吳 偉, 任 超, 王文杰, 黃征凱

在高精度GPS精密測量中，基線處理采用了經(jīng)過后處理的IGS精密星歷，它在GPS精密定位、精密單點(diǎn)定位（PPP）和低軌衛(wèi)星精密定軌中發(fā)揮了至關(guān)重要的作用[1]。IGS提供的精密星歷可達(dá)mm級，但是，其星歷間隔一般為15 min，而一般接收機(jī)接收到的觀測值間隔小于1 min，要想獲得觀測瞬間衛(wèi)星的位置，就涉及到衛(wèi)星星歷的插值問題[2,3]。目前，國內(nèi)外較常用的精密星歷插值方法是Lagrange內(nèi)插和Chebyshev多項(xiàng)式擬合[4]。多項(xiàng)式插值一般采用滑動式窗口算法，該算法將插值區(qū)間作為一個(gè)窗口，窗口大小始終保持不變，每次將窗口向后移動一個(gè)時(shí)間段，用于插值窗口中間2點(diǎn)之間的時(shí)間段。雖然滑動式窗口算法已然是精密星歷插值的成熟算法[5,6]，但是之前的相關(guān)論著卻并未對該算法進(jìn)行深入、詳細(xì)探究。

1 精密星歷插值多項(xiàng)式及插值余項(xiàng)

1.1 Lagrange多項(xiàng)式內(nèi)插

n階Lagrange多項(xiàng)式插值模型為：

式中，點(diǎn)xi(i=0,1…,n)稱為插值節(jié)點(diǎn)，包含插值節(jié)點(diǎn)的區(qū)間[a，b]稱為插值區(qū)間。對于任意x∈[a,b]，插值余項(xiàng)[7，8]：

式中，ξ∈[a,b]且依賴于

由式(2)可以看出，插值點(diǎn)與插值節(jié)點(diǎn)越接近，|wn+1(x)|越小，則|Rn(x)|也越??；反之，|Rn(x)|越大。因此，求插值點(diǎn)x處f（x）的近似值時(shí)，應(yīng)盡量選與x最接近的插值節(jié)點(diǎn)作插值運(yùn)算，這也體現(xiàn)了滑動式窗口插值的思想，且最好使用內(nèi)插公式，因內(nèi)插比外推誤差小。

1.2 Chebyshev多項(xiàng)式擬合

由于Chebyshev多項(xiàng)式只適用于自變量區(qū)間為[-1,1]的情況，因此在時(shí)間段[t0,t0+?t]內(nèi)（t0為初始時(shí)刻，?t為擬合時(shí)間長度)采用n階Chebyshev多項(xiàng)式擬合時(shí)，首先需利用公式將變量的區(qū)間歸化到[-1,1]。Chebyshev多項(xiàng)式擬合模型[9]為：

式中，n為多項(xiàng)式階數(shù)；Cyi為多項(xiàng)式系數(shù)；Ti(τ)為第i階Chebyshev多項(xiàng)式，可通過其具有的下列遞推關(guān)系[10]求出：T0(τ)=1,T1(τ)=τ,Tn(τ)=2τTn -1(τ)-Tn-2(τ)(n=2,3,…)。

根據(jù)Chebyshev最小零偏差定理[8]，在[-1,1]上所有首項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式pn(x)，21-nTn(x)對零的偏差最小，即

由該定理可知，插值節(jié)點(diǎn)取為n次Chebyshev多項(xiàng)式的零點(diǎn)時(shí)，誤差估計(jì)式變?yōu)椋?/p>

從式(5)可以看出，要降低截?cái)嗾`差，采用最小零偏差定理，則|Rn(x)|也最??；實(shí)際插值點(diǎn)與插值節(jié)點(diǎn)不可能達(dá)到零偏差，但是，插值點(diǎn)與插值節(jié)點(diǎn)越接近時(shí)插值效果會更佳。

在詳細(xì)分析Lagrange內(nèi)插和Chebyshev多項(xiàng)式擬合其插值余項(xiàng)的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)，截?cái)嗾`差在端點(diǎn)處將迅速增長，在插值端點(diǎn)處容易發(fā)生振蕩或跳躍現(xiàn)象。

2 算例分析

2.1 滑動式算法星歷插值結(jié)果對比

選用2011-03-20 的IGS精密星歷文件數(shù)據(jù)，采樣間隔為15 min，每個(gè)歷元32顆衛(wèi)星。抽取每隔30 min的星歷數(shù)據(jù)，將其插值為采樣間隔為15 min的衛(wèi)星坐標(biāo)數(shù)據(jù)，并與實(shí)際的衛(wèi)星坐標(biāo)值比較。

