孫香政，王 剛，郭志想，陸志東

(中航工業(yè)西安飛行自動控制研究所，西安710065)

微機(jī)電系統(tǒng)MEMS(Micro-Electro Mechanical Systems)是20世紀(jì)80年代隨著硅微機(jī)械加工技術(shù)的發(fā)展而逐漸成長起來的。MEMS的特征尺度在微米量級，集傳感技術(shù)、致動技術(shù)和控制技術(shù)于一體。隨著MEMS技術(shù)的發(fā)展，MEMS陀螺越來越多地應(yīng)用于慣性導(dǎo)航技術(shù)中。與其他慣性導(dǎo)航器件相比，MEMS陀螺具有重量輕、體積小、成本低和便于大批量生產(chǎn)的優(yōu)點(diǎn)，在軍用和民用領(lǐng)域都有著廣闊的發(fā)展前景。

傳統(tǒng)MEMS振動陀螺采用單質(zhì)量塊敏感科氏力，從而反應(yīng)角速率信號。外界振動與加速度信號會直接影響單質(zhì)量塊陀螺的輸出，嚴(yán)重影響陀螺性能［1－2］。針對單質(zhì)量塊陀螺的缺點(diǎn)，目前廣泛采用的方案是使用差分式結(jié)構(gòu)的音叉式陀螺，通過差分輸出信號降低振動與加速度信號的干擾［3－5］。音叉式陀螺結(jié)構(gòu)設(shè)計的要點(diǎn)是獲得同頻、等幅、反向的振動模態(tài)［6－8］。受工藝與電路的限制，兩個獨(dú)立的單質(zhì)量塊陀螺難以實(shí)現(xiàn)上述要求，需要引入耦合結(jié)構(gòu)。常見的耦合結(jié)構(gòu)為彈性梁和杠桿，以及其衍生結(jié)構(gòu)。使用彈性梁作為音叉式陀螺的耦合結(jié)構(gòu)，具有結(jié)構(gòu)簡單、工藝實(shí)現(xiàn)難度低、線性度好等優(yōu)點(diǎn)，但存在同向振動模態(tài)頻率低于反向振動模態(tài)頻率的問題。使用杠桿作為音叉式陀螺的耦合結(jié)構(gòu)，能夠使同向振動模態(tài)頻率高于反向振動模態(tài)頻率，提高振動性能，但其結(jié)構(gòu)復(fù)雜、工藝控制難度大，線性度差。因此，目前大多數(shù)陀螺的耦合結(jié)構(gòu)都采用彈性梁結(jié)構(gòu)。

本文針對使用彈性梁作為耦合結(jié)構(gòu)的音叉式陀螺結(jié)構(gòu)，闡釋其工作原理，建立振動模型。通過理論計算與有限元仿真，分析音叉式陀螺振動特性，并提出彈性梁耦合結(jié)構(gòu)的設(shè)計準(zhǔn)則。

1 工作原理

如圖1所示，一種典型的音叉式陀螺包括對稱的兩個單質(zhì)量塊陀螺結(jié)構(gòu)，以及中間的耦合結(jié)構(gòu)。陀螺工作時，驅(qū)動電極施加電信號，通過電容變化產(chǎn)生驅(qū)動力，分別驅(qū)動左右兩部分沿x軸同頻、等幅、反向振動。當(dāng)有z軸角速率信號輸入時，產(chǎn)生科氏加速度，敏感質(zhì)量塊沿y軸同頻、等幅、反向振動。通過對檢測電容進(jìn)行差分運(yùn)算，可以解算角速率信號。

圖1 音叉式陀螺結(jié)構(gòu)示意圖

對于單質(zhì)量塊陀螺，當(dāng)任意軸向上有線加速度信號時，檢測電容都會發(fā)生變化，即產(chǎn)生角速率信號輸出值。而對于音叉式陀螺，線加速度信號引起兩側(cè)質(zhì)量塊產(chǎn)生同向位移，檢測電容變化趨勢一致，通過差分計算，輸出角速率值不變。

實(shí)際情況中，由于工藝與電路的限制，左右兩部分的質(zhì)量、剛度系數(shù)、阻尼、驅(qū)動力幅值等不完全對稱［9－10］。在驅(qū)動力激勵下做簡諧振動時，左右兩部分可能出現(xiàn)振動特性不對稱，引起差分結(jié)果的偏差。另外，如果左右兩部分獨(dú)立振動，二者諧振頻率的差別和驅(qū)動力相位不對稱會增加電路后處理的難度［5］。

