奚 寧

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093）

規(guī)范場理論的擴(kuò)展研究
——A場→B場→C場

奚 寧

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093）

當(dāng)今的研究已經(jīng)證明復(fù)雜系統(tǒng)的復(fù)雜性主要來自于元素之間的相互作用.在自然科學(xué)的研究中，刻畫相互作用最成功的方法是物理學(xué)中的規(guī)范場理論.基于此，回顧了規(guī)范場理論發(fā)展中3篇具有里程碑意義的論文，展示了規(guī)范場理論的發(fā)展過程.并以電磁場為例，從系統(tǒng)科學(xué)的角度說明規(guī)范場理論如何刻畫相互作用.之后，在上述論述的基礎(chǔ)上，得出一個推論：規(guī)范場理論可以擴(kuò)展到非物理系統(tǒng)，并且總結(jié)出應(yīng)用規(guī)范場理論應(yīng)該具備的4個要件.

相互作用；規(guī)范場；規(guī)范變換；守恒量；作用量

當(dāng)今的研究已經(jīng)證明復(fù)雜系統(tǒng)的復(fù)雜性主要來自于相互作用.例如，人類與黑猩猩基因組的DNA序列相似程度高達(dá)99%［1］，由此可以推知，人類與黑猩猩在生理與行為上的顯著差異并非來自于基因，而是來自于基因之間的相互作用.所以，刻畫了相互作用就相當(dāng)于理解了復(fù)雜系統(tǒng).在自然科學(xué)的研究中，刻畫相互作用最成功的方法是粒子物理中的規(guī)范場理論.現(xiàn)在，它已經(jīng)被公認(rèn)為是20世紀(jì)物理學(xué)最重要的成就之一，其核心思想可以用楊振寧的一句話來概括，即“對稱性支配相互作用”［2］.

規(guī)范場理論的研究始于1918年韋爾的論文“萬有引力和電”［3］，其開創(chuàng)性的思想吸引了很多著名的物理學(xué)家，如泡利、楊振寧、溫伯格等，他們在規(guī)范場理論的發(fā)展過程中作出了重要貢獻(xiàn).現(xiàn)在，物理學(xué)家們一致認(rèn)為規(guī)范場理論將是最終解決4種作用力（即引力、電磁作用、強作用、弱作用）統(tǒng)一問題的最有希望的理論范式.

在規(guī)范場理論的發(fā)展史中，有3篇具有里程碑意義的論文，即1918年韋爾的“萬有引力和電”［3］、1929年韋爾的“電子與萬有引力”［4］和1954年楊振寧與米爾斯的“同位旋守恒和同位旋規(guī)范不變性”［5］.本文首先回顧這3篇經(jīng)典論文，展示規(guī)范場理論的發(fā)展過程；然后以電磁場為例，從系統(tǒng)科學(xué)的角度闡述規(guī)范場理論是如何刻畫電子之間的相互作用的；之后，嘗試抽象規(guī)范場理論的建模思想，并將其推廣到非物理系統(tǒng)中.最后，總結(jié)出應(yīng)用規(guī)范場理論所需的要件.在一個非物理系統(tǒng)中，一旦找到這些要件，就可以應(yīng)用規(guī)范場理論刻畫系統(tǒng)元素之間的相互作用，進(jìn)而理解支配系統(tǒng)演化的動力學(xué)規(guī)律.根據(jù)現(xiàn)有可相關(guān)研究結(jié)果［6］，預(yù)計規(guī)范場理論的使用將會給系統(tǒng)科學(xué)研究帶來前所未有的新發(fā)現(xiàn).

1 經(jīng)典論文

20世紀(jì)初是物理學(xué)發(fā)展的黃金時期，相對論和量子力學(xué)的出現(xiàn)極大地激發(fā)了物理學(xué)家的研究熱情.1918年韋爾為了統(tǒng)一引力與電磁作用，完成了論文“萬有引力和電”［3］.在這篇論文中，韋爾有兩個創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)，一是最先將無限小平行位移的概念應(yīng)用到物理學(xué)研究，二是應(yīng)用了規(guī)范不變性思想，從而建立了規(guī)范場理論.不幸的是，在這篇論文中，韋爾錯將長度變換認(rèn)作規(guī)范變換，這導(dǎo)致理論結(jié)果與實驗觀測嚴(yán)重背離.但是，這個錯誤并不能掩蓋韋爾這套思維的巧妙.愛因斯坦在指出韋爾錯誤的同時，也肯定了這篇文章的創(chuàng)造性.

