺面對回轉軸線的垂直度以及水平儀本身的零位誤差，表現(xiàn)為均值項，在鉛垂度調(diào)整時，調(diào)整地腳使水平儀讀數(shù)在任何位置都接近這個常數(shù)項，則鉛垂度Δθx0、Δθy0將逐漸接近于零。

1.2 數(shù)據(jù)處理方法

在用水平儀測試垂直度時，以o3x3上水平儀測量為例（o3y3上同理），如圖4所示，將水平儀置于x方向。設回轉范圍等間隔取n點讀取水平儀數(shù)據(jù)，如果豎直軸系處于不同角位置γi，i＝0，1，2，…，n－1，n為測試點數(shù)，水平儀的量測數(shù)據(jù)為fx（γi），由式（7），可以辨識出水平儀讀數(shù)的常數(shù)項Δαy2（包括水平儀零位誤差及臺面對軸線的垂直度誤差）、二維鉛垂度Δθx0、Δθy0：

圖4 水平儀位置

在對垂直度誤差做精度分析時，殘差向量記為ξ。由式（7）可寫出矩陣形式

根據(jù)最小二乘法原理得

由此可處理出豎直軸線鉛垂度大小為

或同理可將水平儀置于如圖4中y方向，根據(jù)式（8）處理出豎直軸線鉛垂度大小。

2 誤差分析

2.1 辨識系數(shù)的誤差分析

對于式（10）中，令B＝（AΤA）－1AΤ

水平儀的測試不確定度是σ0，則Δαy2、Δθy0、Δθx0的不確定度分別為

2.2 測試實例

實際測量的水平儀測試不確定度σ0＝0.2″。當測試區(qū)間為整周360°、180°、90°、45°時，分別測量并計算鉛垂度及測量不確定度；當測試區(qū)間一定，改變角度間隔，分別測量并計算鉛垂度及測量精度。測量計算結果如表1所示。為測試的常數(shù)項，它的來源包括兩部分，水平儀的底面與軸線的垂直度，還有水平儀的零位誤差，如果鉛垂度較大并需要調(diào)整時，可以調(diào)整轉臺地腳或相應的調(diào)整機構，使水平儀在轉動范圍內(nèi)均接近這個常數(shù)項，所以這個常數(shù)項的辨識精度決定了軸線鉛垂度的調(diào)整精度。則水平儀測數(shù)值軸系鉛垂度的測試精度可表示為

表1 實際測量的計算結果一覽表

可見對于非整周回轉軸系，用水平儀同樣可以測量其鉛垂度的大小。但隨著軸系回轉范圍的減小，測量精度將越來越低。

3 測試誤差源分析

影響鉛垂度測試精度的因素有：數(shù)據(jù)處理方法的精度、水平儀的測量不確定度、軸系回轉誤差、角位置誤差、測量點數(shù)和測角范圍等。

3.1 水平儀測量不確定度

由式（12）可知，水平儀的測試不確定度直接影響測試精度，水平儀測量精度越高，測試結果精度就越高。

由于2.2測試實例中整周與非整周測量時水平儀測試精度都是σ0＝0.2″，故此實例中可以認為水平儀測量不確定度不是影響非整周測試鉛垂度的原因。

3.2 軸系回轉誤差

在第1.1節(jié)中，由式（5）、（6）得出式（7）、（8）時，忽略了回轉誤差項，一定會對測試精度造成影響［3］，假設回轉誤差Δα的范圍為－1″～＋1″，式（7）、（8）轉換為

根據(jù)回轉誤差的理論，回轉誤差的主要諧波成分為二次及二次以上諧波，這里僅考慮其二、三、四次諧波成分。

由于測量鉛垂度時，往往忽略回轉誤差，假設回轉誤差的幅值一般小于1″，當測量鉛垂度時往往隨機從某個角度開始測試，所以使式（15）中的Δθ2＝0.8″，Δθ3＝0.3″，Δθ4＝0.2″，γc采用在［0，2π）的100個隨機數(shù)進行統(tǒng)計，用Matlab編程仿真，得出常數(shù)項標準差和鉛垂度誤差測試標準差見表2。