2 理論計算

2.1 物理模型

如圖2所示，將陀螺驅(qū)動模態(tài)簡化為一個二自由度系統(tǒng)［11－13］，耦合結(jié)構(gòu)為彈性梁，簡化為一個剛度為k0的彈簧，研究其受簡諧力作用的情況。根據(jù)音叉式陀螺的工作原理，施加在左右兩側(cè)的驅(qū)動力相位相差180°，沿x軸方向作用。

圖2 音叉式陀螺驅(qū)動模態(tài)物理模型

設(shè)定坐標(biāo)系如圖2，系統(tǒng)動力學(xué)方程為

其中，x1和x2分別為驅(qū)動模態(tài)下兩側(cè)的位移，F(xiàn)1和F2分別為兩側(cè)驅(qū)動力的幅值，m1和m2分別為兩側(cè)敏感質(zhì)量，D1和D2分別為兩側(cè)的阻尼，k1和k2分別為兩側(cè)的總剛度，k0為耦合彈簧的剛度。

設(shè)

其中，C1和C2分別為兩側(cè)驅(qū)動位移的幅值，代入式(1)，得

其中

使用|C1|/|C2|表示振幅的不對稱性。根據(jù)式(3)，得振幅不對稱性為

系統(tǒng)自由振動時，式(1)變?yōu)?/p>

將式(2)代入，可得

求解ω，即系統(tǒng)的固有頻率為k0的函數(shù)。

2.2 振幅不對稱性與彈簧剛度關(guān)系

由于工藝和電路引起的陀螺不對稱性可以簡化為剛度不對稱、驅(qū)動力幅值不對稱和質(zhì)量不對稱3種情況，下面分別研究系統(tǒng)在3種情況下的運(yùn)動特性。

2.2.1 剛度不對稱

k1≠k2，m1=m2=m，D1=D2=D，F(xiàn)1=F2=F 時，式(4)變?yōu)?/p>

振幅不對稱性由驅(qū)動力頻率、陀螺兩側(cè)的頻率、質(zhì)量和阻尼決定。當(dāng)驅(qū)動力頻率ω為常數(shù)時，振幅不對稱性與耦合彈簧剛度k0無關(guān)。實(shí)際陀螺工作時，應(yīng)該將驅(qū)動力頻率ω設(shè)置為與系統(tǒng)固有頻率ωn相等，此時振幅不對稱性為耦合彈簧剛度k0的函數(shù)，改變k0對振幅不對稱性有影響。

2.2.2 驅(qū)動力幅值不對稱

F1≠F2，k1=k2=k，m1=m2=m，D1=D2=D 時，

對于系統(tǒng)自由振動的情況，由式(6)可得

對于系統(tǒng)受迫振動的情況，根據(jù)式(3)與式(9)，

因此，系統(tǒng)在任意諧振頻率下的振型都與主振型相同。在該情況下|C1|/|C2|≡1，與耦合彈簧剛度k0無關(guān)。

2.2.3 質(zhì)量不對稱

m1≠m2，k1=k2=k，D1=D2=D，F(xiàn)1=F2=F 時，式(4)變?yōu)?/p>

與剛度不對稱的結(jié)果類似，振幅不對稱性由驅(qū)動力頻率、陀螺兩側(cè)的頻率、質(zhì)量和阻尼決定。當(dāng)驅(qū)動力頻率ω為常數(shù)時，振幅不對稱性與耦合彈簧剛度k0無關(guān)。驅(qū)動力頻率ω設(shè)置為與系統(tǒng)固有頻率ωn相等時，振幅不對稱性為耦合彈簧剛度k0的函數(shù)，改變k0對振幅不對稱性有影響。

3 有限元仿真

3.1 有限元模型

MEMS陀螺設(shè)計過程中，可以通過有限元軟件進(jìn)行仿真分析，提高設(shè)計效率。動力學(xué)分析的目的是確定慣性和阻尼等起作用時結(jié)構(gòu)的動力學(xué)行為。利用ANSYS軟件對音叉式陀螺進(jìn)行動力學(xué)分析，包括模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析兩部分。模態(tài)分析能夠獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率，諧響應(yīng)分析能夠獲得結(jié)構(gòu)在已知頻率和幅值在正弦載荷作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

