郭 偉， 顧基發(fā)， 徐山鷹， 張 毅， 李 力

（1.清華大學(xué)自動(dòng)化系，北京100084；2.中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，北京 100190）

基于消除趨勢(shì)波動(dòng)分析的上海世博會(huì)場(chǎng)館排隊(duì)分析

郭 偉1， 顧基發(fā)2， 徐山鷹2， 張 毅1， 李 力1

（1.清華大學(xué)自動(dòng)化系，北京100084；2.中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院，北京 100190）

2010年，上海市舉辦了第41屆世界博覽會(huì)，愈7 300萬的參觀人次也創(chuàng)下了歷屆之最.如此巨大的參觀人次勢(shì)必造成大量場(chǎng)館特別是熱門場(chǎng)館的排隊(duì)和等待現(xiàn)象。研究排隊(duì)和等待現(xiàn)象的時(shí)間關(guān)聯(lián)性，有助于引導(dǎo)參觀人群合理選擇場(chǎng)館、提高參觀效率，同時(shí)避免過度擁擠釀成事故.為此，引入消除趨勢(shì)波動(dòng)分析法，利用各場(chǎng)館日平均排隊(duì)長(zhǎng)度和日平均等待時(shí)間數(shù)據(jù)，分析其長(zhǎng)時(shí)程關(guān)聯(lián)性.測(cè)試表明，大部分場(chǎng)館的排隊(duì)和等待現(xiàn)象呈現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)程正相關(guān)性，部分熱門場(chǎng)館呈現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)程反相關(guān)性.

上海世博會(huì)；消除趨勢(shì)波動(dòng)分析法；長(zhǎng)時(shí)程關(guān)聯(lián)性

2010年5月1日到10月31日，上海市舉辦了第41屆世界博覽會(huì)，共有240個(gè)國(guó)家和地區(qū)組織參與，總投資約450億元人民幣，建造了占地面積約為5.28 km2的世博園區(qū).在世博會(huì)舉辦的184天中，總共迎來了7 308.44萬人參觀，也創(chuàng)下了歷屆世博會(huì)之最［1］.如此龐大數(shù)量的參觀人數(shù)，勢(shì)必造成參觀各場(chǎng)館時(shí)的排隊(duì)現(xiàn)象.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，沙特館、石油館、中國(guó)館等熱門場(chǎng)館的平均等待時(shí)間達(dá)到5 h之久，節(jié)假日可能達(dá)到6～7 h.因此，研究世博會(huì)各場(chǎng)館排隊(duì)長(zhǎng)度和排隊(duì)等待時(shí)間的長(zhǎng)時(shí)程相關(guān)性就顯得尤為重要［2］.

分析采集到的排隊(duì)長(zhǎng)度和排隊(duì)等待時(shí)間序列的一個(gè)重要難點(diǎn)在于其非平穩(wěn)性.為此，引入消除趨勢(shì)波動(dòng)分析法（detrended fluctuation analysis，DFA），將各個(gè)場(chǎng)館每日的平均排隊(duì)長(zhǎng)度、平均等待時(shí)間以及每日入園總?cè)藬?shù)作為非穩(wěn)定時(shí)間序列，通過研究其長(zhǎng)時(shí)程相關(guān)性，分析不同特性的場(chǎng)館（熱門場(chǎng)館、一般場(chǎng)館和冷門場(chǎng)館）每日排隊(duì)和等待狀況，希望對(duì)大型活動(dòng)參觀時(shí)人群的路徑選擇提供參考.

