王 薇，韓 波，唐錦萍

1 哈爾濱工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系，哈爾濱 150001

2 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200433

1 引 言

采用彈性動(dòng)力學(xué)中的波動(dòng)方程來(lái)描述地震波在地下介質(zhì)中的傳播過(guò)程，具有能夠利用完全的波場(chǎng)信息的優(yōu)勢(shì)，因此一直都是地震勘探中的研究熱點(diǎn).如在定位地下分布的油氣資源時(shí)，一般的做法是在地面上人工激發(fā)地震波.由于介質(zhì)的非均勻性，當(dāng)?shù)卣鸩ㄔ诘貙咏橘|(zhì)中向各方向傳播時(shí)會(huì)產(chǎn)生反射、衍射、散射和透射等現(xiàn)象，部分地震波返回到地面就構(gòu)成了所接收的地震觀測(cè)數(shù)據(jù).地震勘探的主要工作就是基于波動(dòng)方程，從這些觀測(cè)數(shù)據(jù)中，反演出地層剖面及介質(zhì)的物性參數(shù)，進(jìn)而確定地下構(gòu)造，以此作為油氣勘探或工程物探的基礎(chǔ).從位移響應(yīng)的理論合成數(shù)據(jù)應(yīng)與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)相吻合的觀點(diǎn)出發(fā)，應(yīng)用中把波動(dòng)方程速度反演問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性函數(shù)的極小值問(wèn)題.

近些年，從線性［1－2］到非線性［3－4］，從時(shí)域［5］到頻域［6－7］及 Laplace域［8］，從疊后反演到疊前反演［9－10］，波形反演獲得了廣泛研究.在實(shí)際應(yīng)用中，相比較線性地震波反演，非線性地震波形反演更接近實(shí)際情況，并且Mora也證明了在正常的勘探條件下，只有采用完全非線性地震波形反演方法才能觀測(cè)到地震速度波場(chǎng)的所有波長(zhǎng)分量.Tarantola［3］、Mora［4］等對(duì)完全非線性波形反演進(jìn)行了詳細(xì)研究，力求通過(guò)迭代下降方法，尋求使得目標(biāo)函數(shù)最小的速度模型.隨后，各類優(yōu)化算法，如最速下降法，牛頓法，共軛梯度法等得以應(yīng)用.由于波形反演的非線性性，使得目標(biāo)函數(shù)存在大量的局部極小值，反演結(jié)果對(duì)初值依賴較強(qiáng).為了克服局部極值問(wèn)題，各類方法被討論，其中包括模擬退火法［11］與遺傳算法［12］等統(tǒng)計(jì)學(xué)方法，將多尺度思想、同倫思想與各類優(yōu)化算法相結(jié)合的多種方法［13－15］，以及小波變換的多尺度方法［16］等.

由于波形反演是不適定的，即數(shù)值結(jié)果對(duì)數(shù)據(jù)比較敏感，而觀測(cè)數(shù)據(jù)不可避免地存在噪聲，所以必須采用正則化方法求其近似解，解決這一問(wèn)題首選方法是Tikhonov正則化方法.傳統(tǒng)的Tikhonov正則化方法選取二次罰項(xiàng)，其作用在于減弱原不適定問(wèn)題近似解的震蕩性，使得近似解具有一定的光滑性，從而給出穩(wěn)定的近似解.但同時(shí)也會(huì)導(dǎo)致解的過(guò)度光滑，而偏離實(shí)際.然而，在實(shí)際應(yīng)用中，常常會(huì)遇到解為不連續(xù)函數(shù)或含尖點(diǎn)的函數(shù)，此時(shí)經(jīng)典的正則化方法因其過(guò)度光滑的特點(diǎn)已不再適用，而TV正則化［17］（Total variation regularization）與稀疏正則化方法（Regularization with sparsity constraints）（又稱lp約束正則化方法（1≤p＜2））則能很好地反演出跳躍性較大的參數(shù)部分.為了更好地刻畫(huà)參數(shù)的性態(tài)，本文引入稀疏約束正則化方法.

