胡 沛， 崔國民

（上海理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院，上海 200093）

換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化影響因素分析及局部最優(yōu)解的跳出策略

胡 沛， 崔國民

（上海理工大學(xué)能源與動力工程學(xué)院，上海 200093）

在換熱網(wǎng)絡(luò)分級超結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上提出了換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，對其用懲罰函數(shù)法去約束后通過算例分析其非線性，明確了優(yōu)化起始點冷熱流體的匹配方式以及換熱器的面積是影響求解效果與效率的兩個關(guān)鍵因素.同時提出了一種基于蒙特卡羅法結(jié)合多起點面積法的局部最優(yōu)解跳出策略，并用算例驗證表明，該策略能有效地跳出局部最優(yōu)解，得到全局最優(yōu)解.

換熱網(wǎng)絡(luò)；優(yōu)化；影響因素；局部最優(yōu)解

換熱網(wǎng)絡(luò)在許多工業(yè)過程中有廣泛的應(yīng)用，換熱網(wǎng)絡(luò)的效率在很大程度上制約了整個生產(chǎn)過程中的用能效率.對于多股冷流體與多股熱流體換熱的大型換熱網(wǎng)絡(luò)來說，冷熱流股匹配方式不同的換熱網(wǎng)絡(luò)之間所需的總投資費用也會有很大的差異，因此需要對換熱網(wǎng)絡(luò)進行優(yōu)化.經(jīng)過多年對換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化綜合問題的研究，目前總共有三大類方法可對換熱網(wǎng)絡(luò)進行優(yōu)化：探試法、夾點法及數(shù)學(xué)規(guī)劃法［1］.探試法是在經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進行，方法的收斂與否完全取決于所用經(jīng)驗選擇規(guī)則的性質(zhì)和有效性，此法不能解決復(fù)雜的換熱網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化問題.以夾點法為代表的熱力學(xué)優(yōu)化方法雖然獲得了廣泛應(yīng)用，但由于夾點溫度的使用，使該方法無法得到換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解［2］.數(shù)學(xué)規(guī)劃法可用于解決具有大量變量和多種反饋的問題，適合工業(yè)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)設(shè)計，可求出經(jīng)驗規(guī)則無法求出的優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)［3］.因此通過對數(shù)學(xué)規(guī)劃法中優(yōu)化方法的改進，更可能求出優(yōu)于其它方法的解.

1 換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和初始面積對優(yōu)化的影響

1.1 換熱網(wǎng)絡(luò)超結(jié)構(gòu)

以一個3股熱流體H和2股冷流體C進行換熱的換熱網(wǎng)絡(luò)為例，無分流的換熱網(wǎng)絡(luò)超結(jié)構(gòu)如圖1所示［2-3］.

圖1 無分流換熱網(wǎng)絡(luò)超結(jié)構(gòu)Fig.1 Heat exchanger network superstructure without splitting

1.2 換熱網(wǎng)絡(luò)數(shù)學(xué)模型

對于一個NH股熱流體和NC股冷流體換熱的換熱網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化的目的是在各流股的出口溫度達到目標溫度的條件下，確定各流股的匹配以及換熱單元的面積，使換熱網(wǎng)絡(luò)的年綜合費用最少.

建立換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型

式中，Z為費用；E為費用系數(shù)；Q為換熱量；V為存在狀態(tài)函數(shù)；A為換熱單元面積；b為面積費用指數(shù)；qm為流股質(zhì)量流量；cp為比定壓熱容；t為溫度；k為換熱器傳熱系數(shù)；F為換熱器本身的固定投資費用；U H、UC為熱公用工程和冷公用工程.

1.3 初始結(jié)構(gòu)和面積對換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的影響

換熱網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)化問題是一個有約束的混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題，不便于直接求解，因此在用牛頓法等數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解前，需用懲罰函數(shù)法將有約束問題轉(zhuǎn)化成無約束問題.

