孫 兵，谷徳峰，屈龍江，海 昕

(國防科學技術(shù)大學理學院，湖南長沙410073)

矩陣的運算是線性代數(shù)課程教學中最重要的問題之一，而矩陣乘法又是這個重要問題中最關(guān)鍵的知識點.很多教材直接給出矩陣乘法的公式，然后解釋公式的含義［1－4］.這種方法有其優(yōu)點，但筆者認為由于這樣的引入沒有任何背景，學生不易接受.

線性方程組及矩陣的初等行變換是貫穿于線性代數(shù)這門課程的主線，理解這兩點對掌握線性代數(shù)核心思想和概念至關(guān)重要.我們在教學的時候，采用了由線性方程組引入矩陣乘法的方法，并由高斯消元法講述求矩陣逆的初等變換法.其引入按照以下順序逐步展開:首先介紹矩陣左乘向量的規(guī)則并引入線性方程組的矩陣記號，其次介紹具有相同系數(shù)矩陣的線性方程組的矩陣記法，在此基礎(chǔ)上引入矩陣的乘法及矩陣求逆的初等變換法.

1 線性方程組的矩陣表示以及高斯消元法

首先，我們必須解釋上述記號的合理性，以及上述記號與學生已有知識之間的聯(lián)系.矩陣A的記法對大部分學生而言不會有異議，問題是，為什么用列向量表示未知變量?用行向量不行嗎?

根據(jù)中學所學的知識，方程組的解最終可寫成如下形式:

從這個角度來理解將未知變量寫成列向量形式是很自然的.根據(jù)線性方程組，我們可以定義矩陣左乘向量的規(guī)則，盡管這只是矩陣相乘的一個特例，但實踐表明，由于相對直觀，學生比較容易理解矩陣左乘向量規(guī)則.

大部分教材在講高斯消元法時，都是針對線性方程組的增廣矩陣來說的.我們在實踐中做了一點改變，在課程講解中著重說明了高斯消元法只跟系數(shù)矩陣有關(guān)，與常數(shù)列是無關(guān)的.只要將消元的過程代入回去，就可以看到常數(shù)列是如何改變的，進而得到方程組的解.針對例1而言，我們求解過程如下:

首先，針對系數(shù)矩陣，對原方程組進行消元，并回代:

正是由于對系數(shù)矩陣和常數(shù)列的行進行了相同的行操作，所以我們可以直接對線性方程組的增廣矩陣做初等行變換進行求解.

2 同系數(shù)矩陣的多個線性方程組的高斯消元法

解:寫成矩陣的形式，上述方程組可寫成Ax=b1和Ay=b2的形式.對于前者，例1已經(jīng)求出，即注意到上述兩個方程組的系數(shù)矩陣相同，因此消元的步驟也相同，即

上述方程組可以簡單記作［Ax，Ay］=A［x，y］= ［b1，b2］，即 A［x，y］= ［b1，b2］等價為 Ax=b1且 Ay=b2.

3 矩陣乘法

經(jīng)過 求 解，例 2 中的 A［x，y］= ［b1，b2］可 以 寫 成的形式.反之，上述等式也可理解成一個矩陣分別左乘兩個不同的向量.這實際就是分塊矩陣的思想.

至此，將例2進行推廣，即對于多個具有相同系數(shù)矩陣的線性方程組，我們可以有一個簡單的記號，同時給出矩陣乘法的定義，我們稱之為矩陣乘法的列公式:

從這個公式出發(fā)，可以給出矩陣乘法的元素公式和按行展開公式，此處就不再贅述了.這個定義還能說明以下兩個問題:

(1)AB=BA通常不成立，因為等式左邊是對A的列做初等變換，等式右邊是對A的行做初等變換;

(2)AB=O不能說明A=O或B=O，因為齊次線性方程組Ax=0可以具有非零解，而將若干非零解并置得到的矩陣B一定滿足AB=O.

4 矩陣的逆

利用例2和上述引入矩陣乘法的過程，“初等變換求矩陣的逆”這部分很容易講透，因為對于給定的n階方陣An而言，求解A－1n的過程實際上就是求解n個線性方程組的過程，這n個方程組對應(yīng)的解就是A－1n的n個列.

線性方程組的高斯消元法是貫穿于線性代數(shù)這門課程的一條主線，由于學生在中學階段已有這方面的相關(guān)知識，因此從線性方程組出發(fā)引入線性代數(shù)相關(guān)思想和概念相對比較容易讓學生接受.

［1］馮良貴，戴清平，李超，等.線性代數(shù)與解析幾何［M］.北京:科學出版社，2008.

［2］上海交通大學數(shù)學系線性代數(shù)課程組.線性代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，2012.

［3］李尚志.線性代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，2010.

［4］李尚志.數(shù)學的神韻［M］.北京:科學出版社，2012.