2 稀疏約束正則化方法

稀疏約束正則化方法可以看作是選取罰項(xiàng)為加權(quán)的lp范數(shù)，適用于求解反演參數(shù)且具有稀疏性的反問(wèn)題.所謂的“稀疏性”是指解序列大部分為零（近似為零）或者解在正交基或框架下具有稀疏表示，即大部分系數(shù)為零（近似為零）.稀疏性成為刻畫(huà)解的一種方式，特別是在壓縮感知中，應(yīng)用l1約束正則化方法，可以有效地減少采樣數(shù)據(jù)，節(jié)省存儲(chǔ)空間，并且通過(guò)少量的信號(hào)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的準(zhǔn)確或近似重構(gòu)，因此稀疏正則化方法在信號(hào)處理及圖像去噪中獲得了廣泛應(yīng)用［18－19］，同時(shí)在地震層析反演［20－21］，地 震波阻抗反演［22］中體現(xiàn)了明顯的優(yōu)勢(shì).

2004年Daubechies等［23］給出了稀疏正則化方法與迭代伸縮算法的理論分析，指出其用于求解反演參數(shù)且具有稀疏性的線性反問(wèn)題的有效性.隨后，Ramlau等［24］將稀疏約束正則化方法推廣到非線性問(wèn)題.對(duì)非線性不適定算子方程F（x）＝y(tǒng)，F(xiàn)：X →Y，若X，Y為序列空間 （X＝lp，Y＝l2），相應(yīng)的稀疏約束泛函可表示為

當(dāng)p＝2時(shí)即為經(jīng)典的Tikhonov正則化方法.若X為Hilbert空間，適當(dāng)?shù)匾肟蚣芾碚摚我鈞∈X存在序列 ｛φi｝使x＝，稀疏約束泛函可寫(xiě)為

其中α＞0為正則參數(shù).同時(shí)在數(shù)值算例中指出，隨著p的減少，近似解呈現(xiàn)更加稀疏的性態(tài)；但從優(yōu)化的角度考慮，當(dāng)0＜p≤1時(shí)，罰項(xiàng)部分失去了凸性與零點(diǎn)的可微性，因此本文的討論限定在1＜p＜2上.易知，泛函（1）的極小點(diǎn)滿足

這里p，q＞1為滿足1／p＋1／q＝1的對(duì)偶對(duì)，μk為尺度參數(shù).上式可看作是對(duì)普通的最速下降法（p＝2）（又稱之為L(zhǎng)andweber方法）的推廣.文獻(xiàn)［25］對(duì)這一方法的收斂性進(jìn)行了詳細(xì)分析.本文將應(yīng)用對(duì)偶方法（4）求解稀疏約束泛函（1）的極小點(diǎn)，類似地，為求解稀疏化后的約束泛函（2），迭代公式（3）可寫(xiě)為

3 波形反演模型

本文基于二維聲波方程波形反演問(wèn)題探討稀疏約束正則化方法的可行性和有效性.描述地震波傳播的二維聲波方程的模型是

其中，x，z分別是水平方向和垂直方向，z＝0為地表.u（x，z，t）為質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù).s（x，z，t）為震源函數(shù)，并且s（x，z，t）＝0，t＜0.v（x，z）為介質(zhì)在（x，z）處的速度.

波動(dòng)方程的邊界條件為

初始條件為

這樣，（5）—（8）就構(gòu)成了一個(gè)聲波方程的正演模型.如果加上地表的測(cè)量數(shù)據(jù)

就構(gòu)成了確定速度v的聲波方程反演問(wèn)題.首先對(duì)（5）式進(jìn)行數(shù)值差分離散，即有

相應(yīng)的邊界條件（6），（7）式與初始條件（8）式可寫(xiě)為

其中nx，nz分別為矩形剖分在x，z方向的網(wǎng)格個(gè)數(shù)，nt為時(shí)間間隔個(gè)數(shù)，Δx，Δz，Δt分別為空間、時(shí)間網(wǎng)格上的剖分步長(zhǎng)，記v＝v（i，j），為待反演的速度模型，y＝u（i，1，k）（i＝1，2，…，nx－1，k＝2，3，…，nt）為觀測(cè)數(shù)據(jù)，用F表示模型空間到數(shù)據(jù)空間的映射，即離散正演算子，則通常的地震勘探反演問(wèn)題可描述為有限維非線性算子方程：

具體可參見(jiàn)文獻(xiàn)［14，17］.