隨著量子力學(xué)的飛速發(fā)展，物理學(xué)家們逐漸發(fā)現(xiàn)韋爾錯誤的原因.1929年韋爾綜合這些觀點完成了一篇新的論文“電子與萬有引力”［4］.在這篇論文中，他用相位規(guī)范不變性代替長度規(guī)范不變性.結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在相位規(guī)范變換下的不變性要求引入一個新的量Aμ，即規(guī)范場.如果將韋爾的這套規(guī)范場理論與麥克斯韋的電磁場理論相對照的話，不難發(fā)現(xiàn)這個A場就是電磁場理論中的電磁勢，正是由它刻畫了電子之間的相互作用.

韋爾在規(guī)范場理論方面的工作并沒能實現(xiàn)他統(tǒng)一引力與電磁作用的愿望，因而沒有受到物理學(xué)家的足夠重視.這種情況一直到楊振寧與米爾斯的論文發(fā)表才發(fā)生轉(zhuǎn)變.1954年為了刻畫核子之間相互作用，楊振寧與米爾斯完成了他們的論文“同位旋守恒和同位旋規(guī)范不變性”［5］.在這篇論文中，他們找到了同位旋這個物理量，與韋爾的工作類似，他們發(fā)現(xiàn)在同位旋規(guī)范變換下的不變性要求引入一個規(guī)范場，他們稱之為Bμ，它刻畫了核子之間的相互作用.之后，楊振寧與米爾斯利用B場的具體性質(zhì)最終確定了B場的方程.楊振寧與米爾斯的工作揭示了規(guī)范場理論背后深刻的物理學(xué)含義，使物理學(xué)家們意識到規(guī)范場理論是研究微觀粒子相互作用的理想范式.同時，也指出了尋找規(guī)范變換的方法，即通過守恒量尋找.之后，格拉肖、溫伯格和薩拉姆應(yīng)用規(guī)范場理論給出了弱電統(tǒng)一形式［7-9］.目前，規(guī)范場理論被認(rèn)為是最終解決4種作用力統(tǒng)一問題的最有希望的理論范式.

2 電磁作用的規(guī)范場理論

現(xiàn)以電磁場為例，從系統(tǒng)科學(xué)的角度展示規(guī)范場理論如何刻畫電子之間的相互作用［10-11］.

物理學(xué)已經(jīng)將自由電子的運動研究得非常透徹，其運動規(guī)律用作用量L描述.

式中，γμ為常數(shù)矩陣；?μ為?／?xμ的記號；m為自由電子的質(zhì)量；ψ（x）為自由電子的波函數(shù).

由量子力學(xué)理論可知，波函數(shù)ψ（x）是不可觀測量，而｜ψ（x）｜2是幾率，才是可觀測量.因而，將所有位置的相位改變相同的角度，即作變換

作用量應(yīng)該保持不變，即L′=L.由于變換中的α是對全時空都相同的常量，所以，這類變換被稱為整體規(guī)范變換，相應(yīng)的不變性被稱為整體規(guī)范不變性（也稱全局對稱性）.應(yīng)用Noether定理，由這種不變性可以導(dǎo)出

式中，jμ（x）為電流強度.

