劉向平， 章國慶

（上海理工大學理學院，上海 200093）

帶非線性邊界的p-Laplacian問題的多重解

劉向平， 章國慶

（上海理工大學理學院，上海 200093）

研究了外域空間上一類帶非線性邊界的p-Laplacian問題多重解的存在性.利用極值原理和山路引理，證明了帶非線性邊界的p-Laplacian問題至少存在2個非平凡解.

多重解；非線性邊界；山路引理

1 問題的提出

幾何學中的一些問題都與帶非線性邊界的p-Laplacian方程相關(guān)，如微分幾何中的標量曲率問題和Yamabe問題［1-2］可導出類似的如下帶非線性邊界條件的p-Laplacian問題

1992年，Yu［3］研究了在外域上帶Dirichlet邊界的p-Laplacian問題.分別對超線性、次線性、超線性加次線性這3種情況進行了討論，得到了非平凡解的存在性和正則性.2001年，Montefusco和Radulescu［4］利用山路引理證明了在無界區(qū)域上的帶非線性邊界的p-Laplacian問題至少存在1個非平凡解.2008年，F(xiàn)ilippucci和Pucci［5］證明了外域上帶非線性邊界的p-Laplacian問題至少存在1個非平凡解，并給出了解的正則性.但對于此類問題多重解的研究并不多見，本文利用山路引理和在局部區(qū)域找極小值點的方法，證明了問題（1）至少有2個非平凡解，得到了多重解的存在性.

2 預(yù)備知識

3 主要定理的證明

利用山路引理和在局部區(qū)域找極小值點的方法證明定理1.

［1］ Rossi J D.El l iptic problems with nonl inear boundary conditions and the Sobolev trace theorem［M］.New York：Elsevier，2005.

［2］ Druet O，Hebey E.El l iptic equations of Yamabe type［J］.International Mathematics Research Surveys，2005，1（1）：1-113.

［3］ Yu L S.Nonl inearp-Laplacian problems on unbounded domains［J］.Proc A merican Mathematical Soc，1992，115（4）：1037-1045.

［4］ Momtefusco E，RadulescuV.Nonl ineareigenvalue problems forquasi l inearoperatorsonunbounded domains［J］.Nonl inear Differ Equ Appl，2001，8（2）：481-497.

［5］ Fi l ippucci R，Pucci P，Radulescu V.Existence and nonexistence results forquasi l inearel l ipticexterior problems with nonl inear boundary conditions［J］. Com m Partial Differ Eqations，2008，33（3）：706-717.

［6］ Pfluger K.Compact traces in weighted Sobolve spaces［J］.Analysis，1998，18（1）：65-83.

［7］ Pfluger K.Existence andmultipl icityof solutions to ap-Laplacian equationwith nonl inear boundary conditions［J］.Electronic Journal ofDifferential Equations，1998（10）：1-13.

［8］ Diaz J I.Nonl inear partial differential equations and free boundaries［M］∥Research Notesin Mathematics. Boston：Prentice ltal l，1986.

（編輯：石 瑛）

M ultiplicity Solutions forp-Laplacian Proble m s with N onlinear Boundary Conditions

LIU Xiang-ping， ZHANG Guo-qing
（College of Sciences，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

The existence of multiple solutions for a class ofp-Laplacian problems with nonlinear boundary conditions on exterior domain was investigated.Using extremum principle and mountain pass lem ma，the existence of at least two nontrivial solutions forp-Laplacian equations with nonlinear boundary conditions was proved.

m ultiplicity solutions；nonlinear boundary conditions；Mountain Pass Lem m a

O 175.25

A

1007-6735（2013）05-0449-03

2012-07-18

上海市自然科學基金資助項目（11ZR1424500）；上海市一流學科建設(shè)資助項目（X T K X2012）

劉向平（1987-），男，碩士研究生，研究方向：偏微分方程.E-mai l：l iuxp83355650＠yeah.net

章國慶（1973-），男，副教授，研究方向：偏微分方程.E-mai l：shzhangguoqing＠126.com