DFA方法［3］是一種研究時(shí)間序列長(zhǎng)期相關(guān)性的常用方法，在非平穩(wěn)時(shí)間序列的分形和多重分形特性、長(zhǎng)時(shí)程關(guān)聯(lián)性識(shí)別等方面已成為一項(xiàng)廣泛使用的技術(shù)［4-5］，并在DNA序列［3，6］、心律動(dòng)態(tài)［7，8］、神經(jīng)元尖峰［9］、人體步態(tài)［10］、長(zhǎng)期天氣記錄［11］、云結(jié)構(gòu)［12］、地質(zhì)學(xué)［13］、人類學(xué)［14］、經(jīng)濟(jì)學(xué)［15］中得到了成功應(yīng)用.相比于傳統(tǒng)的功率譜和關(guān)聯(lián)性分析方法，DFA的最大優(yōu)勢(shì)在于可以消除因?yàn)闀r(shí)間序列不穩(wěn)定而造成的偽相關(guān)性的干擾.

DFA方法不僅可以用于研究非平穩(wěn)時(shí)間序列的長(zhǎng)時(shí)程冪律相關(guān)性，也有助于識(shí)別同一系統(tǒng)在不同尺度行為下的不同狀態(tài).例如，在心率動(dòng)態(tài)檢測(cè)中，心跳間隔對(duì)應(yīng)的不同冪律指數(shù)可以用來區(qū)分健康狀態(tài)和患病狀態(tài)［16-18］.在交通系統(tǒng)中，出行者的路徑選擇相關(guān)性一直是該領(lǐng)域研究的十分重要的問題，Wu等［19］引入DFA方法對(duì)城市軌道交通系統(tǒng)中乘客的路徑選擇行為進(jìn)行分析，從路徑交通流量演化過程入手，探究在路網(wǎng)到達(dá)均衡狀態(tài)之前的路徑選擇行為的相關(guān)性.

本文對(duì)DFA方法進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，指出不同取值區(qū)間的赫斯特指數(shù)H所代表的不同含義.以石油館平均排隊(duì)長(zhǎng)度和平均等待時(shí)間的序列為例，逐步計(jì)算配置序列、均方根值、局部趨勢(shì)、波動(dòng)函數(shù)，并最終求取每個(gè)場(chǎng)館的H；然后把所有場(chǎng)館的H進(jìn)行聚類分析，挖掘熱門場(chǎng)館和冷門場(chǎng)館H的內(nèi)在聯(lián)系，并解釋了序列中零值對(duì)H的影響，最終給出了相應(yīng)的結(jié)論.

1 消除趨勢(shì)波動(dòng)分析法

DFA方法通常用以下5個(gè)步驟進(jìn)行描述，首先假定一個(gè)長(zhǎng)度為N的時(shí)間序列xk.

步驟1 定義配置序列Y

其中〈x〉為序列xk的平均值.

步驟2 將配置序列Y劃分為等長(zhǎng)度為l的Nl非重疊數(shù)據(jù)段，其中Nl≡int（N／l）.通常情況下，數(shù)據(jù)序列長(zhǎng)度N并不是數(shù)據(jù)段長(zhǎng)度l的整數(shù)倍，因配置序列會(huì)有少量數(shù)據(jù)被遺漏，為了避免該情況，再?gòu)奈仓潦字貜?fù)步驟2，總共獲取2Nl個(gè)數(shù)據(jù)段.

步驟3 利用最小二乘擬合方法計(jì)算出步驟2中獲取的2Nl個(gè)數(shù)據(jù)段的局部趨勢(shì)（local trend）.然后計(jì)算每一個(gè)數(shù)據(jù)段的方差.

其中，v=1，…，Nl.且

其中，v=Nl+1，…，2Nl.這里，yv（i）是數(shù)據(jù)段v的擬合多項(xiàng)式.除了線性擬合之外，還可使用二階、三階甚至高階擬合.

步驟4 計(jì)算所有數(shù)據(jù)段的q階波動(dòng)函數(shù).

其中，q可以去任何非零實(shí)數(shù).若q=2，則為標(biāo)準(zhǔn)DFA算法.

步驟5 計(jì)算波動(dòng)函數(shù)的廣義赫斯特指數(shù)值.