方程（3）意味著電荷守恒.通過上面的分析可知，整體規(guī)范不變性對應(yīng)著守恒量；反過來，守恒量也對應(yīng)著整體規(guī)范不變性.現(xiàn)將整體規(guī)范變換進(jìn)行擴(kuò)展，將不同位置的相位改變不同的角度，即作變換）

此時，α（x）不再是常量，而是位置的函數(shù).這類變換被稱為定域規(guī)范變換.基于與上面相同的理由，作用量也應(yīng)該具有不變性.然而，與預(yù)期相反，在定域規(guī)范變換后得到的作用量L′卻不等于原來的作用量L，即自由電子的作用量式（1）在形如式（4）的定域規(guī)范變換下不具有不變性.這只能有一種解釋：電子之間存在相互作用，必須將相互作用引入到自由電子的作用量中，才能得到正確描述系統(tǒng)中電子運動的作用量.為了刻畫相互作用，需要引入規(guī)范場Aμ，它的規(guī)范變換為）.e為電子電荷.電子之間的相互作用是通過電磁場來實現(xiàn)的.使用Aμ可以得到電子與電磁場之間的相互作用（x（x），同時將電磁場的作用量（其中，電磁場強Fμν=?μAν-?νAμ）也補充到自由電子的作用量中，就得到了描述系統(tǒng)中電子運動的完整作用量

它在形如式（4）的定域規(guī)范變換下具有不變性，可稱這種不變性為定域規(guī)范不變性（也稱局部對稱性）.

3 非物理系統(tǒng)的規(guī)范場理論

電荷守恒意味著相位整體規(guī)范不變性，當(dāng)擴(kuò)展到相位定域規(guī)范不變性時就引入了韋爾的A場，它刻畫了電子之間的相互作用.類似地，同位旋守恒意味著同位旋整體規(guī)范不變性，當(dāng)擴(kuò)展到同位旋定域規(guī)范不變性時就引入了楊振寧等的B場，它刻畫了核子之間的相互作用.目前，規(guī)范場理論已經(jīng)成為刻畫基本粒子之間相互作用的標(biāo)準(zhǔn)模型.

規(guī)范場理論在物理學(xué)中取得了巨大成功.是否可以借用它的思想來研究非物理系統(tǒng)中元素之間的相互作用呢？若要實現(xiàn)這一想法，必須先將規(guī)范場理論從物理學(xué)的背景下抽象出來.幸運的是，數(shù)學(xué)家們已經(jīng)完成了相關(guān)工作.他們證明了下面的定理［12］：形如L=L（ψ（x），?ψ（x）／?xμ）的描述元素演化的作用量，如果在整體規(guī)范變換ψ（x）→gψ（x）下具有不變性，則要求它在定域規(guī)范變換ψ（x）→g（x）ψ（x）下也具有不變性時將發(fā)生下述改變：

式中，L2（Cμ，?Cμ／?xμ）為標(biāo)量，并且在定域規(guī)范變換下不變.

在這個定理中，新引入的余向量場Cμ就是規(guī)范場理論中的規(guī)范場.將新的作用量與原來的作用量進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)新作用量中增添了兩項：L2（Cμ，?Cμ／?xμ）和含有Cμψ（x）的項.因為，定理脫離了具體系統(tǒng)，它們的含義很抽象.為了理解它們的含義，可以對照上文中電磁場的例子.通過對照很容易發(fā)現(xiàn)，L2（Cμ，?Cμ／?xμ）對應(yīng)到電磁場理論中電磁場的作用量，而含有Cμψ（x）的項則對應(yīng)到電子與電磁場之間的相互作用i e（x）γμAμψ（x）.可見，新增的兩項都與相互作用有關(guān).而這兩項都是由規(guī)范場Cμ構(gòu)造而成的.所以，規(guī)范場刻畫了相互作用.

有了定理的保證，就可以使用規(guī)范場理論的思想研究非物理系統(tǒng).可以將非物理系統(tǒng)中的規(guī)范場稱為C場.