根據(jù)典型的陀螺結(jié)構(gòu)，建立如圖3所示的質(zhì)量等效簡化模型。

圖3 音叉式陀螺結(jié)構(gòu)簡化模型

仿真參數(shù)采用單晶硅材料參數(shù)，其中密度ρ=2 329 kg/m3，彈性模量 E=130 GPa，泊松比 μ=0.28，阻尼比 ξ=1×10－5。

通過改變耦合梁的幾何尺寸，調(diào)整其剛度。分別在剛度不對稱、驅(qū)動力幅值不對稱和質(zhì)量不對稱3種情況下進(jìn)行動力學(xué)分析，驅(qū)動力頻率分別設(shè)定為系統(tǒng)固有頻率和非固有頻率，研究耦合梁剛度變化對陀螺振動特性的影響。

3.2 仿真結(jié)果

3.2.1 剛度不對稱

通過改變左右兩側(cè)彈性梁的幾何尺寸，調(diào)整其剛度，使k1=0.9k2。驅(qū)動力頻率與系統(tǒng)固有頻率相同的情況下，|C1|/|C2|與耦合梁長度的關(guān)系如表1所示。

表1 剛度不對稱、固有頻率下耦合梁與振幅不對稱性關(guān)系

仿真值與計算值一致。k0對系統(tǒng)固有頻率有影響，進(jìn)而影響工作在固有頻率點(diǎn)的陀螺振幅不對稱性。k0越大，振幅不對稱性越小。

在非固有頻率下激勵，取驅(qū)動力頻率為f=10 000 Hz，|C1|/|C2|與耦合梁長度的關(guān)系如表2所示。

表2 剛度不對稱、非固有頻率下耦合梁與振幅不對稱性關(guān)系

仿真值與計算值一致。當(dāng)驅(qū)動力頻率為恒定時，k0對陀螺振幅不對稱性無影響。

3.2.2 驅(qū)動力幅值不對稱

設(shè)置驅(qū)動力幅值F1=0.9F2。驅(qū)動力頻率與系統(tǒng)固有頻率相同的情況下，|C1|/|C2|與耦合梁長度的關(guān)系如表3所示。

表3 驅(qū)動力不對稱、固有頻率下耦合梁與振幅不對稱性關(guān)系

在非固有頻率下激勵，取驅(qū)動力頻率為 f=10 000 Hz，|C1|/|C2|與耦合梁長度的關(guān)系如表4所示。

表4 驅(qū)動力不對稱、非固有頻率下耦合梁與振幅不對稱性關(guān)系

仿真值與計算值一致。驅(qū)動力幅值不對稱對陀螺振幅不對稱性無影響。在該情況下，振幅不對稱性恒為1。

3.2.3 質(zhì)量不對稱

通過改變左右兩側(cè)質(zhì)量塊的幾何尺寸，調(diào)整其質(zhì)量，使m1=0.9m2。驅(qū)動力頻率與系統(tǒng)固有頻率相同的情況下，|C1|/|C2|與耦合梁長度的關(guān)系如表5所示。

表5 質(zhì)量不對稱、固有頻率下耦合梁與振幅不對稱性關(guān)系

仿真值與計算值一致。k0對系統(tǒng)固有頻率有影響，進(jìn)而影響工作在固有頻率點(diǎn)的陀螺振幅不對稱性。k0越大，振幅不對稱性越小。

在非固有頻率下激勵，取驅(qū)動力頻率為 f=10 000 Hz，|C1|/|C2|與耦合梁長度的關(guān)系如表6所示。

表6 質(zhì)量不對稱、非固有頻率下耦合梁與振幅不對稱性關(guān)系

仿真值與計算值一致。當(dāng)驅(qū)動力頻率為恒定時，k0對陀螺振幅不對稱性無影響。

4 結(jié)論

對于音叉式陀螺，當(dāng)驅(qū)動力頻率恒定時，在剛度不對稱、驅(qū)動力幅值不對稱和質(zhì)量不對稱3種情況下，耦合結(jié)構(gòu)的剛度對陀螺振幅不對稱性無影響。但是，耦合結(jié)構(gòu)的剛度對音叉式陀螺的固有頻率有影響，進(jìn)而影響工作在固有頻率點(diǎn)時陀螺的振型。通過提高耦合結(jié)構(gòu)剛度，提高陀螺固有頻率，能夠有效降低振幅不對稱性。設(shè)計陀螺時，需綜合考慮對固有頻率和對振幅不對稱性的需求，調(diào)整左右兩部分的剛度和質(zhì)量以及耦合結(jié)構(gòu)的剛度。

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