懲罰函數(shù)法中構(gòu)造的輔助函數(shù)為

用一維搜索法結(jié)合牛頓法，求解以輔助函數(shù)為新的目標函數(shù)的數(shù)學(xué)問題能迅速收斂，尋求到最優(yōu)解.但是由于換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題中嚴重的非線性，往往在優(yōu)化過程中會陷于局部最優(yōu)解.且優(yōu)化的初始點的參數(shù)不同，得到的局部最優(yōu)解也不同［4］.

以文獻［5］中的算例為算例1，說明起始點參數(shù)的選擇對優(yōu)化結(jié)果的影響.

算例1中的換熱網(wǎng)絡(luò)由5股冷流體與5股熱流體換熱，流股參數(shù)如表1所示.其中加熱器的傳熱系數(shù)k1為1.2 k W／（m2·K），冷卻器的傳熱系數(shù)k2為0.8 k W／（m2·K）.換熱器的面積費用計算式為1 200A0.6美元／年，單個換熱器固定投資費用為8 600美元／年.

以不同的結(jié)構(gòu)數(shù)列VI對應(yīng)的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)作為初始優(yōu)化結(jié)構(gòu)優(yōu)化同一個算例往往得到的是不同的局部最優(yōu)解.如圖2所示，圖2（a）表示換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)數(shù)列VI中，V1～V125中除了V8，V15，V17，V24，V28，V41等于1以外，其余均為0.圖2（b）所示換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)數(shù)列VI中，V1～V125中除了V4，V7，V15，V18，V21等于1以外，其余均為0.當用圖2（a）所示結(jié)構(gòu)作為初始優(yōu)化結(jié)構(gòu)時，以30 m2作為初始優(yōu)化面積，計算算例1得到的局部最優(yōu)解如圖2（a）所示，總費用為202 882美元／年，其中固定投資費用為86 000美元／年.當用圖2（b）所示結(jié)構(gòu)作為初始優(yōu)化結(jié)構(gòu)時，同樣以30 m2作為初始優(yōu)化面積，計算算例1得到的局部最優(yōu)解如圖2（b）所示，總費用為242 442美元／年，其中固定投資費用為77 400美元／年.因此可知結(jié)構(gòu)數(shù)列VI是影響換熱網(wǎng)絡(luò)能否找到全局最優(yōu)解的重要因素.

表1 算例1流股參數(shù)Tab.1 Strea m data of the case1

圖2 優(yōu)化結(jié)果A與BFig.2 Optimized result A and B of case

當以相同結(jié)構(gòu)數(shù)列的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)作為初始結(jié)構(gòu)優(yōu)化時，優(yōu)化初始面積數(shù)列AI=｛A1，A2，…，不同時，也往往會得到不同的最優(yōu)解.如圖3所示（見下頁），優(yōu)化的初始結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)數(shù)列VI相同，V1～V125中除了V8，V20，V28，V40，V42，V49，V66等于1以外，其余均為0，但優(yōu)化初始面積數(shù)列不同.圖3（a）中的最優(yōu)解的優(yōu)化初始面積數(shù)列中，VI（i，j，k）=1時對應(yīng)的AI（i，j，k）= 100，VI（i，j，k）=0時對應(yīng)的AI（i，j，k）=0，優(yōu)化后得到的總費用為196 105美元／年，其中固定投資費用為86 000美元／年.圖3（b）中的最優(yōu)解的優(yōu)化初始面積數(shù)列中，VI（i，j，k）=1時對應(yīng)的AI（i，j，k）=30，VI（i，j，k）=0時對應(yīng)的AI（i，j，k）=0，優(yōu)化后得到的總費用為196 573美元／年，其中固定投資費用為8 600美元／年.優(yōu)化初始面積不同，得到的最優(yōu)解也不用，因此優(yōu)化初始面積數(shù)列AI同樣也是影響換熱網(wǎng)絡(luò)能否找到全局最優(yōu)解的重要因素.