從表2中可以看出，軸系的回轉范圍越小，傾角回轉誤差的存在對鉛垂度測試誤差的影響越大。

3.3 角位置誤差

為了分析角位置誤差對測試精度的影響，假設角位置誤差為Δγ，目前角位置誤差調(diào)試在±5″已經(jīng)非常容易做到，式（7）、（8）轉換為

表2 傾角回轉誤差對于常數(shù)項Δαy2與鉛垂度Δθ測試的影響的標準差

如果Δθx0、Δθy0調(diào)整到小于60″，則Δγ對水平儀讀數(shù)的影響為60″sinΔγ＝0.0015″，遠小于水平儀的分辨力。測試鉛垂度，采用電控轉臺時，角位置誤差對鉛垂度測試的影響可以忽略不計。

假設測角系統(tǒng)沒有調(diào)整完畢，用刻度盤的刻線進行定位，定位誤差很大，分別假設γ有0.1°和0.5°的隨機誤差。同樣采用計算機仿真計算，統(tǒng)計100次所產(chǎn)生的標準差見表3。根據(jù)角位置誤差的理論，角位置誤差的主要諧波成分為一、二次諧波。

表3 角位置誤差對于常數(shù)項Δαy2與鉛垂度Δθ測試的影響的標準差

從表3中可以看出，軸系的回轉范圍越小，角位置誤差的存在對鉛垂度測試誤差的影響越大。在50°的回轉范圍內(nèi)，測量點數(shù)為26點，角位置的隨機誤差為0.5°時，鉛垂度測量誤差小于1″，故實際中角位置誤差對鉛垂度測試誤差的影響是極其微小的，尤其在采用電控時完全可以忽略不計。

3.4 測量點數(shù)

2.2 節(jié)非整周測試中，當測角范圍180°不變，測量點數(shù)變化時，測試精度也會發(fā)生變化。如圖5所示。

圖5 測量點數(shù)對精度的影響

由圖5可知，隨著測量點數(shù)越來越多，即角度間隔越來越小，測試精度越來越高。在測角范圍180°時，當測量點數(shù)為8時，測試精度已可達到0.2″。

3.5 測角范圍

由2.2節(jié)整周測試與非整周測試的差異可知，測量區(qū)間的不同會影響測試精度。步長取5°，當測角范圍為45°、46°、…、360°時，根據(jù)式（7）、（8），測試精度的變化如圖6所示。

圖6 測角區(qū)間對精度的影響

由圖6可知，當測角范圍150°時，測試精度已趨近于整周測試精度，當測角范圍65°時，測試精度約達到1″。

3.6 數(shù)據(jù)處理精度

由1.2中數(shù)據(jù)處理采用最小二乘法，而最小二乘法本身的誤差定會影響鉛垂度測試精度，最小二乘法的測量誤差一般達10－2數(shù)量級［4－5］。

由式（4）～（6）知，在數(shù)據(jù)處理過程中忽略了二階小量，這也會對測試結果造成影響，然而由上面對角位置誤差影響的分析可知，一階小量角位置誤差的影響尚可忽略不計，二階小量對測試結果的影響更是微乎其微，可忽略不計。

4 結論

本文分析了用水平儀測試豎直軸線鉛垂度的基本原理，給出了非整周回轉軸系鉛垂度的測試方法與數(shù)據(jù)處理方法。針對水平儀的誤差、回轉軸系誤差中的各次諧波、角位置誤差、測量點數(shù)的多少和測角范圍的大小等誤差源對鉛垂度測試誤差的影響，采用仿真計算和實測驗證的方法進行了分析，結果表明回轉誤差對測試精度影響較大；當測量范圍一定時，若所得測試精度較低，可通過減小角度間隔增加測量點數(shù)的方法提高測試精度。本文的分析為正確估計鉛垂度，調(diào)整多自由度系統(tǒng)中的豎直軸系的初始對準方法、對準精度提供了一定的依據(jù)。

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10.3969／j.issn.1000－0771.2013.4.03