4 應(yīng)用規(guī)范場理論的要件

并非所有非物理系統(tǒng)都能使用規(guī)范場理論來研究.應(yīng)用規(guī)范場理論必須滿足一定的條件，可將其總結(jié)成4個要件：

a.守恒量.應(yīng)用規(guī)范場理論首先要求系統(tǒng)具有整體規(guī)范不變性.之后再由局部性原則出發(fā)擴(kuò)展到定域規(guī)范不變性.由電磁場的例子可以看出，整體規(guī)范不變性與守恒量是相互對應(yīng)的.如果一個系統(tǒng)具有守恒量，則它一定具有整體規(guī)范不變性.

b.定域規(guī)范變換.每一個規(guī)范場都對應(yīng)一個定域規(guī)范變換，所以，如果非物理系統(tǒng)可以使用規(guī)范場理論進(jìn)行研究，則一定存在定域規(guī)范變換.客觀規(guī)律具有定域規(guī)范變換下的不變性.通過這一原則，可以推知規(guī)范場的重要性質(zhì).

c.作用量.所有系統(tǒng)都由元素和元素之間的相互作用組成.研究一個系統(tǒng)的演化規(guī)律，首先要研究單個元素的演化，之后再研究相互作用.規(guī)范場理論是研究相互作用的理論.在應(yīng)用規(guī)范場理論之前，必須清楚單個元素的演化規(guī)律，即知道單個元素的作用量，再在作用量的基礎(chǔ)上要求定域規(guī)范不變性，從而引入規(guī)范場C，刻畫元素之間的相互作用.

d.C場的具體性質(zhì).定域規(guī)范不變性將引入規(guī)范場C，同時還將給出C場在定域規(guī)范變換下的形式，但是，并不能給出C場的完整數(shù)學(xué)形式.在不同系統(tǒng)中，元素之間的相互作用存在差異.因而，刻畫相互作用的C場也必然擁有不同的性質(zhì).只有補充這些性質(zhì)，才能最終確定C場的數(shù)學(xué)形式.

5 結(jié) 論

探討了一個重要問題：規(guī)范場理論是否能夠用來研究非物理系統(tǒng)中元素之間的相互作用.首先回顧了規(guī)范場理論發(fā)展中3篇具有里程碑意義的論文，展示了規(guī)范場理論的發(fā)展過程，并以電磁場為例，從系統(tǒng)科學(xué)的角度說明規(guī)范場理論如何刻畫相互作用.之后，在上述論述的基礎(chǔ)上，得出一個推論：規(guī)范場理論可以擴(kuò)展到非物理系統(tǒng)，并且總結(jié)出應(yīng)用規(guī)范場理論應(yīng)該具備的4個要件：守恒量、定域規(guī)范變換、作用量和C場的具體性質(zhì).如果一個系統(tǒng)同時滿足4個要件，就可以應(yīng)用規(guī)范場理論唯一確定相互作用，即C場的數(shù)學(xué)形式.

規(guī)范場理論改變了傳統(tǒng)的科學(xué)研究過程，將“實驗→場方程→對稱性”的過程轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩ΨQ性→場方程→實驗”的過程.

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［10］ 戴元本.相互作用的規(guī)范理論［M］.2版.北京：科學(xué)出版社，2005.

［11］ 李華鐘.規(guī)范場理論和金融市場模型［J］.物理，2006，35（9）：740-749.

［12］ 杜布洛文，諾維可夫，福明柯.現(xiàn)代幾何學(xué)：方法與應(yīng)用（第一卷）［M］.許明，譯.北京：高等教育出版社，2006.

（編輯：石 瑛）

Extended Researches on Gauge Field Theory——A Field→B Field→C Field

XINing
（Business School，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

Recent researches have shown that the complexity of complex systems mainly comes from the interaction between elements.In natural sciences，the gauge field theory in physics is one of the most successful frameworks which formulate the interaction.Three classic papers on gauge field theory were reviewed and the development of gauge field theory was introduced.Taking the electromagnetic field as an example，it was illustrated how the gauge field theory formulates the interaction.Then based on the above discussion，it is concluded that the gauge field theory can be applied to non-physical systems.Four necessary conditions which the application of gauge field theory requires were summarized.

interaction；gauge field；gauge transformation；conserved quantity；action

N 94

A

1007-6735（2013）04-0325-04

2013-06-15

上海市一流學(xué)科（系統(tǒng)科學(xué)）建設(shè)資助項目（XTKX2012）

奚 寧（1979-），男，講師.研究方向：系統(tǒng)科學(xué).E-mail：nxi＠usst.edu.cn