其中當(dāng)q=2時(shí)，H=h（2）為赫斯特指數(shù)（Hurst exponent）.同時(shí)把h（q）稱為廣義赫斯特指數(shù)（generalized Hurst exponent）.

赫斯特指數(shù)H是用來衡量時(shí)間序列長(zhǎng)時(shí)程記憶性的重要指標(biāo).表1給出了不同H值所代表的不同含義［20］.

表1 不同取值區(qū)間的赫斯特指數(shù)含義表Tab.1 Illustration of Hurst exponent among different intervals

2 試驗(yàn)與討論

按照描述的DFA方法，將每個(gè)場(chǎng)館的日平均等待時(shí)間、日平均排隊(duì)長(zhǎng)度兩個(gè)非穩(wěn)定的時(shí)間序列應(yīng)用DFA方法，并將相關(guān)結(jié)果繪制成圖.本試驗(yàn)所使用的數(shù)據(jù)集時(shí)間跨度為2010年8月1日至2010年10月31日共92天.涉及到總共134個(gè)場(chǎng)館的日平均排隊(duì)長(zhǎng)度（單位：人）、日平均等待時(shí)間（單位：min）.

2.1 DFA方法的直接應(yīng)用

一般而言，可以將按照描述的DFA方法中的5個(gè)步驟，依次得到配置序列Y、均方根值（root mean square，RMS）、局部趨勢(shì)（local trend）、波動(dòng)函數(shù)（fluctuation function）以及赫斯特指數(shù)（Hurst exponent）.

以石油館的排隊(duì)長(zhǎng)度和等待時(shí)間數(shù)據(jù)為例，繪制每一步驟得到的結(jié)果.

步驟1 根據(jù)時(shí)間序列X求取配置序列Y，見圖1.

圖1 石油館排隊(duì)長(zhǎng)度和等待時(shí)間的配置序列YFig.1 Profile Y for queuing length and waiting time about the Oil Exhibition Hall

步驟2 計(jì)算時(shí)間序列X的均方根值，見圖2， 為下一步的局部趨勢(shì)擬合做準(zhǔn)備.

圖2 石油館排隊(duì)長(zhǎng)度和等待時(shí)間序列的均方根值Fig.2 RMS values for queuing length and waiting time about the Oil Exhibition Hall

步驟3 采用線性、二階和三階擬合計(jì)算各數(shù)據(jù)段的局部趨勢(shì)，見下頁(yè)圖3.

步驟4 計(jì)算不同數(shù)據(jù)段長(zhǎng)度l情況下的局部波動(dòng)，見下頁(yè)圖4.

步驟5 通過得到的局部波動(dòng)函數(shù)，計(jì)算其廣義赫斯特指數(shù)，見下頁(yè)圖5.

通過以上步驟，得到了每一個(gè)場(chǎng)館平均排隊(duì)長(zhǎng)度和平均等待時(shí)間的廣義赫斯特指數(shù)，并可根據(jù)表1得出每一個(gè)場(chǎng)館的長(zhǎng)時(shí)程關(guān)聯(lián)性.

2.2 去除異常零值的DFA方法應(yīng)用

圖3 石油館排隊(duì)長(zhǎng)度序列的局部趨勢(shì)示意圖Fig.3 Computation of local trend based on queuing length about the Oil Exhibition Hall

圖4 石油館不同數(shù)據(jù)段長(zhǎng)度下的局部波動(dòng)示意圖Fig.4 Local fluctuations for segments with multiple sizes about the Oil Exhibition Hall

圖5 石油館的局部波動(dòng)函數(shù)和廣義赫斯特指數(shù)Fig.5 Local fluctuation function and generalized Hurst exponent for the Oil Exhibition Hall

但是如果時(shí)間序列中出現(xiàn)大量異常零值，則會(huì)對(duì)Hurst指數(shù)的計(jì)算產(chǎn)生偏差.通過石油館中的異常零值數(shù)據(jù)來說明以上結(jié)論.根據(jù)上述步驟算出的結(jié)果，沙特館和石油館都是呈長(zhǎng)時(shí)程反相關(guān)性，圖6給出了沙特館和石油館時(shí)間序列的對(duì)比示意圖.從圖中可以看出，沙特館的平均等待時(shí)間為鋸齒狀，呈現(xiàn)明顯的長(zhǎng)時(shí)程反相關(guān)性.而石油館第44，78，80，82天出現(xiàn)異常零值或者異常峰值，有可能是檢測(cè)設(shè)備失靈或者異常情況閉館造成的.