由于整型變量的存在，換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題的非線性變得非常嚴重.換熱器臺數(shù)的不確定，冷熱流體匹配順序的不確定以及冷熱公用工程是否存在的不確定都使問題變得更加復(fù)雜.通過算例1可以看出，換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題中存在著大量的局部最優(yōu)解，由于其非線性，在求解過程中往往容易陷入局部最優(yōu)解從而得不到全局最優(yōu)解.因此，為了順利求得該問題的全局最優(yōu)解，必須尋求一種可行的對局部最優(yōu)解的跳出策略.

圖3 優(yōu)化結(jié)果C與DFig.3 Optimized result C and D of case

2 蒙特卡羅多起點優(yōu)化方法

通過對算例1的多個局部最優(yōu)解的求解過程分析，可知影響能否最終求得換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題全局最優(yōu)解的重要因素有兩個，一個是換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化初始結(jié)構(gòu)數(shù)列VI的選取，另一個則是結(jié)構(gòu)數(shù)列確定后的優(yōu)化初始面積數(shù)列AI的選取.

2.1 確定初始結(jié)構(gòu)數(shù)列

蒙特卡羅法是一種具有全局搜索能力的隨機性方法，可利用計算機產(chǎn)生的隨機數(shù)，進行統(tǒng)計模擬或抽樣來解決許多其它確定性算法解決不了的數(shù)學(xué)問題.蒙特卡羅法應(yīng)用于換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題可以有效地避免陷入局部最優(yōu)解.換熱網(wǎng)絡(luò)中冷熱流股匹配是一個概率模型，因此可以用蒙特卡羅法確定冷熱流股匹配的方式和順序，從而確定換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化的初始結(jié)構(gòu)數(shù)列VI.

在換熱網(wǎng)絡(luò)中，既要確保所有的流股均參與換熱，又要避免出現(xiàn)換熱回路，因此需要確定換熱系統(tǒng)中理論最小匹配單元數(shù)Umin=M+L-S，其中Umin作為單元數(shù)目包括了加熱器和冷卻器，式中，M為包括公用工程的物流數(shù)目；L為換熱網(wǎng)絡(luò)中的回路數(shù)目；S為系統(tǒng)中獨立子網(wǎng)絡(luò)數(shù)［5］.在通常情況下，要避免額外的單元，必須設(shè)法使L=0.此外，除非特殊情況在物流數(shù)據(jù)集中不存在子集同等，通常S=1.因此換熱網(wǎng)絡(luò)中的最小單元數(shù)為Umin=M-1.

因此，可設(shè)換熱網(wǎng)絡(luò)中換熱器臺數(shù)為

對第i號換熱器進行抽樣，生成隨機數(shù)χi，χ服從（0，1）區(qū)間均勻分布，即χ～U（0，1）.若χi＜P（X=i），即令Vi=0，即第i號換熱器不存在.反之若χi≥P（X=i），則令Vi=1，即第i號換熱器存在.依次確定第1號換熱器到第Nmax號換熱器的存在狀態(tài)后，可以生成換熱網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)序列VI=｛V1，V2，…，Vi，…，VNmax｝.再對其進行判定，若有未參與換熱的換熱器或出現(xiàn)換熱回路則重新抽樣.

2.2 確定優(yōu)化初始面積數(shù)列

在確定了換熱網(wǎng)絡(luò)的VI和AI后，能得到一個確定的換熱網(wǎng)絡(luò)初始結(jié)構(gòu)，即為多起點網(wǎng)格中的一個結(jié)點，以該結(jié)構(gòu)為起始點用一維搜索法結(jié)合牛頓法優(yōu)化該結(jié)構(gòu)，則能得到一個局部最優(yōu)解.用蒙特卡羅法結(jié)合多起點法能以網(wǎng)格狀在求解域內(nèi)尋求全局最優(yōu)解，因此這種優(yōu)化方法比傳統(tǒng)的單程優(yōu)化更容易跳出局部最優(yōu)解，找到全局最優(yōu)解.