方案1：采用Lagrange多項(xiàng)式對32顆衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行內(nèi)插，內(nèi)插階數(shù)為4～35階，圖1、圖2分別給出了15、16階（最佳）衛(wèi)星坐標(biāo)偏差統(tǒng)計(jì)圖。

方案2：采用Chebyshev多項(xiàng)式對32顆衛(wèi)星坐標(biāo)進(jìn)行擬合，擬合階數(shù)為6～39階，圖3、圖4分別給出了20、21階（最佳）衛(wèi)星坐標(biāo)偏差統(tǒng)計(jì)圖。

方案3：對2種模型的各階插值結(jié)果的最大偏差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，如圖5、圖6所示。

圖1 Lagrange 15 階插值坐標(biāo)偏差統(tǒng)計(jì)圖

圖2 Lagrange 16 階插值坐標(biāo)偏差統(tǒng)計(jì)圖

圖3 Chebyshev 20 階擬合坐標(biāo)偏差統(tǒng)計(jì)圖

圖4 Chebyshev 21 階擬合坐標(biāo)偏差統(tǒng)計(jì)圖

圖5 Lagrange 各階插值最大偏差統(tǒng)計(jì)圖

圖6 Chebyshev 各階插值最大偏差統(tǒng)計(jì)圖

圖7 Lagrange各階插值RMS統(tǒng)計(jì)圖

圖8 Chebyshev各階插值RMS統(tǒng)計(jì)圖

方案4：2種模型各階插值RMS統(tǒng)計(jì)，如圖7、圖8所示。

在圖5、圖7中，省略了小于13階的粗大偏差，圖6、圖8中省略了小于13、大于25階的粗大偏差。

通過實(shí)驗(yàn)可以得出以下結(jié)論：

1）由圖1～圖4可知，2種模型在相鄰階數(shù)插值結(jié)果精度相當(dāng)，Lagrange在15、16階，Chebyshev在20、21階都能達(dá)到亞mm級精度，衛(wèi)星編號為7、9、13、27衛(wèi)星星歷有較大誤差。

2）對比圖5～圖8可以發(fā)現(xiàn)，無論是最大偏差還是均方根誤差，Lagrange內(nèi)插在大于16階以后，精度幾乎穩(wěn)定，所以僅增加階數(shù)并不會對提高精度有明顯貢獻(xiàn)；Chebyshev擬合在16～21階精度較穩(wěn)定，但是階數(shù)越高或越低時(shí)偏差成級數(shù)增加。

2.2 滑動式與非滑動式算法插值結(jié)果對比

選用數(shù)據(jù)：2011-03-20 T 11:00:00～12:45:00衛(wèi)星PRN號為2、10、18、26的IGS精密星歷數(shù)據(jù)。當(dāng)插值點(diǎn)時(shí)刻位于所有插值節(jié)點(diǎn)時(shí)刻的中間時(shí)，即?t=0，為滑動式插值；當(dāng)插值點(diǎn)時(shí)刻距所有插值節(jié)點(diǎn)時(shí)刻的中間時(shí)刻越來越遠(yuǎn)時(shí)，即?t>0，為非滑動式插值。表1給出了2種模型在同階不同時(shí)刻不同衛(wèi)星插值的RMS統(tǒng)計(jì)結(jié)果，?t=0時(shí)為11:00，?t=105時(shí)為12:45。

表1 滑動式與非滑動式算法插值結(jié)果統(tǒng)計(jì)

從表1可知，標(biāo)準(zhǔn)差RMS與Dt成正比，即當(dāng)插值點(diǎn)時(shí)刻距所有插值節(jié)點(diǎn)時(shí)刻的中間時(shí)刻越來越遠(yuǎn)時(shí)，誤差也越來越大，Lagrange內(nèi)插誤差增大較明顯，Chebyshev擬合相對穩(wěn)定。

3 結(jié) 語

1）Lagrange多項(xiàng)式內(nèi)插和Chebyshev多項(xiàng)式擬合精度均可達(dá)到亞mm級，完全可以用于高精度的GPS導(dǎo)航和定位。

2）由圖7、圖8可知，當(dāng)階次超出一定范圍后，增多插值節(jié)點(diǎn)，Chebyshev擬合誤差成倍增加，Lagrange內(nèi)插精度降低不明顯。

3）采用非滑動式算法插值時(shí)，Lagrange多項(xiàng)式內(nèi)插值可達(dá)到m級誤差，Chebyshev多項(xiàng)式擬合精度相對穩(wěn)定，達(dá)cm級。

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