將這些零值做最簡(jiǎn)單的線性插值，令xa=（xa-1+xa+1）／2，其中a為代表出現(xiàn)異常的日期.將石油館平均排隊(duì)長(zhǎng)度去除零值之后重新計(jì)算Hurst指數(shù)，得到H值由原來的0.34修正為0.57，其長(zhǎng)時(shí)程關(guān)聯(lián)性也由反相關(guān)性修正為正相關(guān)性.可見，零值的存在會(huì)使得計(jì)算出的Hurst指數(shù)存在偏差.

通常情況下，冷門場(chǎng)館存在大量零值，即在大部分時(shí)間里，參觀冷門場(chǎng)館是不需要排隊(duì)和等待的.用大量存在零值的時(shí)間序列計(jì)算出的Hurst指數(shù)勢(shì)必存在較大誤差.因此在校正之后，這部分存在零值的冷門場(chǎng)館在分析長(zhǎng)時(shí)程關(guān)聯(lián)性的時(shí)候不予考慮.

圖6 沙特館和石油館的時(shí)間序列對(duì)比示意圖Fig.6 Comparison between the time series of the Saudi Arabia and Oil Exhibition Hall

2.3 去除異常零值后的DFA結(jié)果分析

根據(jù)之前的計(jì)算，每個(gè)場(chǎng)館的排隊(duì)長(zhǎng)度和等待時(shí)間序列都得到一個(gè)H值.不妨令第i個(gè)場(chǎng)館的H值為Hi=（Hqueue，i，Hwait，i），其中i=1，2，…，L，L為總場(chǎng)館數(shù).將所有場(chǎng)館的H值繪制出來，如圖7所示.

下面按照聚類的結(jié)果對(duì)每一類H值的特性進(jìn)行分析：

a.青色點(diǎn)：Hqueue，i∈（0.5，1），Hwait，i∈（0.5，1）.絕大部分場(chǎng)館的平均排隊(duì)長(zhǎng)度和平均等待時(shí)間呈現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)程正相關(guān)性（long-range correlation）.

b.紅色點(diǎn)：Hqueue，i∈（0，0.5），Hwait，i∈（0，0.5）.這部分場(chǎng)館的平均排隊(duì)長(zhǎng)度和平均等待時(shí)間呈現(xiàn)短時(shí)程反相關(guān)性（long-range anti-correlation）.主要有以下12個(gè)場(chǎng)館：沙特館、荷蘭館、城市人館、石油館、中南美洲聯(lián)合館、城市人館、古巴館、加共體聯(lián)合館、立陶宛館、尼日利亞館、亞洲聯(lián)合館2、寧波案例館.其中沙特館和石油館是非常熱門的場(chǎng)館，沙特館平均排隊(duì)長(zhǎng)度為4 237人，平均等待時(shí)間為254 min；石油館的平均排隊(duì)長(zhǎng)度是2 639人，平均等待時(shí)間為240 min.剩余場(chǎng)館均為時(shí)間序列中存在大量零值的冷門場(chǎng)館.

c.藍(lán)色點(diǎn)：Hqueue，i∈（0，0.5），Hwait，i∈（0.5，1）.這部分場(chǎng)館主要有：土耳其館、瑞典館、芬蘭館、民營(yíng)企業(yè)聯(lián)合館和中國(guó)企業(yè)聯(lián)合館.通過繪制其排隊(duì)長(zhǎng)度和等待時(shí)間的時(shí)間序列，發(fā)現(xiàn)這些時(shí)間序列的相關(guān)性并不明顯，其H值可近似認(rèn)為是0.5，即呈現(xiàn)高斯白噪聲特性.