3 優(yōu)化方法應(yīng)用實例

用以上提出的優(yōu)化方法優(yōu)化算例1，用蒙特卡羅法抽樣10萬個結(jié)構(gòu)數(shù)列和10萬個初始面積結(jié)構(gòu)，得到的最小年綜合費用為196 105美元／年，比文獻［5］中的年綜合費用197 728美元／年低1 623美元／年，優(yōu)化得到的換熱網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)以及其參數(shù)如圖4所示.用文獻［6］中的算例為算例2，進一步檢驗上文的局部最優(yōu)解的跳出策略的可靠性和有效性.

圖4 算例2換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Optimized result of the case 2

算例2中的換熱網(wǎng)絡(luò)由7股冷流體與8股熱流體換熱，流股參數(shù)如表2所示.換熱器的面積費用計算式為500A0.75美元／年，單個換熱器固定投資費用為8 000美元／年.冷熱公用工程年價格分別為10美元／年和80美元／年.

表2 算例2流股參數(shù)Tab.2 Strea m data of the case 2__________

用蒙特卡羅法抽樣10萬個結(jié)構(gòu)數(shù)列和10萬個初始面積結(jié)構(gòu)，得到的最小年綜合費用為1 564 543美元／年，比文獻［5］中的年綜合費用1 599 229美元／年低34 686美元／年.

4 結(jié) 論

分析了初始結(jié)構(gòu)和初始面積對換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題的影響.由于問題非線性嚴重，優(yōu)化過程中往往容易陷入局部最優(yōu)解而得不到全局最優(yōu)解.對此本文提出了一種基于蒙特卡羅法與多起點法的局部最優(yōu)解的跳出策略，通過實例檢驗表明，該跳出策略能有效地跳出局部最優(yōu)解，合適地選擇初始結(jié)構(gòu)的抽樣次數(shù)、初始面積的抽樣次數(shù)以及初始面積范圍的大小則能求得全局最優(yōu)解.

［1］ 高維平.換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化節(jié)能技術(shù)［M］.北京：中國石化出版社，2004.

［2］ Linnhoff B，Hindmarsh E.The pinch design method for heat exchanger networks［J］.Chem Eng Sci，1983，38（5）：745-762.

［3］ 袁希鋼.混合整數(shù)非線性規(guī)劃與化學(xué)工程系統(tǒng)最優(yōu)化設(shè)計：換熱器網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)合成［J］.化工學(xué)報，1991，42（1）：40-46.

［4］ Yee T F，Grossmann I E.Simultaneous optimization models for heat integration［J］.Comput Chem Eng，1990，14（10）：1165-1184.

［5］ Papoul ias S A，Grossmann I E.A structural optimization approach in process synthesis［J］.Comput Chem Eng，1983，7（6）：707-721.

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（編輯：金 虹）

A nalysis on Influencial Factors in Heat Exchanger Netw ork O ptimization and the Strategy for Ju m ping out of Local O ptim al Solution

HU Pei， CUI Guo-ming
（School of Engergy and Power Engineering，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

A mathematical modelfor heat exchanger network optimization was established based on the stage-wise superstructure.By analyzing the serious nonlinearity of the model，it is shown that two key factors，namely，the matching mode and the exchanger area，have a strong impact on calculation efficiency and accuracy.Moreover，the heat exchanger network optimization problem belongs to the mixed integer non-linear program ming problem，so，it is easy to fall into the local solution in optimization process.In order to relieve this limitation in the synthesis of heat exchanger networks，a novel approach which combines initial multi-point method with Monte Carlo method was presented.Effectively jumping out ofthelocalsolution to obtain globaloptimalsolution by using this approach was validated by numerical examples.

heat exchanger networks；optimization；influence factors；local optimal solution

T K 124

A

1007-6735（2013）05-0479-05

2012-12-26

上海市人才發(fā)展基金資助項目（2009022）；教育部博士點基金資助項目（200802520007）；國家自然科學(xué)基金資助項目（51176125）

胡 沛（1989-），女，碩士研究生.研究方向：換熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化.E-mai l：hupei89＠163.com

崔國民（1969-），男，教授.研究方向：過程系統(tǒng)及能量綜合利用.E-mai l：cgm1226＠163.com