4 數(shù)值模擬

本節(jié)將考慮孔洞和分層兩類不同模型，應(yīng)用對(duì)偶方法進(jìn)行數(shù)值模擬，以驗(yàn)證稀疏約束正則化方法的有效性.算例1與算例2記錄了當(dāng)模型本身為稀疏時(shí)稀疏約束正則化方法的反演結(jié)果；當(dāng)模型為不稀疏時(shí)，先應(yīng)用小波變換對(duì)其進(jìn)行稀疏化處理，再應(yīng)用稀疏約束正則化方法反演，如算例3、4與5.

在數(shù)值模擬中，選取空間范圍為800m×800m，空間間隔Δx＝Δz＝40m，時(shí)間采樣間隔為Δt＝0.004s，震源子波選取最常用的雷克（Ricker）子波.其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其中，f＝60Hz為子波主頻.

為了測(cè)試稀疏正則化方法的抗噪能力，分別對(duì)模型1—3添加1%的隨機(jī)噪聲，對(duì)模型4與模型5添加25%的隨機(jī)噪聲.在求解稀疏約束的優(yōu)化問(wèn)題中，應(yīng)用對(duì)偶方法（4）式，選取背景值v0＝2800作為反演的初值，正則參數(shù)為

其中，ξ∈（0，1），α0＝10－3.選取迭代的停止準(zhǔn)則為廣義偏差原則，即

其中，k＊為迭代步數(shù)，τ＞1，具體值可依靠經(jīng)驗(yàn)選取.本文在算例1、2中選取τ＝1.3，算例3～5中選取τ＝3.

為了比較算法精度，定義相對(duì)誤差為這里v為反演結(jié)果，v＊為真實(shí)值，其中范數(shù)皆為l2范數(shù).

4.1 孔洞模型反演結(jié)果

算例1：真實(shí)模型如圖1a所示，在對(duì)偶方法中，選取不同的p值（2，1.6，1.2），得到的反演結(jié)果分別如圖1（b，c，d）所示.結(jié)果表明，隨著p的減少，稀疏約束正則化方法可以獲得更稀疏的解，這與稀疏約束正則化方法的預(yù)期是一致的.表1記錄了不同p相應(yīng)的迭代步數(shù)k＊，CPU運(yùn)行時(shí)間T（s）及近似解與真解的相對(duì)誤差err的計(jì)算結(jié)果；具體的相對(duì)誤差（err）及偏差 （disp＝ ‖F(xiàn)（vδk）－yδ‖）的變化情況可見(jiàn)圖2（a，b），不難看到隨著p的減少，在迭代誤差與計(jì)算效率上，稀疏約束正則化方法都呈現(xiàn)一定的優(yōu)勢(shì).

表1 算例1的數(shù)值結(jié)果Table 1 The numerical results of model 1

算例2：考慮更復(fù)雜的介質(zhì)，真實(shí)模型如圖3a所示，在對(duì)偶方法中，選取不同的p值（2，1.2，1.1），得到的結(jié)果如圖3（b，c，d）所示.結(jié)果表明，對(duì)比經(jīng)典方法，稀疏約束正則化方法反演效果要好的多.

算例3：選取真實(shí)模型如圖4a所示，應(yīng)用尺度為4的Haar小波對(duì)其進(jìn)行稀疏化，再利用對(duì)偶方法，選取不同的p值（2，1.2，1.1）進(jìn)行求解，結(jié)果如圖4（b，c，d）所示.結(jié)果表明，對(duì)比經(jīng)典方法，稀疏約束正則化方法反演效果要清晰得多.但是可以注意到，當(dāng)p減少到一定程度時(shí)，反演結(jié)果會(huì)過(guò)度稀疏化，即出現(xiàn)能量集中的現(xiàn)象，導(dǎo)致某些網(wǎng)格點(diǎn)反演值偏高.因此導(dǎo)致了p＝1.1時(shí)的計(jì)算結(jié)果反不如p＝1.2好.為此，記錄選取不同的p值相應(yīng)的小波系數(shù)重構(gòu)情況，如圖5所示，其中橫坐標(biāo)代表小波系數(shù)指標(biāo)i，縱坐標(biāo)表示小波系數(shù)值.首先可以看到，應(yīng)用小波分解獲得的小波系數(shù)的確是稀疏的；其次對(duì)比真實(shí)模型的小波系數(shù)值（實(shí)線）與近似解的小波系數(shù)值（星號(hào)），隨著p的減少，重構(gòu)系數(shù)確實(shí)呈現(xiàn)更稀疏的性態(tài)；特別注意的是的當(dāng)p＝1.1時(shí)，重構(gòu)的小波系數(shù)確實(shí)更稀疏了，但是真實(shí)模型的小波系數(shù)卻沒(méi)那么稀疏，即稱為過(guò)度稀疏的現(xiàn)象，因此參數(shù)p需適當(dāng)選??；從另一角度，也可以認(rèn)為經(jīng)小波變換后的小波系數(shù)不夠稀疏，因此為了獲得更稀疏系數(shù)，如何選擇適當(dāng)?shù)目蚣芑蚧?，也是我們進(jìn)一步考慮的問(wèn)題.