d.綠色點(diǎn)：Hqueue，i∈（0.5，1），Hwait，i∈（0，0.5）.這部分場(chǎng)館為日本館、韓國(guó)館、伊朗館、臺(tái)灣館、朝鮮館和萬科館.其中日本館和韓國(guó)館為熱門場(chǎng)館.日本館的平均排隊(duì)長(zhǎng)度3 510人，平均等待時(shí)間為237 min；韓國(guó)館平均排隊(duì)長(zhǎng)度2 444人，平均等待時(shí)間173 min.朝鮮館為存在大量零值的冷門場(chǎng)館.

e.黃色點(diǎn)：Hqueue，i∈（1，1.5），Hwait，i∈（1，1.5）.這部分的場(chǎng)館主要有以下5個(gè)：分別為澳門館、歐洲聯(lián)合館1、歐洲聯(lián)合館2、生命陽(yáng)光館、世博會(huì)博物館.其中歐洲聯(lián)合館1和歐洲聯(lián)合館2、生命陽(yáng)光館為存在大量零值的非常冷門的場(chǎng)館.

圖7 所有場(chǎng)館的H值聚類示意圖Fig.7 Cluster analysis of Hurst exponent for all exhibition halls

3 結(jié) 論

本文通過將DFA方法引入上海世博會(huì)場(chǎng)館的排隊(duì)和等待數(shù)據(jù)的測(cè)試和分析中，通過計(jì)算不同場(chǎng)館之間的Hurst指數(shù)，分析各場(chǎng)館的長(zhǎng)時(shí)程相關(guān)性，得到以下結(jié)論：

a.時(shí)間序列中零值的存在會(huì)對(duì)長(zhǎng)時(shí)程關(guān)聯(lián)性產(chǎn)生影響，需要進(jìn)行合理的補(bǔ)償之后再進(jìn)行計(jì)算.

b.大部分場(chǎng)館呈現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)程正相關(guān)性.

c.部分非常熱門的場(chǎng)館呈現(xiàn)長(zhǎng)時(shí)程反相關(guān)性，代表場(chǎng)館為沙特館、日本館和韓國(guó)館，其具體原因尚有待考察.

［1］ 2010上海世博會(huì)概況［EB／OL］.（2010-12-18）［2013-07-01］.http：∥www.expo2010.cn／.

［2］ 顧基發(fā)，徐山鷹，房勇，等.世博會(huì)排隊(duì)集群行為研究［J］.上海理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，33（4）：312-320.

［3］ Peng C K，Buldyrev S V，Havlin S，et al.Mosaic organization of DNA nucleotides［J］.Physical Review E，1994，49（2）：1685-1689.

［4］ Taqqu M S，Teverovsky V，Willinger W.Estimators for long-range dependence：an empirical study［J］. Fractals，1995，3（4）：785-798.

［5］ Kantelhardt J W，Zschiegner S A，Koscielny-Bunde E，et al.Multifractal detrended fluctuation analysis of nonstationary time series［J］.Physica A：Statistical Mechanics and Its Applications，2002，316（1）：87 -114.

［6］ Buldyrev S V，Goldberger A L，Havlin S，et al.Longrange correlation properties of coding and noncoding DNAsequences：GenBank analysis［J］.Physical Review E，1995，51（5）：5084-5091.

［7］ Viswanathan G M，Buldyrev S V，Havlin S，et al. Optimizing the success of random searches［J］. Nature，1999，401（6756）：911-914.

［8］ Bunde A，Havlin S，Kantelhardt J W，et al.Correlated and uncorrelated regions in heart-rate fluctuations during sleep［J］.Physical Review Letters，2000，85（17）：3736.