4.2 分層介質(zhì)反演結(jié)果

考慮分層模型，真實(shí)模型如圖6a，7a所示，此時(shí)模型不稀疏，為了稀疏化本文應(yīng)用小波變換對(duì)其進(jìn)行稀疏化處理，選取尺度為4的Haar小波.

圖3 算例2（a）真實(shí)模型速度；（b）Landweber方法（p＝2）的反演結(jié)果；（c）p＝1.2對(duì)偶方法的反演結(jié)果；（d）p＝1.1的對(duì)偶方法的反演結(jié)果.Fig.3 Model 2（a）Velocity of the real model；（b）Inversion result of Landweber method（p＝2）；（c）Inversion result of dual method with p＝1.2；（d）Inversion result of dual method with p＝1.1.

圖4 算例3（a）真實(shí)模型速度；（b）Landweber方法（p＝2）的反演結(jié)果；（c）p＝1.2對(duì)偶方法的反演結(jié)果；（d）p＝1.1的對(duì)偶方法的反演結(jié)果.Fig.4 Model 3（a）Velocity of the real model；（b）Inversion result of Landweber method（p＝2）；（c）Inversion result of dual method with p＝1.2；（d）Inversion result of dual method with p＝1.1.

算例4：在對(duì)偶方法中，選取不同的p值（2，1.4，1.2），結(jié)果如圖6（b，c，d）所示.

算例5：在對(duì)偶方法中，選取不同的p值（2，1.6，1.2），結(jié)果如圖7（b，c，d）所示.

綜合圖4與圖5的反演結(jié)果，可見(jiàn)對(duì)比經(jīng)典Landweber方法，隨著p的減少，對(duì)偶方法對(duì)不連續(xù)介質(zhì)模型的邊緣具有良好的識(shí)別能力.

5 結(jié) 語(yǔ)

完全的地震波形反演問(wèn)題本質(zhì)上是非線性的，在反演過(guò)程中經(jīng)常會(huì)遇到介質(zhì)不規(guī)則或不連續(xù)的情況，而應(yīng)用傳統(tǒng)的Tikhonov正則化方法又會(huì)出現(xiàn)解過(guò)度光滑現(xiàn)象，從而使反演結(jié)果失效.為此，本文引入了非線性稀疏約束正則化方法，將其應(yīng)用于二維聲波方程波形反演問(wèn)題.數(shù)值結(jié)果表明，在稀疏約束正則化方法中，隨著p的減少，反演結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)更稀疏的性態(tài)，且對(duì)非連續(xù)介質(zhì)模型的邊緣具有更好的識(shí)別能力.這項(xiàng)試驗(yàn)無(wú)疑是有實(shí)際意義的，下一步我們將嘗試將這一理論應(yīng)用到更復(fù)雜的地震波形反演問(wèn)題中.同時(shí)，從稀疏約束泛函來(lái)看，當(dāng)p逐漸減少時(shí)，罰項(xiàng)部分凸性變?nèi)?，我們有理由懷疑此時(shí)對(duì)偶方法的收斂域變小，因此如何克服局部極小值問(wèn)題，仍需進(jìn)一步探討.

圖5 算例3的小波系數(shù)結(jié)果（a）p＝2的反演系數(shù)結(jié)果；（b）p＝1.3的反演系數(shù)結(jié)果；（c）p＝1.2的反演系數(shù)結(jié)果；（d）p＝1.1的反演系數(shù)結(jié)果.Fig.5 The wavelet coefficient of Model 3（a）The wavelet coefficient of inversion with p＝2；（b）The wavelet coefficient of inversion with p＝1.3；（c）The wavelet coefficient of inversion with p＝1.2；（d）The wavelet coefficient of inversion with p＝1.1.

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