［9］ BlesiéS，Milo?eviéS，Stratimirovic′D，et al.Detrended fluctuation analysis of time series of a firing fusimotor neuron［J］.Physica A：Statistical Mechanics and Its Applications，1999，268（3）：275-282.

［10］ Hausdorff J M，Edelberg H K，Mitchell S L，et al. Increased gait unsteadiness in community-dwelling elderly fallers［J］.Archives of Physical Medicine and Rehabilitation，1997，78（3）：278-283.

［11］ Koscielny-Bunde E，Bunde A，Havlin S，et al.Indication of a universal persistence law governing atmospheric variability［J］.Physical Review Letters，1998，81（3）：729-732.

［12］ Ivanova K，Ausloos M，Clothiaux EE，et al.Break-up of stratus cloud structure predicted from non-Brownian motion liquid water and brightness temperature fluctuations［J］.EPL，2000，52（1）：40-46.

［13］ Malamud B D，Turcotte D L.Self-affine time series：measures of weak and strong persistence［J］.Journal of Statistical Planning and Inference，1999，80（1）：173 -196.

［14］ Alados C L，Huffman M A.Fractal long-range correlations in behavioural sequences of wild chimpanzees：a non-invasive analytical tool for the evaluation of health［J］.Ethology，2000，106（2）：105 -116.

［15］ Liu Y，Gopikrishnan P，Stanley H E.Statistical properties of the volatility of price fluctuations［J］. Physical Review E，1999，60（2）：1390-1400.

［16］ Ashkenazy Y.The use of generalized information dimension in measuring fractal dimension of time series［J］.Physica A：Statistical Mechanics and Its Applications，1999，271（3）：427-447.

［17］ Peng C K，Havlin S，Stanley H E，et al.Quantification of scaling exponents and crossover phenomena in nonstationary heartbeat time series［J］.Chaos：An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science，1995，5（1）：82-87.

［18］ Havlin S，Buldyrev S V，Goldberger A L，et al.Fractals in biology and medicine［J］.Chaos，Solitons&Fractals，1995，6：171-201.

［19］ Wu J，Sun H，Wang D Z W，et al.Bounded-rationality based day-to-day evolution model for travel behavior analysis of urban railway network［J］.Transportation Research Part C：Emerging Technologies，2013，31：73-82.

［20］ Ihlen E A F.Introduction to multifractal detrended fluctuation analysis in Matlab［J］.Frontiers in Physiology，2012，3：141.

（編輯：董 偉）

Analysis on Queuing Behaviors in Shanghai World Expo Based on Detrended Fluctuation Analysis

GUOWei1， GUJi-fa1， XUShan-ying1， ZHANGYi1， LILi1
（1.Department of Automation，Tsinghua University，Beijing 100084，China；2.Academy of Mathematics and Systems Science，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China）

In 2010，the 41stWorld Expo was held in Shanghai.More than 73 million visitors visited the Expo and created a new record.Such a huge number of visitors cause queuing and waiting phenomena around popular pavilions.Noticing that the time correlation of queuing length and waiting time helps visitors better choose their desired pavilions，a detrended fluctuation analysis（DFA）method to analyze the potential long-range dependence of queuing behaviors.The results show that the queuing length time series of most pavilions yield the long-range correlations；while some of popular pavilions yield the long-range anti-correlation.

Shanghai World Expo；detrended fluctuation analysis；long-range correlation

O 226

A

1007-6735（2013）04-0307-06

2013-07-10

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973）資助項(xiàng)目（2010CB731400）

郭 偉（1988-），男，博士研究生.研究方向：智能交通.E-mail：guo-w11＠m(xù)ails.tsinghua.edu.cn

顧基發(fā)（1935-），男，研究員.研究方向：運(yùn)籌學(xué)、系統(tǒng)科學(xué).E-mail：ifgu＠amss.ac.cn